线性代数习题参考答案

更新时间：2024-03-01 10:28:01 阅读量：综合文库文档下载

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第一章行列式

§1 行列式的概念

1．填空

(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的

n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构

成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含a15a23a32a44a51a66的项的符号为，含

a32a43a14a51a66a25的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值

a11(1) 00a22a320a23

a330解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

00(2)

00an?1,2an20a2,n?1an?1,n?1an,n?1a1na2n

0an1an?1,nann解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。 3．证明：在全部n元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n元排列共有n!个，设其中奇排列数有n1个，偶排列数为n2个。对于任意奇排

列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有n1 n2，同理得n2 n1，所以n1 n2。

4．若一个n阶行列式中等于0的元素个数比n?n多，则此行列式为0，为什么？

5． n阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n至少为多少？

（提示：利用3题的结果）

6．利用对角线法则计算下列三阶行列式

22（1）10813?4?1

1 （2）a1bb21c c2a2

§2 行列式的性质

1．利用行列式的性质计算系列行列式。

2141 (1)

3?1211232

5062a100 (2)

?1b100?1c1

00?1d?abacae (3) bd?cdde

bfcf?ef3

2．证明下列恒等式

ax?byay?bz (1) D?ay?bzaz?bxxzyzxzx yaz?bxax?by??a3?b3?yaz?bxax?byay?bz （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）

a2(2)

b2c2d2

?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2?0

x0(3)

?1x0?100xa200?xn?a1xn?1??an?1x?an ?1x?a10an00an?1an?2(提示：从最后一列起，后列的x倍加到前一列)

3．已知四阶行列式D的第三行元素分别为：?1,0,2,4；第四行元素的对应的余

子式依次是2，10，a，4，求a的值。

124．已知1365，2743，4056，6695，5356能被13整除，证明：345被13整除。

（提示：注意观察行列式中第2，3，4，5列元素的特点）

12345222115．已知D5?31245?27，

1112243150求：(1) 3A12?2A22?2A32?A42?A52；

(2) A41?A42?A43和A44?A45。

（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）

136274405669535536能

(2) Dn?1?a1122?a2nn12n?an, a1a2an?0

1101?a1解：构造辅助行列式D?020则Dn?D，而D?

5．用数学归纳法证明：

112?a2n112n?an，

ncos?Dn?10012cos?10012cos?0000000?cosn?

12cos?证明：（1）n?1时，等式显然成立；

（2）假定等式对于小于n阶的行列式成立；

（3）（下证n阶行列式成立）

由于，Dn? Dn?1+ Dn?2（注：按最后一行（列）展开） = = 所以，

xaaaxa 6． Dn?aaxaaaaaa，(n?1)a?x?0,求An1?An2?x?Ann

(提示：将所有行加到最后一行)

§3 克来姆（Cramer）法则

1．用克来姆法则解下列方程组

?2x1?x2?x3?4?(1) ?3x1?4x2?2x3?11

?3x?2x?4x?1123?1

?x1?3x2?x3?0?(2) ?2x1?5x2?0

?x?x?0?12

?kx1?x2?x3?0?2．当k取何值时，方程组?x1?kx2?x3?0有非零解？

?2x?x?x?0?123

第二章矩阵

§1矩阵的概念及运算

1．判断正误

（1）设A为m?n矩阵，B为s?p矩阵，若AB?BA，则 AB与BA必为同阶方阵。

（（2）A与B为n阶方阵，?为实数，有(?A)B?B(?A)???A?B。

（（3）A与B为n阶方阵，(AB)k?AkBk

(k?N) 。（（4）A与B为n阶方阵，?A?B?2?A2?2AB?B2。（（5）A为n阶方阵，?A?E?2?A2?2A?E。（（6）A与B为n阶方阵，(A?B)(A?B)?A2?B2。（（7）A为n阶方阵，(A?E)(A?E)?A2?E。（（8）A与B为n阶方阵，AT?BT?A?B 。（（9）A与B为n阶方阵，ATBT?AB。（2．选择题

(1) 设A,B,C均为n阶方阵，AB?BA, AC?CA，则ABC?（） (A) ACB （B）CBA (C) BCA (D) CAB (2) 若A为实对称矩阵，则ATA的值（）

(A) ?0 （B）?0 (C) ?0 (D) 不能确定

（3）设A为方阵，f(x)?x2?x?2，则f(A)为（）

(A) A2?A?2 （B）A2?A?2E (C) (A?2E)(A?E) (D) 不能确定

））

））））） ?12???20?????3．设A??10，B?1?1，计算：

?????23???11?????(1)

