必修四三角函数例题

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 sin??1?cos?sin???sin??????sin??????11?tan2sin(???)?cos?2221cos?cos???cos??????cos???????11?tan2tan(???)?cot?22 2cos??1?sin?sin????cos??????cos??????11?tan22??????cos(???)??sin?2sin??sin??2sincos22??2?????1sin??sin??2cossin2tantan(???)??cot?222 2tan?????????cos??cos??2coscos11?tan222sin(???)?cos?2??????2cos??cos???2sinsin?6?2, ,tan15??cot75??2?3,. ??22cot15??2?3 tan75?sin15?cos75?4sin75??cos15??6?2 4

三角恒等变换和解三角形基本知识回顾 （2009年11月19日）

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

令???sin??????sin?cos??cos?sin?????sin2??2sin?cos?

2010级高三数学 第1页

令???cos??????cos?cos??sin?sin?????cos2??cos2??sin2?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　??2cos2??1?1?2sin2?tan??tan?1+cos2?　　　　　　　?cos2?＝1?tan?tan?21?cos2?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?sin2?＝22tan?　　　tan2??1?tan2?1?2??sin2 C、 如（1）下列各式中，值为的是 A、sin15?cos15? B、cos21212　tan??????tan22.5?1?cos30? D、 （答：C）；

1?tan222.5?2（2）命题P：tan(A?B)?0，命题Q：tanA?tanB?0，则P是Q的

A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）； （3）已知sin(???)cos??cos(???)sin??（4）

37，那么cos2?的值为____（答：）；52513的值是______（答：4）； ?sin10?sin80?00(5)已知tan110?a，求tan50的值（用a表示）甲求得的结果是a?3，乙求得的结

1?3a1?a2果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）

2a2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，

22?1?3如（1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答：）；

225444??1?2（2）已知0???????，且cos(??)??，sin(??)?，求cos(???)的

229234903值（答：）；（3）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与

7295343x的函数关系为______（答：y??1?x2?x(?x?1)）

555(2)三角函数名互化(切化弦)，

?如（1）求值sin50?(1?3tan10)（答：1）；

2??(???)?(???)，????2????，

???2?????2??????2?等），

1sin?cos?2?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值（答：）

81?cos2?3(3)公式变形使用（tan??tan??tan??????1?tan?tan??。

（2）已知

2010级高三数学 第2页

如（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____

（答：?2）； 2(2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?3，则此4三角形是____三角形（答：等边）

1?cos2?1?cos2?sin2??，与升幂公式：

2231?cos2??2cos2?，1?cos2??2sin2?)。如(1)若??(?,?)，化简

2cos??(4)三角函数次数的降升(降幂公式：

2?11112sin为_____（答：）；（2）函数f(x)?5sinxcosx?53 cosx??cos2?222225?5??3(x?R)的单调递增区间为___________（答：[k??,k??](k?Z)） 21212) (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan?(cos??sin??1?tansin??tan?1?sin?2；（3）化简：?（答：sin?）；（2）求证：???cot??csc?1?2sin21?tan2212cos4x?2cos2x?2（答：1cos2x）

??22tan(?x)sin2(?x)442222(6)常值变换主要指“1”的变换（1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx

3?tan??sin???等），如已知tan??2，求sin2??sin?cos??3cos2?（答：）.

425 sinxcosx”的内存联系――“知一求二”，如（1）若 (7)正余弦“三兄妹—sinx?cosx、t2?1sinx?cosx?t，则sinxcosx? __（答：?)，特别提醒：这里t?[?2,2]；（2）

24?7若??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。（答：?）；（3）已知

23??sin2??2sin2??k(???)，试用k表示sin??cos?的值（答：1?k）。

421?tan?3、辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?限由a, b的符号确定，?角的值由tan??a2?b2sin?x???(其中?角所在的象

b确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方a3)；（3）如果2程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数

y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－2)；（4）求值：31??64sin220??________(答：32) 22sin20?cos20?4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有

2010级高三数学 第3页

二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若

?,??(0,?)，且tan?、tan?是方程x2?5x?6?0的两根，则求???的值______（答：3?4）；（2）?ABC中，3sinA?4cosB?6,4sinB?3cosA?1，则?C＝_______（答：

?）；（3）若0???????2?且sin??sin??sin??0，cos??cos??cos??0，32?求???的值（答：）.

