湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三第一次模拟考试试题

黄冈中学2013届高三第一次模拟考试

数学（理）试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．纯虚数z满足z?2?3，则z为 A．5i B．?5i C．?5i D．5或?1

2．命题甲：x?2或y?3；命题乙：x?y?5，则甲是乙的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

3．已知双曲线的焦距为23，焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为

y2x2?1 B．?y2?1 A．x?222y2x2x2y222?1或y??1 D．?y?1或?x2?1 C．x?222224．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位

数的个数是 A．36 B．32 C．24 D．20 5．已知cos(???3，则sin(2??)的值为 ?)?663A．

112222 B．? C． D．? 3333频率/组距 6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计， 0.50 得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的

0.44 众数、中位数分别为 A．2， 2.5

0.30 B．2.25， 2.02

C．2.25， 2.5

0.16 D．2.5， 2.25

0.08

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)

第6题图

7．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个

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方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过方格边长最长为(单位：cm)

A．3 B．4 C．5 D．6 8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A．

1，则920π3

2 B．6π C．

A

D 1610 D．ππ3 3

开始 n＝5，k＝0 1 4 侧视图

2 正视图

O C 第9题图

B 是 n?n为偶数 否 n 2 3n+1 n＝ k＝k +1 否 第8题图

俯视图

第12题图

? n =1? 是 输出k 结束 ?D是圆O上的点，?CBA?60，?ABD?45， 9．如图，AB是圆O的直径，C、????????????CD?xOA?yBC，则x?y的值为

A．?13 B．?

33C．

2 D．?3 310．已知定义在(0,??)上的单调函数f(x)，对?x?(0,??)，都有f[f(x)?log2x]?3，则方程f(x)?f'(x)?2的解所在的区间是 A．（0，

11） B．（,1） C．（1，2） D．（2，3） 22二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分． （一）必考题（11 — 14题）

1??4x11．?x?的展开式中,含项的系数为 ． ?2x??12．执行如图所示的程序框图，输出的k值是 ．

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1x2yz?(0,??)，且lnx?lny?lnz?，则的最大值为 ． 13．已知x、、3yz22214．对于实数x，将满足“0?y?1且x?y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用

符号?x?表示．已知无穷数列{an}满足如下条件：

?1???①a1??a?；②an?1??an?0?（Ⅰ）若a?（Ⅱ）当a?(an?0)(an?0)．

2时，数列{an}通项公式为 ；

1*时，对任意n?N都有an?a，则a的值为 ． 3（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）

已知抛物线C的极坐标方程为?sin2??8cos??0，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦

22点，与圆?x?4??y?r(r?0)相切，则r2? ．

16．（几何证明选讲）

如图，过半径为4的?O上的一点A引半径为3的?O?的切线，切点为B，若?O与?O?A AB? ． 内切于点M，连结AM与?O?交于C点，则B AMC

O?O

第16题图

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

??BC的对边分别为a、、bc，a?2，向量m?(?1,1)， 已知?ABC中，角A、、????2n?(cosBcosC,sinBsinC?)，且m?n．

2（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）当sinB?cos(M7??C)取得最大值时，求角B的大小和?ABC的面积． 12理科数学试卷 第 3 页 共 12 页

18．（本小题满分12分）

某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别

21和，且各局比赛胜负互不影响. 33（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；

为

（Ⅱ）设?表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量?的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，?BAD?60，Q为AD的中点，

?PA?PD?AD?2．

（Ⅰ）点M在线段PC上，PM?tPC，试确定t的值，使PA//平面MQB； （Ⅱ）在（I）的条件下，若平面PAD?平面ABCD，求二面角M?BQ?C的大小．

20．（本小题满分12分） 数列

P

M

Q A D B C

第19题图

122n?2a?a??中，已知，时，．数列?bn?满足：a?1a?n?nn?11n?1333bn?3n?1(an?1)(n?N*)．

（Ⅰ）证明：?bn?为等差数列，并求?bn?的通项公式；

Sn?m3m?an?1?（Ⅱ）记数列? ?m?的前n项和为Sn，是否存在正整数m,n，使得

nSn?1?m3?1??成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m,n)；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分13分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

x2y22如图，“盾圆C”是由椭圆2?2?1(a?b?0)与抛物线y?4x中两段曲线弧合成，

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F1、F2为椭圆的左、右焦点，F2(1,0)．A为椭圆与抛物线的一个公共点，AF2?（Ⅰ）求椭圆的方程；

5． 2（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数y?f(x)中，令x??(t)， 则

??ba1． b??(t2)）f(x)dx??f??(t)?d?(t)??f??(t)???(t)dt（其中a??(t1)、t1t1t2t2?220?0?20?0如

01?xdx??21?sintd(sint)??2cost(sint)?dt??2costdt??21?cos2tdt． 2阅读上述文字，求“盾圆C”的面积．

（Ⅲ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M、N、、GH四点，P和P?MHPF2?分别为NG、MH的中点，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说NGP?F2明理由．

22．（本小题满分14分）

设函数f(x)?xlnx?(a?x)ln(a?x)(a?0)． （Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）证明：对?x1,x2?(0,??)，都有x1lnx1?x2lnx2?(x1?x2)?ln(x1?x2)?ln2?；

y MA N F1 O F2 G H x 第21题图

（Ⅲ）若

?xi?12ni?1，证明：?xilnxi??ln2n (i,n?N*)．

i?12n理科数学试卷 第 5 页 共 12 页

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