环境水力学（教案）

第一章 液体流动的基本概念和基本方程（4学时） 1.1基本概念：

一．研究对象：①连续介质假定，使物理量为空间坐标和时间的函数。

②描述流体运动特性的物理量v，p，?，T，C。基本特征参量。 ③lagrange Method（拉格朗日） Euler Method（欧拉） ④两种方法研究对象不同：流体质点 空间点 流体微团 微团控制体 流体系统 控制体 二.基本参量表示法：

用两种方法表示的基本参量方法不同。

Lagrange法：标量（p，T，C） p=（a，b，c，t） 质点迹线?= ?（a，b，c，t）

d???? 矢量?????(a,b,c,t)

dt?t??d? a?

dtEuler法： ???(x,y,z,t)

????????d?????①x，y，z变，a???(???)?

dt?t②附体性dx?udt dy?udt dz?udt

?????????u?ui????xi??yj??zk 所以ai?i?ui （张量形式） ??????t?uj???ui?vj?wk?三.迹线和流线。

?dx?udt? 迹线：?dy?udt

?dz?udt? 流线：??d??0

??dxdydz?? （恒定流时重合） uvw四.质点导数。液体质点的流动参数B随时间的变化律的欧拉法表示。也称为随体导数。

?????DB?? ???????B

Dt?迁移变率??t?当地变率????????????算子???B恒定流：?0

?t均匀流：(???)B?0

不可压：

D??0 Dt0五.任意度量中系统体积分的随体导数。 ①B??d?????0 B为?0系统体内积分。

例：???

????d?0?m

?0Dm?0（连续性方程积分形式） Dt（一般将其变为欧拉法形式）

????

?22?????d?0?M(动量)

?0DM??F（动量方程） Dt ???(e?)

????(e??0?22)d?0?E

DE?W（外力所做功） Dt e为内能（随温度、压力变化的能量）单位质量流体所具有的内能，状态函数。 ②输运方程（transport Equation）、（L-E）

EularD? ?d??d???????(???)d? 0???????Dt?0?t???????B ?：?0在t0时刻所占领的控制体。 物理意义：

D?d?0 系统?体积分的随体导数。 ???Dt?0?????d?0 控制体内物理量?体积分（B）的当地随时变化率。 ?t?????? ?????(???)d????????dAn（高斯定理）

?0???? ???????n?dA从封闭面A流出的?的体积分，也就是系

A?A统中一个位置移动到另一个位置，由于流场的不

均匀性而改变引起的?的体积分的迁移变化率。

1.2运动液体的应力和应变关系——本构方程

一.流体微团运动的分析。

1.微团运动=平移+变形（线变形、角变形）+转动

?u????若A点流速为：v，则距其距离为dr(dx,dy,dz)处点流速可表示为：

????w??A?u??u??Sxx?v???v???S?????yx?S??w??w????A?zx平移SxySyySzy变形引起的流速增量Sxz??dx???????Syz?dy?w?dr???dz?Szz????

转动引起的流速增量i???其中w?dr?wxdxjwydykwzdz

1??ui?uj?2、3?2、3 i?j线变形，i?j角变形 2.变形率张量：Sij?? i?1、，j?1、??2??x?xi??j变形率张量具有对称性：Sij?Sji （6个独立）

??u?v?w?????v（速度的散度） Sij称为体积膨胀率，Sij?Sxx?Syy?Szz??x?y?z??1?1??角转速分量?，定义为??rotv（速度的旋度）

22ijk?1????1?????v???xi??yj??zk 22?x?y?zuvw????若??0，无旋、有势流动，速度有势v??? ? ??lvdl?0（环流量=0）

存在势函数，称为流速势? ? 满足?2??0（拉普拉斯方程）

??????[区别，力有势f????，力势函数，??lFdl?0]

二、运动流体中的应力

0???p0??①静止：0?p0 ，只有压应力（负号表示与作用面外法线方向相反） ???0?p??0???pxx?②运动、理想液体（不存在粘性切应力）0???00?pyy00?0?? ，pxx?pyy?pzz?pm ?pzz????pxx?③粘性实际运动：??yx??zx??xy?pyy?zy?pzz???xz???yz? ，?zx：x表示作用面法线方向，z表示力方向。

由于存在切应力，所以，法向应力pxx?pyy?pzz，但pxx?pyy?pzz?const（不因坐标变化而变），所以，引入动水压强：pm?1pxx?pyy?pzz?与作用面无关，各方上压力应?3'力被认为是pm加上一个附加压应力，如pxx?pm?pxx。

切应力具有对称性：?yz??zy

??pm?A：对于层流??0?L??0'??pxx?其中??yx??zx?0?pm0'0???pxx?0?????yx?pm?????zx?xy?p'yy?zy'??pzz??xz???yz?

?xy?p'yy?zy'??pzz??xz???yz?粘性附加应力张量

???u'2x??'B：对于紊流??????u'yux?tL?''??uzux?????u'2x??'其中??u'yux??''??uzux??''??uxuy''??uxuy??u'z2''??uzuy''???uxuz????u'yuz'?

2?'??uz????u'z2''??uzuy''???uxuz?'???u'yuz?为紊流附加切应力项（混渗应力or Re应力） 2?'??uz??简写为?ij?t???ij?L???ij

'三、应力—应变的关系（本构方程） 1、牛顿流体 ?ij?s??nij n=1。本构关系符合内摩擦定律，应力和应变线性关系。

非牛顿流体 n?1

2、本构方程：各向同性、牛顿流体、层流，应力应变关系：牛顿内摩擦定律，Stokes（斯托克斯）推广。

正应力：pij?pm?2??ui i?j （不可压） ?xj??ui2pij?pm?2????v i?j （可压）

?xj3切压力：?ij??ji???1.3 连续性方程 质量守恒

??ui?uj?? ?i?j? ???x??j?xi?DM?0 （对理想、实际流体都适用） Dt????v?ndA??????vd? ?：控制体

?一、积分形式：

????d????v?ndA?0 ???t????一维恒定：?1v1A1??2v2A2 二、微分形式

????????????v?0 ??v：流出控制体的质量（单位时间、单位体积） ?t?D?????v?0 Dt?D??0 ? ?v?0 （恒定、非恒定流均可） ①不可压 Dt?D??0 ? ??v?0 （不限制压缩否） ②恒定 Dt??????1.4 运动方程

???一、微分形式：?F?ma

????1dv?v???1、ideal：Eular方程：f??p???v??v

?dt?t??2、实际牛顿流体、各项同性、不可压缩、层流 N-S方程

?????1?v?????2??v??v?F??p??v ?t???????????????v?v?????v??v：惯性项。 ：当地变化率，v??v：迁移变化率（非线性项），

?t?t??????1?2?F：质量力项，?p：压强梯度项，?v：粘性项。

??3、对紊流，将上述方程取时均，得到（雷诺方程）

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