整数

第一章 整数

第 一 章 整 数

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整数的概念是在人类的生产和生活中产生和发展起来的，整数是数学最基本的研究对象，整数的基本理论是认识分数、小数的基础，它是小学数学学习的主要内容。本章主要讨论整数的认识、整数四则运算的定义、运算性质、运算法则等内容，都是小学数学教师必须掌握和研究的内容。

第一节 整数的认识

一、自然数和自然数列 1、自然数的产生

自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。

远古时代，人们在狩猎、捕鱼和采集果实的劳动中，需要判断物体的多少，逐渐萌生了数的概念。起初人们不会用数来表示物体的多少，后来在劳动中需要把猎人、工具和得到的果实进行分配，例如，工具和猎人搭配起来（一人一件），够不够分，由此来判断工具是多是少，或者是和猎人同样多；再如，食物要分给每个人，发现每个人分得的食物有时多一些，有时少一些，??经过反复实践，人们逐渐形成了“多、少”的概念，这就是我们现在所说的“一一对应”的方法。

在长期重复进行这样比较的过程中，人们慢慢认识到有很多物体与集合可以建立一一对应的关系。在这些集合中，物体的个数是同样多的。例如，一个人的眼睛和他的耳朵、手、脚都是同样多的；一个人的手指和脚趾的个数是同样多的。于是把这些同样多的物体集合归为一类，就是现在所说的等价集合类，并开始从同一类等价集合中，选出一个大家最熟悉、最方便、又不易变化（有固定的元素）的集合作为代表，来表示这类等价集合的共同特征。例如:看到两只鹿或两只山羊，就用两只耳朵来表示；看到五匹马或五只兔子，就用五个手指来表示。这种被选作代表的集合，我们现在称之为标准集合。起初，标准集合只是用作形象地表示数量多少的一种方法，还没有从物体集合中抽象出数来。

随着生产和交换的不断增多，以及语言的发展，人们在世世代代反反复复应用标准集 合来表示多少的过程中，渐渐把数从具体物体的集合中抽象出来。开始，有些数的名称就采用了标准集合的名称。现在，我们对一些常用数的表示仍然保留着这种痕迹。例如，表

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示五个，就伸出“一只手”；表示十个就用“一双手”或“两只手”来表示。以后，随着语言文字的发展，逐渐创造了符号来表示这些抽象出来的数。例如，用“︱”、“||”等符号来表示“一”、“二”等。这样，在长期的实践中，自然数也就逐渐产生了。

2、自然数的定义

从数的产生过程可以得到自然数的定义：

定义 自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。也就是说，自然数表示有限集合中元素的个数。

比如，通常用自然数一、二、三、??来表示物体的个数。

在生活实践中常常遇到集合中一个物体也没有的情况。例如：教室里一个学生也没有，这时教室里学生的集合是空集；稿纸上一个字也没有，这时稿纸上字的集合是空集。为了用一个数来表示空集中元素的个数，就产生了数——零。

零是空集的标记，它表示集合中没有元素。 零是最小的自然数。

随着社会的不断进步和数学研究的不断深入，人们对“零”的认识也有了发展。“0”作为一个单独的数，不仅可以表示“没有”，而且具有比较确定的内容。

例如：在数轴上，它是正数和负数的界限；“今天的气温是0摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是表示在标准大气压时，冰水混合物的温度；在运用测量工具时，“0刻度线”是计量的起点；在运算时，“0”还有占位的作用。所以我们说零是一个有确定意义的数。

3、自然数的大小

根据两个有限集合之间的关系，可以给出关于两个自然数大小关系的定义。 定义 设自然数a与b分别表示有限集合A与B的元素的个数，那么： ⑴ 当集合A与集合B等价时，就叫做a等于b，记作a?b，

即：如果A~B，那么a?b；（A~B表示集合A与B等价）。如图1所示。 ⑵ 当集合A的一个真子集A?与集合B等价时，就叫做a大于b，记作a?b， 即：如果A?A?~B，那么a?b；如图2所示。

⑶ 当集合A与集合B的一个真子集B?等价时，就叫做a小于b，记作a?b， 即：如果A~B??B，那么a?b。如图3所示。 A

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A B A′ B B A B′ 第一章 整数

图11 图22 图33 “1”是自然数的基本单位，“0”添上“1”就得到自然数“1”，“1”再添上“1”就得到自然数“2”，“2”再添上“1”就得到自然数“3”??。任何非0的自然数都是由若干个单位“1”组成的。

4、自然数列及其性质

定义 从“零”起，逐次添上一个单位，就得到从小到大顺序排列着的一列数：零、一、二、三、?? ，这样由全体自然数依次排列的一列数叫做自然数列。

自然数列的性质：

① 有始：自然数列最前面的一个自然数是“零”；

② 有序：在自然数列中，每一个自然数后面都有一个而且只有一个后继数（即紧挨在它后面有一个自然数），并且除“零”以外，每一个自然数都有一个而且只有一个先行的数（即紧挨在它前面的一个自然数）；

③ 无限：自然数列里没有最大的一个自然数，因此，自然数的个数是无限的。 在自然数列里，排在后面的数，总比前面任何一个数都大；排在前面的数，比它后面任何一个数都小。

5、数数

有了自然数列，就可以更加方便地数出物体的个数。

例如，要知道教室里学生的人数，我们可以一个一个地指着学生，同时依次念出自然数列中的数，一、二、三、??和所指的学生一一对应。在数的过程中，只要不重复也不遗漏，数到最后一个学生所对应的那个数就是教室里学生的人数。

这就是说：数数的过程就是把要数的那个集合里的元素，与自然数列里从“一”开始的自然数依次建立起一一对应。

一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

从数数的过程可以看出：

① 数数的结果总是唯一的，与所数事物的次序无关。

例如：数教室里学生的人数，无论是按行数，还是按列数，只要每个学生都数到，并且都数一次，那么数的结果都是相同的。

② 数一种事物可以用另一种事物代替，然后再数，数得的结果是相同的。 例如：数一个班学生的人数可以用数这些学生的名字来代替，数学生名字的结果与直

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接数学生人数的结果相同。

③ 只要继续有事物可数，数数是永远数不完的。 6、基数和序数

自然数用来表示集合中元素的个数时，叫做基数。例如：“30个学生”中的30是基数。 自然数用来表示某个有序集合中每个元素所占的位置时，叫做序数。例如：“小林站在第2排第6个”中的“2”、“6”都是序数。如果我们让一队学生从排头开始报数，排尾的报出“十”，那么这个学生就是第十号。这里的“十”既可以表示这队学生有十个人，也可以表示排尾的学生是第十号。