35、. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为?，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

b?c?2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的

sinAsinBsinCab,sinB?,sinC 一些变式：?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?2R2Rc?；?iii?a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形2R?时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

222b?c?a(3)余弦定理：a?b?c?2bccosA,cosA?等，常选用余弦定理鉴定三角

2bc222(2)正弦定理：a形的形状.

222?ABC中，若sin2Acos2B?cos2Asin2B?sin2C，判断?ABC的形状（答：直角三角

形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A?B?C??这个特殊性：

(4)面积公式：S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）.如

A?BC?cos；（2）求解三角形中含有边角混合关系22 b，的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）?ABC中，A、B的对边分别是a、A?B???C,sin(A?B)?sinC,sin?且A=60, a?6, b?4，那么满足条件的?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解

D、不能确定（答：C）；（2）在?ABC中，A＞B是sinA?sinB成立的_____条件（答：充要）；

1）；(4)在?ABC2中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?（3）在?ABC中， (1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____（答：

a2?b2?c2?C＝____（答：60）；（5）在?ABC中，若其面积S?，则?C=____（答：

4330?）；（6）在?ABC中，A?60?, b?1，这个三角形的面积为3，则?ABC外接圆的直径

?239）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，3191B?C22a?3,cosA?,则cos2= ，b?c的最大值为 （答：;）；（8）在△

3232?ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：0?C?）；（9）设O是锐角三角形

6?ABC的外心，若?C?75，且?AOB,?BOC,?COA的面积满足关系式

是_______（答：

2010级高三数学 第4页

S?AOB?S?BOC?3S?COA，求?A（答：45?）．

两角和与差的三角函数 （2009年11月20日）

例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·2sin280?的值. 解：原式=?2sin50??sin10???1????????3sin10?????2sin80?

cos10?????=(2sin50??sin10??cos10??3sin10?)?2sin80?

cos10???13cos10??sin10???2??2cos10? =?2sin50??2sin10??2cos10???????=??2sin50???2sin10?sin40????2cos10?

cos10??=

2sin60??2cos10??22sin60? cos10?=22?3?6. 2变式训练1：(1)已知?∈(

?3?,?)，sin?=,则tan(??)等于（ ） 254A.

11 B.7 C.－ D.－7 77 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ） 3311A.－ B. C.－ D.

2222解：(1)A (2)B 例2. 已知α?(解：∵α－＋α∈(

?3?4,4?3??353??，)，β?(0，),cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 444413543?4?4＋β＝α＋β＋

13?sinx?1)

?2) β∈(0,?1?∴α－

??3?3?∈(0,) β＋∈(,π)

44243??124)＝ cos(??)＝－ 45413?2∴sin(α－

∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)] ＝－cos[(α－

3??56)＋(??)]＝

6544变式训练2：设cos（?－

?1?2ππ）=－，sin（－β）=，且＜?＜π，0＜β＜，

9322222010级高三数学 第5页

求cos（?+β）.

?ππππ?π解：∵＜?＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.

2242422故由cos（?－

?45?1）=－，得sin（α－）=.

92925????2??，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（－β）］

332222由sin（

?2－β）=

=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?15245??)=?? ??293392?75?752392???∴cos（?+β）=2cos－1=2??-1=－. ???27?729227??例3. 若sinA=

510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510510,sinB=， 510解 ∵A、B均为钝角且sinA=∴cosA=-1?sinA=-225=-

25， 5cosB=-1?sinB=-2310=-

310， 10∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

?=??????25??×??310?-5×10=2 ① ??5?102??10?5??＜A＜?, ＜B＜?, 22∴?＜A+B＜2? ②

7?由①②知，A+B=.

4又∵

变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中，A+B+C=180°, 由4sin2得4·7A?C-cos2B=, 227A?C-- cos2B=,求角B的度数. 221?cos(A?C)7-2cos2B+1=, 2212所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是cosB=,B=60°.

1例4．化简sin2?·sin2?+cos2?cos2?-cos2?·cos2?.

2解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）

2010级高三数学 第6页

原式=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-

1·(2cos2?-1)·(2cos2?-1) 21(4cos2?·cos2?-2cos2?-2cos2?+1) 21=sin2?·sin2?-cos2?·cos2?+cos2?+cos2?-

21=sin2?·sin2?+cos2?·sin2?+cos2?-

2111=sin2?+cos2?-=1-=.

