山东省诸城市桃林镇桃林初中2017届中考数学压轴题专项汇编:专题
更新时间:2023-03-08 04:34:04 阅读量: 初中教育 文档下载
专题26 相似三角形的存在性
破解策略
探究两个三角形相似时,一般情况下首先寻找一组对应角相等,然后根据对应边成比例分两种情况列方程.掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题, 相似三角形的基本模型有: 1.“A”字形
已知:在△ABC中.点D在AB上,点E在AC上.DE∥BC. 结论:△ABC∽△ADE.
ADBEC
2.反“A”字形
(1)已知:在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,∠AED=∠ABC. 结论:△ABC∽△AED.
AEBDC
(2)已知:在△ABC中,点D在AB上,∠ACD=∠ABC. 结论:△ABC∽△A(:D.
ADB3.“8”字形
已知:在△ABC中,点D在CA的延长线上,点E在BA的延长线上,DE∥BC. 结论:△ABC∽△AED.
C
DAB4.反“8”字形
EC
已知:在△ABC中,点D在CA的延长线上,点E在BA的延长线上,∠ADE=∠ABC. 结论:△ABC∽△ADE.
EDABC
5.双垂直
已知:△ABC中,∠BAC=90?,AD为斜边BC上的高. 结论:△ABC∽△DBA,△ABC∽△DAC,△ABD∽△CAD.
ABDC
6.一线三等角
(1)已知Rt△ABC和Rt△CED,B,C,E三点共线,?B??E??ACD?90?. 结论:△ABC∽△CED.
ADBCE
(2)已知△ABC和△CDE,B,C,E三点共线,?B??E??ACD?90?. 结论:△ABC∽△CED.
ADBCE
(3)已知△ABC和△CED,B,C,E三点共线,?B??E??ACD?90?. 结论:△ABC∽△CED.
ADBCE
例题讲解
例1如图,已知A(-1,0),B(4,0),C(2,6)三点,G是线段AC上的动点(不与点A,C重合).若△ABG与△ABC相似,求点G的坐标.
yAOBxG
C
解:设直线AC的表达式为y?sx?t,
?0?s?t?s??2 把A,C两点坐标代入可得?,解得?.
?6?2s?tt??2??所以直线AC的表达式为y??2x?2. 设点G的坐标为(k,-2k-2),
因为点G与点C不重合, 所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况. 所以
AGAB. ?ABAC而AB=5, AC?(2?1)2?(?6)2?35, AG?(k?1)2?(?2k?2)2?5k?1,
5k?15所以?528, 即k?1?, 解得k1?, k2??(舍).
333355210所以点G的坐标(,?).
33
例2 如图,抛物线y?2(x?2)(x?4)与x轴交于点A,B(点A在B的左侧),与y轴交于8点C,CD∥x轴交抛物线于点D. P是抛物线上一点,问:是否存在点P, 使以P,A,B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
yACODBx
解:存在.
因为点A(-2,0),B(4,0),C(0,?2),过点D(2,?2)作DE⊥AB于点E,由勾股定理得AD?32,BD?6.
PBAB1①如图,当△P∽△ABD时,, 所以PB 过点P1作PM AB?66.?111⊥AB于点M1,1ABBDPMDE所以11?, 解得PM11?62. PBBD1∵
BM1BE=,∴BM1?12,∴点P1的坐标为(-8,62), PBBD1因为此时点P1不在抛物线上,所以此种情况不存在.
P2BAB,所以P.过点P2作P2M2⊥AB于点M2, =2B=62ABADPMBM2AEDE=所以22=,解得P.因为,所以BM2?8, M=2222P2BADP2BAD②当△P2AB∽△BDA时,
所以点P2的坐标为(-4,22),将x=-4代入抛物线的表达式得y=22, 所以点P2在抛物线上.
③由抛物线的对称性可知:点P2与点P3关于直线x=1对称, 所以P3的坐标为(6,22).
④当点P4位于点C处时,两个三角形全等,所以点P4的坐标为(0,-2).
综上所得,点P的坐标为(-4,22),(6,22)或(0,-2)时,以P,A,B为顶点的三角形与△ABD相似.
yP1P2P3M1M2AC(P4)ODBM3x
例3 如图,已知直线y??x?3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y??x2?bx?c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以2个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
yMBQAOPx
解: ∵y??x?3与x轴交于点A,与y轴交于点B, ∴ A点坐标为(3,0),B点坐标为(0,3),
??9?3b?c?0?b?2将A(3,0),B(0,3)代入y??x2?bx?c, 得?,解得?,
c?3c?3??所以抛物线的解析式为y??x2?2x?3??(x?1)2?4.
∴点M的坐标为(1,4),MB?12?12?2. 所以BM2?AB2?AM2, ?MBA?90?.
如图, 设运动时间为t秒, 则OP=t, BQ?(3?t)2. ①当△BOP∽△QBM时,
2(3?t)2MBBQ?, 即,整理得: t2?3t?3?0, ?t3OPOB而??32?4?1?3?0,所以此种情况不存在;
②当△BOP∽△MBQ时, 所以当t?2(3?t)2MBBQ9?, 即 ,解得t?. ?3t4OBOP9时,以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似. 4yMBQAOPx
进阶训练
31.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?,
4B??1,0?两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式和对称轴;
(2)若P是线段OA上的一点(不与点O,A重合),Q是AC上一点,且PQ=PA,在x轴上是否存在点D,使得△ACD与△APQ相似?如果存在,请求出点D的坐标;如不存在,请说明理由.
yCQBAOPx
∴点M的坐标为(1,4),MB?12?12?2. 所以BM2?AB2?AM2, ?MBA?90?.
如图, 设运动时间为t秒, 则OP=t, BQ?(3?t)2. ①当△BOP∽△QBM时,
2(3?t)2MBBQ?, 即,整理得: t2?3t?3?0, ?t3OPOB而??32?4?1?3?0,所以此种情况不存在;
②当△BOP∽△MBQ时, 所以当t?2(3?t)2MBBQ9?, 即 ,解得t?. ?3t4OBOP9时,以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似. 4yMBQAOPx
进阶训练
31.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?,
4B??1,0?两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式和对称轴;
(2)若P是线段OA上的一点(不与点O,A重合),Q是AC上一点,且PQ=PA,在x轴上是否存在点D,使得△ACD与△APQ相似?如果存在,请求出点D的坐标;如不存在,请说明理由.
yCQBAOPx
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