因此，自然数有两重意义：

当一个数用来表示集合中元素的个数时，用的是基数的意义； 当一个数用来表示集合中元素的排列次序时，用的是序数的意义。 上例中的“十”同时兼有基数和序数的两重意义。

相关知识链接

自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。

整数 自然数又叫做“整数”。在小学里，整数的意义是通过自然数的意义进行表述。

二、十进制计数法 1、命数法

随着生产力的发展，人们遇到的数目越来越多，越来越大，这就产生了一个如何给每一个自然数命名的问题。可能由于人们常用十个手指来计数的缘故，现在全世界通用的一种计数方法是十进制计数法。十进制计数法遵循“满十进一”的原则。每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这样的计数方法，称为十进制计数法。 相关知识链接

生活中的其他进制

实际生活中，还有其他一些进制，如二进制、八进制、五进制、十二进制（一英尺等于十二英寸，一年等于十二个月），六十进制（一分等于六十秒，一度等于六十分）等等。

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按照十进制计数法，我国是这样给自然数命名的：

⑴ 自然数列的前九个数各给以单独的名称，即一、二、三、四、五、六、七、八、九； ⑵ 按照“满十进一”规定计数单位：十个一叫做十，十个十叫做百，十个百叫做千，十个千叫做万；万以上的计数单位不是满十逐一给以新的名称，而是十个万叫做十万，十个十万叫做百万，十个百万叫做千万，十个千万叫做万万，再给以新的名称叫做亿；亿以上又有十亿、百亿、千亿等。这样，每四个计数单位组成一级，分别称为个级：个、十、百、千；万级：万、十万、百万、千万；亿级：亿、十亿、百亿、千亿??

⑶ 其他自然数的命名，都是由前九个数和计数单位组合而成。

例如：一个数含有六个万、二个千、五个百、八个十、七个一，就称为六万二千五百八十七。

对于个级以上的数，每一级的级名只在这一级的末尾给出。例如，一个数含有二个千万、三个百万、九个十万、四个万，就称二千三百九十四万。

一个数除每一级末尾有空单位以外，中间的几个单位如果是空的话，就称“零”，无论空几个都只称一个零。例如，一个数含有一个亿、三个千万、五个万、六个十，就称为一亿三千零五万零六十。

2、记数法

自然数的记法和自然数的命名类似，也不可能每一个数都给一个单独的符号，要用尽可能少的几个符号，把所有的数都能表示出来。

按照十进制计数法来记数，只需要十个符号就够了。用来记数的符号叫做数字或叫做数码。阿拉伯数字是当今世界各国通用的数字，最早起源于印度，大约在公元八世纪传入阿拉伯，约在公元十二、十三世纪又传到欧洲，欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯国家传来的，就把这些数字叫做阿拉伯数字，以后逐渐推广到世界各国。阿拉伯数字共有十个：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.

就是自然数列中最前面的十个数。

用阿拉伯数字记数是把所用的数字排成一横行，每个数字所在的位置不同，表示所含的计数单位就不同，从右起第一位上的数字表示几个一，这一位叫做个位；第二位上的数字表示几个十，这一位叫做十位；以下依次是百位、千位、万位、??用这种方法记数。

每个数字除了它本身所表示的数值以外，还有位置值，这就是记数的位值原则。应用位值原则使得记数变得很简单，进行计算也很方便，因而能为世界各国所采用。

应用位值原则记数时，数字所占的位置：个位、十位、百位、?? 统称为数位。

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数位的排列顺序如下表：

数 位 顺 序 表

级名 数位名称 计数单位 ?? ?? 亿级 千百十亿 亿亿亿 位位位位 千百十 亿 亿亿亿 万级 千百十万 万万万 位位位位 千百十 万 万万万 个级 千百十个 位位位位 千百十一

思考题：数和数字有何区别？

有了这个数位顺序表，一切自然数都可以很方便地用阿拉伯数字写出来。

写数的时候，从左到右，即从高位到低位，顺次写出各数位上的数字，如果某个数位上一个单位也没有，就有这一位上写“0”。例如：

四万五千零四十一写作45041；

五十亿零三百四十五万一千零四写作5003451004.

用几个数字写出的自然数（最左端不是零）就叫做几位数。例如：1、6是一位数；21、45是二位数；102、871是三位数，等等。通常又把两位以上的数叫做多位数。

相关知识链接

按照国际上的习惯，写多位数的时候，为容易辩认数位，从个位起向左每三位分成一节，相邻两节中间用分节号“，”。为和国际习惯一致，并取得全国统一，我国写数也“规定数字的分位方法为三位制”，但不使用分节号，只在相邻两节中间空出半个数字的位置。为了便于读写和记忆，有人编在这样的口诀，“头撇上位千，百万二撇前，三撇前边是十亿，兆在四撇前。”

常见的数字有三种：阿拉伯数字、中国数字、罗马数字。 中国数字是我国常用的数字，分小写和大写两种：

小写数字包括：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿?? 大写数字包括：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿?? 罗马数字是罗马人创造的记数符号，共有七个记数符号：I表示1、V表示5、X表示10、L表示50、C表示100、D表示500、M表示1000。罗马数字中没有表示零的数

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字。记数时不采用位值原则，而是采用加减法原则。例如：IV表示四，IX表示九，CV表示一百零五，等等。十三世纪以前，罗马数字曾盛行于欧洲，由于读写和计算都很不方便，现在已很少使用。

3、读数法

根据十进制的记数法和我国的命数法，可以得到如下的读数法： ⑴ 四位和四位以内的数，从最高位起，按照数位顺序一位一位读出来。 例如： 854 读作 八百五十四；

3829 读作 三千八百二十九.