222方法二 （从“名”入手，异名化同名）

1原式=sin2?·sin2?+(1-sin2?)·cos2?-cos2?·cos2?

21=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-cos2?·cos2?

21=cos2?-sin2?·cos2?-cos2?·cos2?

2=cos2?-cos2?·?sin2??cos2??

???12?==

1?cos2?-cos2?21?2?2·sin??(1?2sin?)?? 2??1?cos2?11-cos2?=. 222方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1原式=·+·-cos2?·cos2?

222221111=(1+cos2?·cos2?-cos2?-cos2?)+(1+cos2?·cos2?+cos2?+cos2?)-·cos2?·cos2?=. 4422方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

1原式=(sin?·sin?-cos?·cos?)2+2sin?·sin?·cos?·cos?-cos2?·cos2?

211=cos2(?+?)+sin2?·sin2?-cos2?·cos2?

221=cos2(?+?)-·cos(2?+2?)

211=cos2(?+?)- ·［2cos2(?+?)-1］=.

22???变式训练4：化简：（1）2sin???x?+6cos??x?;

?4??4???(2）

2cos2??1.

???2???2tan????sin?????4??4??13??????x???cos??x?? ?4?2?4????解 （1）原式=22?sin???2? 2010级高三数学 第7页

????=22?sinsin??x??coscos??x??

66?4??4??????????=22cos????x?=22cos(x-?64????12). =

cos2?cos2?(1?sin2?)1?sin2?（2）原式=

cos2?1?tan???????1?cos??2???1?tan???2??=1.

二倍角的正弦、余弦、正切 （2009年11月21日）

例1. 求值：解：原式＝ ＝

sin40?(1?2cos40?)2cos240??cos40??1

sin40??sin80?

cos40??cos80?sin(60??20?)?sin(60??20?)＝

cos(60??20?)?cos(60??20?)?12?sin3

变式训练1：(cosA．－解：D

?12)(cos

??＋sin)＝ （ ） 12121133 B．－ C． D．

2222例2． 已知α为锐角，且tan??，求解：∵α为锐角 ∴＝

sin2?cos??sin?sin2?cos2?2＝sin?(2cos??1)

12sin2?cos??sin?的值.

sin2?cos2?2sin?cos?cos2?15＝1?tan2?＝ cos?4变式训练2：化简：

2tan(2cos2??1?4??)?sin(2?4??)

解：原式＝

2sin(cos(cos2???4＝1

?4??)??)??)?cos2(4例3．已知f(x)??3sin2x?sinxcosx； (1) 求f(25??13)的值； (2) 设??(0,?),f()??，求sinα的值． 6242 2010级高三数学 第8页

解：（1）∵sin∴f(251?62cos25?3 ?6225?25?25?25?)??3cos2?sincos?0 6666（2）f(x)?∴f()?a2331cos2x??sin2x 22231313 cos??sin????222421?35 816sin22－4sinα－11＝0 解得sin??∵2?(0,?)?sin??0 故sin???变式训练3：已知sin(解：cos(＝2sin2(

?6??)＝

1?35 812?，求cos(?2?)的值．

332??＋2α)＝2cos2(＋α)－1 33?7－α) －1＝－ 69?)，求sinα、tanα的值． 2例4．已知sin2 2α＋sin2α cosα－cos2α＝1，α?(0，解：由已知得

sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0 即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0 cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0 ∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1 ∴2sinα＝1 sinα＝ ∴tanα＝

12?233

变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列(??[0,2?])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．

解：∵α、β、r成公比为2的等比数列． ∴β＝2α，r＝4α

∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴

sin?sinrsin2?sin4?????cos??2cos22?1 sin?sin?sin?sin2?12即2cos22?cos??1?0，解得cosα＝1或cos???

当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当cos???时，∵2∈[0,2π] ∴2?∴??122?2?或2? 332?4?8?4?8?16?,??,r?或??,??,r? 333333简单的三角恒等变换 （2009年11月22日）

例1： 不查

表求值xxsin?2cos?0222cos10??sin20?= ． cos20? 2010级高三数学 第9页

例2：已知

（1）求tanx的值； （2）求

cos2x2cos(?x)?sinx4?的值．

解析：（1）由sinxxx?2cos?0, ?tan?2， 222x2?2?2??4． ?tanx?31?222x1?tan22tan（2） 原式＝

cos2x?sin2x2(22cosx?sinx)sinx22?(cosx?sinx)(cosx?sinx)

(cosx?sinx)sinx?cosx?sinx31?cotx?1?(?)?1?．

sinx44【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.