⑵ 四位以上的数，先从右向左四位分级，再从最高位起，顺次读出各级里的数和它们的级名。

例如：13683425 读作 一千三百六十八万三千四百二十五；

2543682169 读作 二十五亿四千三百六十八万二千一百六十九. ⑶ 一个数末尾的“0”和每一级末尾的“0”都不读出来；其他数位上有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。

例如： 7300 读作 七千三百

609000 读作 六十万九千 20080050 读作 二千零八万零五十

5030010006 读作 五十亿三千零一万零六

4、数的大小比较

两个多位数可以根据位值原则，按下述法则比较它们的大小。

设两个多位数是A?amam?1?a1，B?bnbn?1?b1（这里的am,am?1?,a1与bn,bn?1,?

b1，分别表示十个数字中的某一个，其中am，bn都不是0；字母上面所加横线表示是按照

位值原则写出的数）。显然，A是m位数，B是n位数。

当 m?n时，A?B； 当 m?n时，A?B；

当 m?n时，可依下面方法比较：

如果ak和bk是从左起第一对相同数位上的不相同的数字，那么， 当 ak?bk时，A?B；

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当 ak?bk时，A?B；

如果ak和bk不存在，即A与B的任何相同数位上的数字都相同，那么就是A?B。 例如：A?435786，B?435297，它们都是六位数，但是 a3?7， b3?2 ∵ 7?2， ∴A?B.

习 题 1.1

1、数“5”作为一个符号，它表示这类等价集合的什么共同特征？请你举例说明。 2、举例说明自然数列在数数中的具体应用。 3、自然数和自然数列有什么联系和区别？ 4、判断下列说法的正误，并说明理由： ⑴ 自然数是一切等价集合的标记；

⑵ 自然数的集合中一定有一个元素是最大的自然数； ⑶ 在自然数列中，因为3在7的后面，所以3小于7；

⑷ 在自然数列中，如果从1开始，每隔一个数取出一个数，这些数组成的新的集合的基数小于自然数集合的基数。

⑸ 00C表示没有温度。

5、判断下面的数，哪些用的是基数的意义，哪些用的是序数的意义？

⑴ 到2013年10月1日我国建国就64年了。

⑵ 一架客机每天16时08分从上海出发，发车前45分钟开始办票。 ⑶ 第2行从头数到第8人是小李，再往后数5人就是小王。

6、有的儿童学写数时，会把十二写成102，这在知识上是由于什么原因造成的。 7、试以四万五千零四十一这个数为例，说明应用位值原则记数的方法。 8、写出下列各数：

⑴ 一千零五十万零三百； ⑵ 六十亿零四千；

⑶ 雄伟的万里长城全长约六百七十万米； ⑷ 地球赤道周长为四千零七万五千七百米。

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9、先说出下面的数是几位数，最高位是什么位，再读出来。 ⑴ 4357160， 900005001， 189404000， 1080000104；

⑵ 43 813 456， 8 400 573 000， 756 004 080； ⑶ 一个正常人的头发大约有80 000到100 000根不等； ⑷ 一个人的血管总长约 40000 000米；

⑸ 2010年第六次全国人口普查知我国总人口为1339724852人； ⑹ 光传播的速度是每秒种299800千米。

10、用2个3，2个0写出三个不同的四位数，一个零都不读的是（ ），只读一个零的是（ ）和（ ）。 11、计数和记数有什么不同？

12、用阿拉伯数字写出的数，读的时候要注意哪些问题？

第二节 整数的四则运算

一、整数加法 1、加法的定义

⑴ 定义 设A、B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是数a和b，如果集合A与B的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法，记做

a?b?c

读作“a加b等于c”。a与b都叫做加数，符号“＋”叫做加号。

因为，A???A，??A?A（A是非空集合），?????，所以当加数是零时， a?0?0， 0?a?a， 0?0?0. 相关知识链接 加法意义的其他形式

因为自然数从意义上有基数和序数之分，因此加法的意义还可以理解为：

因为并集C是由而且只是由集合A与B的所有元素组成的，所以要求a与b的和c，可以直接数出集合C的所有元素的个数.

由于数数是永远可以进行的，并且数数的结果是唯一的，所以整数加法总可以施行，即整数集对于加法运算是封闭的，并且和是唯一的。

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⑵ 加法定义的推论

两个数的和不小于每一个加数。就是：

a?b?a， a?b?b （“?”表示大小或等于，也就是不小于） ∵ A?B?A， A?B?B ∴ a?b?a， a?b?b. ⑶ 几个数的和

因为并集的概念可以推广到求几个集合的并，所以加法定义可以推广到求几个数的和。求几个数的和，就是先求出第一个数与第二个数的和，再求所得的和与第三个数的和，等等。

例如： a?b?c?(a?b)?c， a?b?c?d?[(a?b)?c]?d.

根据和的定义的推广，可以把任意一个多位数写成不同计数单位数之和的形式。 例如：因为582是由五个百、八个十、二个一合并成的，所以582?5百?8十?2 也可以写作：582?4百?18十?2?4百?17十?12，等等。

2、加法的运算性质

⑴ 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。就是： a?b?b?a.

证明：设a与b分别是不相交的有限集合A与B的基数， ∵ A?B?B?A，

∴ a?b?b?a.

⑵ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。就是：

(a?b)?c?a?(b?c).

证明：设a、b、c分别是互不相交的有限集合A、B、C的基数， ∵ (A?B)?C?A?(B?C)，

∴ (a?b)?c?a?(b?c).

⑶ 加法交换律和结合律的推广 若干个数相加，任意交换加数的位置，或者先把其中任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。

这个性质可以用数学归纳法证明，由于证明过程较繁，在这里省略不证。下面是对简

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?a1?a2 （减法定义推论1）

∴ ?a1?a2???b1?b2??(a1?b1)?(a2?b2) （减法定义） 即当n?2时，性质成立。 假设n?k时，性质成立，即：

?a1?a2???ak???b1?b2???bk?

??a1?b1???a2?b2?????ak?bk?

证明当n?k?1时，性质也能成立，就是：

?a1?a2???ak?ak?1???b1?b2???bk?bk?1?

??a1?b1???a2?b2?????ak?bk??(ak?1?bk?1)

设A?a1?a2??ak， B?b1?b2??bk

于是 ?a1?a2???ak?ak?1???b1?b2???bk?bk?1? ??A?ak?1???B?bk?1?

??A?B)?(ak?1?bk?1? （n?2时性质成立） ?[?a1?a2???ak???b1?b2???bk?]?(ak?1?bk?1)

?[?a1?b1???a2?b2?????ak?bk?]?(ak?1?bk?1) （假设） ??a1?b1???a2?b2?????ak?bk??(ak?1?bk?1) 这就是说当n?k?1时，性质也成立。

因此，这个性质对于n为任何自然数（n?1）时都成立。 ⑹ 差的变化

① 如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。就是：

如果a?b?c，那么(a?m)?b?c?m.

（由学生自己证明） ② 如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。就是：

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如果a?b?c，那么a?(b?m)?c?m.

（由学生自己证明） ③ 如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。就是： 如果a?b?c，那么(a?m)?(b?m)?c. 这个结论可以由差的变化规律①、②推得。 3、减法的运算法则

⑴ 一位数或两位数减去一位数且差是一位数的减法 这样的减法一般是根据减法定义，利用加法表来计算。 例如： 9?4，根据5?4?9，得出9?4?5；

12?3，根据9?3?12，得出12?3?9.

（2）多位数减法

多位数减法，可以先把被减数和减数分解成不同计数单位的数之和的形式，然后根据若干个数的和减去若干个数的和的运算性质，应用减法法则⑴来计算。

例如：356?138

??3百?5十?6???1百?3十?8?

??3百?4十?16???1百?3十?8? （减法性质5） ??3百?1百???4十?3十???16十?8? （减法法则⑴） ?2百?1十?8 ?218

由上面例子可以看出，多位数相减时，是分别把相同计数单位的数相减，哪一个计数单位上的数不够减，就从高一级的计数单位上的数退一再减。为了简便起见，通常写成竖式计算。上例写成竖式就是：

35`6?138 218多位数减法的运算法则也可以编成口诀：数位对齐、个位减起、退一化十。

三、加减法各部分之间的关系 根据加减法定义可以知道，在加法和减法运算中，各部分之间有如下的关系： 1、在加法中，一个加数等于和减去另一个加数。

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就是：如果a?b?c，那么a?c?b；b?c?a.

2、在减法中，被减数等于减数加上差；减数等于被减数减去差。 就是：如果a?b?c，那么a?b?c；b?a?c.

应用以上关系，可以对加法和减法进行验算；还可以求加减法中的未知数。 ⑴ 验算加法的方法：

用加法验算。应用加法交换律，把两个加数交换位置，再加一次，如果两次计算结果 相同，原计算是正确的。

用减法验算。将所得的和中减去其中一个加数，如果得到另一个加数，原计算是正确的。

⑵ 验算减法的方法：

用加法验算。将所得的差与减数相加，如果得到被减数，原计算是正确的。 用减法验算。用被减数减去所得的差，如果得到减数，原计算是正确的。 相关知识链接

公元15世纪，德国数学家魏德曼首创加号“＋”、减号“－”。他把一条横线与一条竖线合并在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号“＋”中去掉一竖，就表示拿去（减少）的意思。

四、整数乘法 1、乘法的定义

⑴ 定义 b（大于1的整数）个相同加数a的和c叫做a与b的积，就是：

b个???????c?a?a???a

求两个数的积的运算叫做乘法。记作：

a?b?c 或 a?b?c

读作“a乘b等于c”。数a和b叫做因数，也叫做乘数。符号“×”或“· ”叫做乘号，

a?b也可以简写为ab。

根据以上乘法定义，最小因数应该是2。但我们时常会遇到因数是1或者是0的情形，因此对乘法作如下补充定义：

① 当一个因数是1时，a?1?a； ② 当一个因数是0时，a?0?0； ③ 当两个因数都是0时，0?0?0.

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由积的定义知道，a?b就是求b个相同加数a的和，因为整数集对加法运算是封闭的，并且和是唯一的，所以整数集对于乘法运算也是封闭的，并且积是唯一的。在特殊情况下，当b?0或b?1时，根据补充定义积也是唯一存在的。

⑵ 几个数的积

乘法定义可以推广到求几个数连乘的积。求几个数的积，就是先求第一个数与第二个数的积，再求所得积与第三个数的积，等等。

例如： abc?(ab)c；

abcd?[(ab)c]d.

在加减乘混合运算中，规定先算乘，再算加减。 例如： a?b?c?d?a?(b?c)?d ⑶ 乘方

求n个相同因数m的积的运算叫做乘方，记作：mn，读作m的n次方或n次幂。如：3?3?3?3?3?35叫做5的4次方或5的4次幂。 2、整数乘法的运算性质

⑴ 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。就是： a?b?b?a.

证明：当a?1，b?1时，那么a可以表示成以下的形式：

???a个?? a?1?1???1

a?b可以表示为以下的形式：

??a?1?1???1b个??a?1?1???1

???????a?1?1???1

ab?b?????b??????ba个 ∵ b????b???????b?ba a个 ∴ a?b?b?a

所以，当a?1，b?1时，交换律成立。根据乘法定义和补充定义，可以得到： 当a与b有一个是1，或者都是1时， ①a?1时，1?b?b，b?1?b；

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②b?1时，a?1?a，1?a?a； ③a?b?1时，a?b?1，b?a?1. 当a与b有一个是0，或者都是0时，

a?b?0，b?a?0.

因此，交换律对于a、b是任何整数都成立。

⑵ 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。就是：

(ab)c?a(bc).

证明：当a?1，c?1时，由交换律ab?ba，(ab)c可以表示为如下形式：

a个???????ba?b?b???b ba?b?b???b??ba?b?b???b?????c行 ????等号左边是c个ba，即c个ab，它们的和就是(ab)c。

等号右边每一列有c个b，每一列的和是bc，共有a列，它们的和就是：

?bc????bc?(bc)a?a(bc) bc??????a个因此有 (ab)c?a(bc) 又根据乘法定义和补充定义可得： 当a与c有一个是1，或者都是1时， ①a?1时，(ab)c?bc，a(bc)?bc； ②c?1时，(ab)c?ab，a(bc)?ab； ③a?c?1时，(ab)c?b，a(bc)?b. 当a与c有一个是0，或者都是0时， (ab)c?0，a(bc)?0.

因此，结合律对于a、b、c是任何整数都成立。

⑶ 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘的积，等于每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积加起来。就是：

(a?b)c?ac?bc 或 c(a?b)?ca?cb.

20

第一章 整数

证明：当c?1时，

c个????????????? (a?b)c?(a?b)?(a?b)???(a?b) （积的定义）

c个c个?????????????? ?(a?a???a)?(b?b???b) （加法交换律、结合律的推广）

?ac?bc （积的定义）

当c?1与c?0时，根据乘法补充定义可以得到： (a?b)?1?a?b， a?1?b?1?a?b； (a?b)?0?0， a?0?b?0?0 也有 (a?b)c?ac?bc 根据乘法交换律可以推得：

c(a?b)?(a?b)c?ac?bc?ca?cb

因此，乘法分配律对于a、b、c是任何整数都成立。 乘法的分配律也可以做如下推广：

若干个数的和与一个数相乘的积，等于和中的每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积加起来。就是：

?a1?a2?a3???an?b?a1b?a2b???anb

或 b?a1?a2?a3???an??ba1?ba2???ban.