例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)

设向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且0??????,若a?b?求tan?的值。

【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:

?a?b?cos?cos??sin?sin???cos(???)???????44，tan??，534545又?0??????????????03?sin(?-?)=-53?tan(?-?)=-44又?tan?=334?tan(???)?tan?743?tan??tan[(???)??]???1?tan(???)tan?1?(?3)?424

43?【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换

2010级高三数学 第10页

、例4．(2007·四川 )已知cos???113,cos(???)?,且0

2714(Ⅰ)求tan2?的值.（Ⅱ）求?.

【解题思路】由同角关系求出tan?再求tan2?；又?????????结合角?的范围定角。

21?1??2[解析]（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos??1????43 727?7?∴tan??sin?4372?43???43，于是tan2??2tan??cos?711?tan2?1?43??83 ??247（Ⅱ）由0??????2，得0??????2

13又∵cos??????，∴sin??????1?cos14213?33 ??????1?????14?14?2由?????????得：cos??cos???????????

?11343331?cos?cos??????sin?sin??????????,所以??

37147142【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

例题5：（08湖北卷16） 已知函数f(t)?1?t17?,g(x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(?,). 1?t12（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(?x??)?B（A?0，??0，??[0,2?)）的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域.

本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）g(x)?cosx?1?sinx1?cosx ?sinx?1?sinx1?cosx(1?sinx)2(1?cosx)2 ?cosx??sinx?22cosxsinx1?sinx1?cosx?cosx??sinx?.

cosxsinx

2010级高三数学 第11页

?17???x???,,?cosx??cosx,sinx??sinx,?12??1?sinx1?cosx?g(x)?cosx??sinx?

?cosx?sinx

?sinx?cosx?2 ＝2sin?x???????2. 4?（Ⅱ）由?＜x?17?5??5?，. 得＜x??12443?5?3???3?5???sint在?,?上为减函数，在?,?上为增函数，

?42??23?又sin5?5?3??5??17??＜sin,?sin?sin(x?)＜sin（当x???,）， ?342442??即?1?sin(x?)＜??42? ，??2?2?2sin(x?)?2＜?3，24故g(x)的值域为??2?2,?3.

??3xx2sinx

例6：:证明tan －tan ＝

22cosx＋cos2x

3xx3xx

【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系： ＋ ＝2x， － ＝x

2222sinx＝sin cos －cos sin ?2 －2 ＝x ∴2222

3xx

又cosx＋cos2x＝2cos cos

22①÷②即得：

3xxsin sin 222sinx3xx ＝ － ＝tan －tan . 3xx22cosx＋cos2x

cos cos 22

【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似. 例题7：.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+(1) (2)

求函数f(x)的最大值和最小正周期.

设A,B,C为?ABC的三个内角，若cosB=，f()??

3x

x

3x

x

3x

x

① ②

?2)+sinx. 313c21，且C为锐角，求sinA. 4 2010级高三数学 第12页

解: （1）f(x)=cos(2x+

???1?cos2x132)+sinx.=cos2xcos?sin2xsin???sin2x 3332221?3,最小正周期?. 2

所以函数f(x)的最大值为

（2）f()=

c21?133, 因为C为锐角, 所以C?, ?sinC=－, 所以sinC?43222又因为在?ABC 中, cosB=, 所以 sinB?1323, 所以 3sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?211322?3. 2????32326【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.

例题8：(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos2?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.

（1）求?.的值;

（2）在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?2,f(A)?3,求角C.. 2解: （1）f(x)?2sinx?1?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为

0????,所以???2cosx .所以f(x)?sin(x?)?2?（2）因为f(A)??33,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为

622abbsinA12??2??,也就是sinB?, sinAsinBa22a?1,b?2,所以由正弦定理,得

因为b?a,所以B??4或B?3?. 4 2010级高三数学 第13页

当B??4时,C????6??4?7?3??3???. ;当B?时,C????1246412【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.

b、例题2：2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、已知a?c?2b，c，

且sinAcosC?3cosAsinC, 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右

2222sinC,过侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sinAcosC?3cosA多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.

解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0。 所以b?2ccosA?2?????????????①

又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC

22222sinC sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosA由正弦定理得sinB?sinC，故b?4ccosA?????????② 由①，②解得b?4。 aa

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