（由学生自己证明） 根据上述三条乘法的基本性质，可以推出以下性质：

⑷ 乘法交换律和结合律的推广 若干个数相乘，任意交换因数的位置，或者任意把其中的几个因数组成一组，先乘起来，所得的积不变。

例如： abcd?ac(bd)， abcde?(ac)bde 等。

⑸ 乘法分配律的推广 若干个数的和与若干个数的和相乘，等于第一个和里的每一个加数与第二个和里的每一个加数相乘，再把所得的积加起来。就是：

?a1?a2?a3???an??b1?b2?b3???bm?

?a1b1?a2b1???anb1?a1b2?a2b2???anb2???a1bm?a2bm???anbm. （由学生自己证明） ⑹ 两个数的差与一个数相乘的积，等于被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得

21

第一章 整数

的积相减。就是：

(a?b)c?ac?bc 或 c(a?b)?ca?cb. 证明： ∵ (a?b)c?bc

?[(a?b)?b]c （乘法分配律）

（减法定义的推论1） ?ac

∴ (a?b)c?ac?bc （减法定义） 应用乘法交换律可得： c(a?b)?ca?cb.

⑺ 积的变化规律

① 如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）相同的倍数。就是：

如果 a?b?c，那么 (a?n)?b?c?n 或 (a?n)?b?c?n证明：(a?n)?b?a?n?b

?(a?b)?n （乘法交换律、结合律）

?n|a?.

?c?n

（另一种情况由学生自己证明）

例如： ∵ 4?25?100，

∴ 4?75?4?25?3?100?3?300.

又如： ∵ 36?100?3600，

∴ 36?25?36?(100?4)?3600?4?900.

② 如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同数倍，那么它们的积不变。就是： 如果 a?b?c，那么 (a?n)?(b?n)?c(n|b).

（由学生自己证明） 4、乘法的运算法则 ⑴ 表内乘法

两个一位数相乘，可以根据乘法的定义用同数连加的方法求出它们的积。通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀或一个乘法表，计算时直接使用这些结果求出积。

22

第一章 整数

相关知识链接

我国计算乘法时使用乘法口诀，习惯上称为“九九表”，我国汉代（约公元一世纪）遗留下来的木简内，就已经有了一个完整的“九九表”。乘法“九九表”又分为 “大九九表”与“小九九表”，大九九表有81句，小九九表有45句。在小学数学教材中一般采用小九九表。

九九乘法口诀表

一一得一

一二得二 二二得四

一三得三 二三得六 三三得九

一四得四 二四得八 三四十二 四四十六

一五得五 二五一十 三五十五 四五二十 五五二十五

一六得六 二六十二 三六一十八 四六二十四 五六三十 六六三十六

一七得七 二七十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九

一八得八 二八十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四

一九得九 二九十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一

⑵ 多位数乘法 ① 多位数乘一位数

多位数乘一位数可以把多位数写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法分配律的推广，归结为表内乘法来计算。

例如： 364?2??3百?6十?4??2 ?6百?12十?8

?6百??1百?2十??8

??6百?1百??2十?8

?7百?2十?8

?728

通常写成竖式进行计算：

364?236482 120 可简写为： ?600728728由此得到多位数乘一位数的计算法则:先用这个一位数去乘第一个因数每一位上的数，哪一位上乘得的数满几十，就向它的前一位进几，最后把每次乘得的结果相加。

23

第一章 整数

② 多位数乘一个数字后面带有若干个零的数

可以先把多位数改写成一位数与10，100，1000，?的积，然后根据乘法结合律，以及多位数乘一位数的法则计算，最后根据乘法交换律去乘10，100，1000，?

例如：314?400?314??4?100?

?314?4?100 （乘法结合律）

?1256?100 （乘法法则⑵的①）

?1百?1256

?1256百

?125600

由此可以得出多位数乘一个数字后面带有若干个零的数的乘法的计算法则：先用乘数中0前面的一位数去乘被乘数，再在所得的积后面添上乘数末尾所有的0。

③ 多位数乘多位数

两个多位数相乘，可以先把第二个因数改写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法分配律的推广与上述乘法法则⑵的①、②来进行计算。

例如：486?253?486??200?50?3?

?486?200?486?50?486?3 (乘法分配律的推广)

?97200?24300?1458 (乘法法则⑵的①②)

?122958

通常写成竖式进行计算:

?

4862531458

2430972122958由此可以得到多位数乘多位数的计算法则:先用其中一个多位数每一位上的数分别去乘另一个多位数，用哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐，然后把每次乘得的数加起来。

⑶ 积的位数

两个因数的积的位数，等于这两个因数的位数的和，或者比这个和少1.

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第一章 整数

设a、b分别是m位数和n位数，那么a与b的积是(m?n)位数，或者是(m?n?1)位数.

证明： ∵ 10m?1?a?10m， ∴ 10m?1?b?a?b?10m?b? 因为b是n位数，所以10m?1?b是一个(m?n?1)位数，10m?b是一个(m?n)位数。

因此，a?b的积的位数可能是(m?n?1)或者是(m?n)。

至于积的位数究竟是几，可以这样判断：

① 如果两个因数的最高位上的数的积等于或大于10，或者积虽然小于10，但加上进位上来的数以后就等于或大于10，那么它们的积的位数就等于两个因数的位数之和。

② 如果两个因数的最高位上的数的积小于10，而且加上进位上来的数以后仍小于10，那么这两个因数的积的位数就比两个因数的位数的和少1。

例如：（∵两个因数最高位上的数的积大于10，∴积的位数3?2?5） 528?45?22760 213?45?9585（∵两个因数最高位上的数的积小于10，∴积的位数3?2?1?4）

五、整数除法 1、除法的定义

⑴ 定义 已知两个数a、b，求一个整数q，使q与b的积等于a，这种运算叫做除法。记作： a?b?q

读作“a除以b（或b除a）等于q”。a叫做被除数，b叫做除数，q叫做a与b的商，符号“÷”叫做除号。

思考题：除和除以的区别是什么？

由定义可以知道：如果 bq?a，那么a?b?q.

这种关系说明，除法是乘法的逆运算，就是已知积与一个因数求另一个因数。 特殊情况：当b?a时， ∵ a?1　?a， ∴a?a?1　； 当b?1时， ∵ 1?a?a， ∴a?1?a； 当a?0,b?0时， ∵b?0?0， ∴0?b?0. 但除数b不能为零。这是因为，如果b?0，那么

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第一章 整数

① 当a?0时，由于任何数乘以0都不可能等于自然数a，所以a?0的商是不存在的；② 当a?0时，因为任何数乘以0都等于0，所以a?b的商是不确定的。

我们知道，在加法、减法与乘法中，和、差（如果存在）与积都是唯一的。在除法中 也要排除商（如果存在）不是唯一的情况，因此规定在除法中，除数不能是零。

在整数范围内，除法运算也不总可以施行。例如，就不存在一个与3相乘等于14的整数。这说明整数集对于除法运算是不封闭的。但是，如果两个数有整数的商存在，那么这个商一定是唯一的。就是：

如果a?b?q，那么，q是唯一的。

证明：假设a?b得到两个不同的商q与q?(q?q?)， 由除法定义可得 a?bq，且a?bq?， 由此可知 bq?bq??0.

但 bq?bq??b(q?q?)， （乘法性质6） ∴ b(q?q?)?0.

∵ b?0， ∴ q?q??0， 也就是说 ∴ q?q?.

但这与假设相矛盾，所以a?b不能得到两个不同的商。 因此，a?b的商是唯一的。 ⑵ 除法定义的推论

推论1 某数除以一个不为零的整数，再乘以同一个数，仍得原数。 就是： (a?b)?b?a 证明：设a?b?q，则有 a?bq

那么 (a?b)?b?q?b?b?q?a

推论2 某数乘以一个不为零的整数，再除以同一个数，仍得原数。

就是： (a?b)?b?a （由学生自己证明） 在连除、乘除混合运算中，规定从左到右依次运算。 在加减乘除混合运算中，规定先算乘除，后算加减。 例如：a?b?c?d?e?a??b?c???d?e?

26

第一章 整数

2、有余数的除法

⑴ 定义 整数a除以整数b（b?0），如果得到的商q还是整数（或者说，如果存在整数q，使bq?a），这时就叫做b能整除a（或者a能被b整除），这时的整数商叫做完全商。记作 b|a 或者a?b.

|a。 如果整数a不能被整数b整除，记作b? 例如：7能整除42，商是6，记作7|42 或者 42?7且6称为完全商。

有时候，整数a除以整数b，不能够得到整数商q。例如，43?7，就找不到一个数

|43.但是能够找到一个数6乘以7的积42乘7，得到43，此时，7不能被43整除，即7?小于43，而?6?1?乘以7的积49大于43，从43中减去6与7的积42，还余1，就是：

43?6?7?1.这样的除法我们有下面的定义。

定义 已知两个数a、b（b?0），要求两个整数q、r，使q、r满足以下条件：

a?bq?r 并且 r?b,

这样的运算叫做有余数除法。一般记作：

a?b?q(余r) 或 a?b?q??r

读作“a除以b等于q余r”。a还叫做被除数，b还叫做除数，q叫做不完全商（有时为了简便也简称商），r叫做余数。

在a?bq?r中，如果r?0，那么a?bq，也就是b|a，这样，整除可以看作是有余数除法的特殊情况。

⑵ 有余数除法a?b的不完全商q和余数r总是存在的。 当a?b时，在以下数列

b?1，b?2，?，b?a中，总可以找到一个q，使 bq?a?b(q?1)?bq?b. 由此可得 a?bq?b， 即 a?bq?r?b. 当a?b时，q?1，r?0； 当a?b时，q?0，r?a.

因此，在整数范围内有余数除法总可以施行。

27

第一章 整数

⑶ 在有余数的除法里，不完全商和余数都是唯一的。就是： a?bq?r(r?b)中的q与r都是唯一的。 证明：如果还存在q1、r1，有

a?bq1?r1， (r1?b)

而已知 a?bq?r， (r?b) 所以 bq?r?bq1?r1.

由此得 r?r1?bq1?bq?b(q1?q). 这样就会得到 b|(r?r1).

但r1?b，r?b，所以r?r1?b，这样，只有在r?r1?0时，r?r1才能被b整除。因此r?r1?0，就是r?r1. 因而就有 0?b(q1?q)

因为除数b不能是0，所以q1?q?0， 就是q?q1. 因此，在有余数的除法里，不完全商和余数都是唯一的。

思考题：余数为何比除数小？

3、除法和减法的关系

我们已经知道除法是乘法的逆运算，而乘法是用同数连加来定义的，那么，除法也可以用同数连减来说明。

设a?b?q(余r)，也就是a?bq?r(0?r?b)， 于是 a?bq?r.

?b???b）?r， ∵ a?bq?a?(b???????q个 ∴ a?(b?b???b）?r. ???????q个 这说明，除法也可以用连减法求商，把被除数作为被减数，除数作为相同的减数，连减的最多次数就是商，最后的差就是余数（可以是零）。

4、除法的运算性质

28

第一章 整数

⑴ 一个数乘以两个数的商，可以先把这个数乘以商里的被除数，再除以商里的除数。就是：

a?(b?c)?a?b?c(b|c)

分析：根据除法定义，只要验证商a?(b?c)与除数c的积等于被除数a?b，这个性质就得到证明。

证明：∵ a?(b?c)?c

??a??b?c???c （运算顺序的规定） ?a?[(b?c)?c] （乘法结合律） ?a?b （除法定义推论1） ∴ a?(b?c)?a?b?c(b|c) （除法定义）

⑵ 一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。就是:

a?(b?c)?a?b?c (bca)

分析：根据除法定义，只要验证商a?b?c与除数b?c的积等于被除数a，这个性质就得到证明。

证明：∵ (a?b?c)?(b?c)

??a?b?c??c?b （乘法交换律结合律） ?[(a?b)?c]?c?b （运算顺序的规定） ??a?b??b （除法定义推论1） ?a （除法定义推论1） ∴ a?(b?c)?(a?c)?b （除法定义） ⑶ 一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数。就是:

a?(b?c)?(a?c)?b （由学生自己证明） 或 a?(b?c)?(a?b)?c(b|a) （由学生自己证明） ⑷ 两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。就是：

29

*

第一章 整数

(a?b)?c?(a?c)?b(c|a)

或 (a?b)?c?a?(b?c)(c|b)

（由学生自己证明） ⑸ 两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。就是：

(a?b)?c?(a?c)?b(bc|a) （由学生自己证明） ⑹ 若干个数的和除以一个数，等于用除数去除和里的各个加数（在能整除的条件下），然后把所得的商加起来。就是：

如果 b|a1,b|a2,?,b|an，

那么 ?a1?a2???an??b?a1?b?a2?b???an?b. 证明：∵ ?a1?b?a2?b???an?b??b

?[?a1?b???a2?b?????an?b?]?b （运算顺序的规定） ??a1?b??b??a2?b??b????an?b??b （乘法分配律推广） ?a1?a2???an （除法定义推论1） ∴ ?a1?a2???an??b?a1?b?a2?b???an?b （除法定义） ⑹ 商的变化

① 如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同数倍。就是：

如果 a?b?q，那么 (a?n)?b?q?n，

或 (a?n)?b?q?n?bn|a?.

证明： (a?n)?b?(a?b)?n （除法运算性质4） ?q?n

(a?n)?b?(a?b)?n （除法运算性质5） ?q?n 例如：∵ 35?7?5，

∴ 3500?7?(35?100)?7?35?7?100?5?100?500.

② 如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或扩大）同数

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第一章 整数

倍。

就是：如果 a?b?q，那么 a?(b?n)?q?n 或 a?(b?n)?q?n(bn|a)

?n|b?.

（由学生自己证明）

例如：∵ 120?20?6，

∴ 120??20?3??6?3?2.

③ 如果被除数和除数都扩大（或缩小）同数倍，那么它们的商不变。就是： 如果 a?b?q，那么 (a?n)?(b?n)?q，

或 (a?n)?(b?n)?q?n|a,n|b?.

（由学生自己证明）

例如：1200?25??1200?4???25?4??4800?100?48，

1200?25??1200?5???25?5??240?5?48.

④ 在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或缩小）同数倍，虽然不完全商不变，但余数却随着扩大（或缩小）同数倍。就是：

如果 a?b?q(余r)，那么 (a?n)?(b?n)?q(余r?n)，

或 (a?n)?(b?n)?q证明：已知 a?bq?r，(r?b) 那么 a?n?(bq?r)?n*

?bqn?rn （乘法分配律） ?(bq)n?rn ∵ r?b， ∴ rn?bn ∴ (a?n)?(b?n)?q(余r?n). 同理可证 (a?n)?(b?n)?q??余r?n)?(n|a,n|b).

?余r?n?.

例如：1200?25??1200?4???25?4??4800?100?48，

5、除法的运算法则 ⑴ 表内除法

31

第一章 整数

被除数、除数都是一位数，或者被除数是两位数，除数和商都是一位数的除法，可以用乘法口诀直接求出商。这样的除法通常叫做表内除法。 例如：6?2，根据2?3?6，得出6?2?3； 又如：32?8，根据4?8?32，得出32?8?4。 ⑵ 除数为一位数的除法

多位数除以一位数，可以把多位数写成不同计数单位的数之和的形式，再根据除法运算性质⑹，把它变成表内除法求出商。

）?4 例如： 536?4?(5百?3十?6）?4 ?(4百?13十?6）?4 ?(4百?12十?16 ?(4百?4)?(12十?4)?(16?4)

?1百?3十?4

?134

通常写出竖式进行计算:

134 4536

4131216160由此可以得到除数是一位数的除法的计算法则：从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面，如果不够商1，就在这一位上商0；每次除得的余数必须比除数小。

⑶ 多位数除以多位数

多位数除以多位数也是根据除法的运算性质⑹来进行计算的。

）?32 例如： 6528?32?(65百?2十?8）?32 ?(64百?128 32

第一章 整数

?(64百?32)?(128?32)

?2百?4

?204

写成竖式计算，就是:

204326528

641281280由此可以得到多位数除法的计算法则：从被除数的最高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果前几位数比除数小，就再往后多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面；哪一位不够商1，就在那一位上商0；每次除得的余数必须比除数小，并且在余数右边一位写下被除数在这一位上的数，再继续除。

思考题：你能总结一下试商有几种方法吗？

⑷ 商的位数

两个数的商的位数，等于被除数与除数的位数的差，或者比这个差多1。 设被除数a是m位数，除数b是n位数，且a?b?t， 那么a?b的商t是(m?n)位数，或者是(m?n?1)位数。 证明：设t是x位数，?x?bt，

∴ a的位数m等于b、t位数之和，或比这个和少1，就是： ① m?n?x 或 ② m?n?x?1

由①可得 x?m?n； （加减法的关系） 由②可得 x?m?n?1. （加减法的关系） 这就是说，两个数的商的位数等于这两个数的位数之差，或者比这个差多1。 至于商的位数究竟是几，可以这样判断：

① 如果被除数a的前n位数小于b，那么商的位数等于这两个数的位数之差m?n。

33

第一章 整数

② 如果被除数a的前n位数大于或等于b，那么商的位数比这两个数的位数之差

m?n多一，即为m?n?1。

例如：14245?35，因为14小于35，所以商是(5?2)位数，即三位数； 又如：49245?35，因为49大于35，所以商是(5?2?1)位数，即四位数。

六、乘除法中各部分之间的关系 乘法和除法运算中，各部分之间有如下的关系： ⑴ 在乘法中，一个因数等于积除以另一个因数。就是： 如果a?b?c，那么a?c?b；b?c?a.

⑵ 在除法中，被除数等于除数乘以商，除数等于被除数除以商。就是： 如果a?b?q，那么a?bq；b?a?q.

⑶ 在有余数的除法中，被除数等于除数乘以不完全商加余数；除数等于被除数减去 余数再除以不完全商。就是：

如果a?b?q?r，那么a?bq?r；b?(a?r)?q.

应用以上关系，可以对乘法和除法进行验算；还可以求乘除法中的未知数。 ① 验算乘法的方法：

用乘法验算。应用乘法交换律，把两个因数交换位置后再乘一次，如果两次相乘的结 果相同，原计算是正确的。

用除法验算。将所得的积除以其中一个因数，如果所得的商等于另一个因数，原计算是正确的。

② 验算除法的方法：

用乘法验算。根据除法和乘法的关系，把除数和商相乘，所得的积等于被除数，原 计算是正确的。

用除法验算。根据除法各部分间关系，用被除数除以商，所得的结果等于除数，原计 算是正确的。

③ 验算有余数除法的方法：

根据“被除数＝除数×不完全商＋余数”的关系，用除数和不完全商相乘，再加上余数，所得的结果等于被除数，原计算是正确的。

相关知识链接

乘号“×”是在十七世纪同英国数学家欧德莱（William Oughtred)最先使用的，因为

34

第一章 整数

乘法是一种特殊的加法，欧德莱把加号斜过来写以表示乘。除号“÷”是在十七世纪由瑞士人拉恩（Johann Heinrich Rahn)创造的，他用一道横线把两个圆点分开，表示分解的意思。等号“＝”是在十六世纪由一位英国皇家法庭的医生罗伯特〃雷科达（Robert Recorde)首创的，他认为最能表示相等的是作一对平行线，即同样长的两条线段如＝。

七、四则混合运算 加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。

在一个算式里，如果含有加、减、乘、除四种运算中两种以上的运算，就称为四则混合运算。

在数的运算中，加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算，乘方和开方叫做第三级运算。

在四则混合运算中，运算顺序有如下规定：

1、在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，即只有加、减法或者只有乘、除法，那么运算顺序应按从左至右的顺序进行计算。

例如： ①38?4?15?42?15?27；

②500?25?4?20?4?80.

2、在一个没有括号的算式里，如果既含有第一级运算，又含有第二级运算，那么运算顺序是先算第二级运算，再算第一级运算，即“先乘除，后加减”。

例如： 690?45?8?690?360?330.

3、在一个含有括号的算式里，运算顺序是先算括号里面的，再算括号外面的；既有小括号又有中括号的，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算中括号外面的。括号里的运算，仍按照“先乘除，后加减；同级运算从左到右的顺序进行计算”的规定进行。

例如： 210???5?9??2??210??14?2??210?7?1470.

括号是一种改变运算顺序的符号。通常使用的括号有三种：“（ ）”叫做小括号（或圆括号）；“[ ]”叫做中括号（或方括号）；“{ }”叫做大括号（或花括号）。使用括号时，算式中需要最先计算的部分要使用小括号，其次用中括号，最后用大括号。

在计算含有括号的算式时，如果一个算式里含有几种括号，应该按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层计算；每一层括号里的运算也要按照第一条中所说的顺序进行计算，再把所得的结果和这一层括号外的部分进行计算。

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第一章 整数

习 题 1.2

1、用加法定义叙述：3?5?8. 2、用加法交换律和结合律证明 ⑴ a?[(b?c)?d]?(a?c)?b?d； ⑵ a?(b?c)?d?c?[(d?b)?a].

3、计算14?6，可以有下面四种算法，试一一说明它们的理论根据：

⑴ 从14往回数六个数：14、13、12、11、10、9，下一个数是8，就是所求结果；

⑵ 先从14里减去4得10，再从10里减去2得8； ⑶ 先从10里减去6得4，再加上4得8； ⑷ 因为6?8?14，所以14?6?8。

4、在乘法定义中，对“b个相同加数”中的b为什么要限定是（大于1的整数）？在

5?0?0和0?5?0中，哪个计算是根据乘法的补充定义？

5、甲说：“因为0?0?0，所以0?0?0。”乙说：“因为0?1?0，所以0?0?1。”他们说的对吗？为什么？

6、根据自己的理解，说一说为什么不能用0作除数。 7、写出表示38?27?65，28?25?700的逆运算的等式。

8、计算32?12时，有以下三种算法，试说明每种算法的理论根据，并比较一下哪一种算法最简便。

⑴ 32?4?32?8； ⑵(32?6)?2； ⑶ 32?10?32?2. 9、计算213?23先从乘数的最高位乘起行不行？试列出展开式加以说明，再写出用竖 式计算的方法。

10、用等式表示出下列性质并给出证明：

⑴ 两个数的和减去一个数，等于其中一个加数减去这个数，再加上另一个加数。

⑵ 某数减去一个数，又加上另一个数，可先加上另一个数，再减去原来的减数，

结果不变。

⑶ 一个数减去几个数的和，等于这个数依次减去和里的各个加数。

⑷ 两个数的差除以一个数，等于差里的被减数和减数分别除以这个数（在能整除的条件下），得出两个商再相减。 11、下列各式是不是正确：

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第一章 整数

⑴ 0?a?0(a?0)； ⑵ a?a?1(a?0)； ⑶ (1??1???1）?99； ⑷ (b?b???b）?nb. ???????????99个1n个b 12、填空题：

⑴ 两个加数相加，若一个加数增加16，另一个加数增加３，则它们的和 。

⑵ 两个加数相加，一个加数减少23，另一个加数增加15，则它们的和 。 ⑶ 如果被减数减少17，又要使差增加15，那么减数应该 。 ⑷ 如果一个因数缩小3倍，另一个因数扩大12倍，则它们的积 。

⑸ 如果被除数扩大6倍，除数缩小3倍，则它们的商 。 ⑹ 如果a?b?c(余d)，那么am?bm的商是 ，余数是 。 13、不做乘法运算，指出下列的乘积各是几位数。

⑴23?147； ⑵288?65；

⑶1706?998； ⑷39456?3409.

14、你知道除法试商时，有几种方法？说明做下列除法时应该怎样试商：

⑴ 576?18 ； ⑵ 2496?39. 15、不做除法运算，指出下面除法的商各是几位数。

⑴ 4624?17 ； ⑵ 23567?41. ⑶ 4719?39； ⑷ 57643?59. 16、求下列各式中的x，并说明理由。

⑴ x?45?64； ⑵ 32?x?57；

⑶ 67?x?35； ⑷ 1050?x?25； ⑸ x?1050?25； ⑹x?13?7(余9)；

⑺ (x?720)?78?1560； ⑻ 800?(350?x)?32. 17、按下面的图示，说一说加、减、乘、除四种运算间的关系。 加法 乘法

减法 除法 18、有a、b、c、r四个自然数，如果a?b?q(余r)，那么a?c?b析说明这个判断是不是正确。

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(余r)，试分

第一章 整数

19、按下列要求各编出一道混合运算式题。

⑴ 含有第一、二两级运算的四步式题，得数是0；

⑵ 含有第一、二两级运算的四步式题，用到小括号，得数等于50； ⑶ 含有第一、二两级运算的四步式题，用到小括号和中括号，得数等于100. 20、下面每组算式中的数和运算符号都相同，它们的结果也都相同吗？

⑴ 150?40?3， ?150?40??3； ⑵ 600?150?5， ?600?150??5. 38

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