1A?3B；(2) ABT；(3) ATB。 2?10?4．计算An???。

??1?(提示：先计算出A2,A3，以此归纳出An，然后用数学归纳法证明结论)

5．设A为n阶方阵，若对任意的n维列向量z，均有Az?0，证明：A?0。

(提示：由于n维列向量z的任意性，考察n维列向量e1,e2,为0)

n,en，证A中各元素

6．设A为实对称矩阵，若A?0，证明A?0。

(提示：证A中各元素为0)

7．若A为n阶方阵，且满足AAT?E。若A?0，求E?A。 (提示：先证明E?A??E?A)

8．试证：若A为奇数阶方阵，且满足AA?E，A?1，则E?A?0。 (提示：先证明E?A??E?A)

9．若A为奇数阶反对称方阵，证明：A?0。 (提示：由反对称阵的定义证明)

T2 16

10．设A,B都是对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是AB?BA。

11．设n阶方阵A?(aij)，B?(bij)，且A与B的各行元素之和为1，?是n?1矩阵，

且每个元素都为1，求证： (1) A???；

(2) AB的各行元素之和都等于1；

(3) 若A,B各行元素之和分别为k,t，则AB的各行元素之和都等于什么？

§2 逆矩阵

1．判断正误(A,B,C均为n阶方阵)

(1) AB?0?A?0或B?0。 ( ) (2) AB?AC?B?C。 ( ) (3) A为n阶方阵。则A2?A?A?E或A?0。 ( (4) A?1?1A。 ( (5) ?AB??1?B?1A?1，?AB?T?BTAT。 ( (6) A*(A*)*?A*E。 ( 2．填空

?21(1) 设A??3??012??，则A? ，A*? ，

??101??A?1= 。

(2) 设A为3阶方阵，且A?4，则A?1= ，(4A)?1= ，

13A*?4A?1= ，(A*)T= 。 ?100?(3) 已知A*BA?2AB?12E, A???0?20??，则B= 。

??001??(4) 设??14??X???31??，则X= 。

??12??0?1?

) ) )

)

3．设A?0，证明：(E?A)k?1?E?A?A2?2?Ak?1。

(提示：证明(E?A)(E?A?A?

?Ak?1)?E)

4．设方阵A满足A?A?2E?0，证明：A及A?2E都可逆，并求其逆矩阵。（提示：利用可逆的定义证明）

*5．设A是n阶方阵，证明：(1) 若A?0，则A*?0；(2) A?An?12；(3)

(A*)*?An?2A,(A?0)。

* （提示：凡是与伴随矩阵有关的结论，可先考虑等式AA?AE）

6．设n阶非零方阵A的伴随矩阵为A*，且A*=AT，求证：A?0。 (提示：可考虑用反证法证明)

7．设A是n阶方阵，如有非零矩阵B使AB?0，则|A|?0。

8．设A,B,A?B,A?B均为n阶可逆方阵，求(A?B)。

?1?1?1?1?1 20

§3 分块矩阵

??1??41．设A??02000??000??1010??0005001?，B??21?32??3?0?，利用分块矩阵计算AB。 ??30000????03000????200?2．设A???010???，P??2?0??001????0?P?1AP?5。

??1?210????0140??00?12??，(1) 利用分块矩阵求A?1,P?1；(2) 计算

01??21

3．设A,B均为n阶方阵，令Q???OA??

?BO?(1) 证明Q可逆的充要条件是A,B均可逆；

?U(2) 设P???WV??EO??，求出U,V,W,X； ?，使PQ??OEX????1(3) 当Q可逆时，求出Q。

?0??04．设A????0?a?n

a10000a2000??0??, a1?0an?1?00??00an?0，利用矩阵分块求A?1。

5．设A为n阶可逆方阵，A1为n?1矩阵，b为常数，

?EP??T*??A1AO??A，Q???TA??A1A1?? b?T?1(1) 计算PQ；(2) 证明：Q可逆的充要条件是A1AA1?b。

6．设A为4阶矩阵，且A?2，把A按列分块为A??A1,A2,A3,A4?，其中

Aj(j?1,2,3,4)A的第j列，求A3?2A1,3A2,?A4,?A1。是

(提示：根据行列式的性质计算)

§4 矩阵的初等变换

?3?20?1???0221?化为阶梯形和简单阶梯形。 1．把矩阵A????1?2?3?2??0121????122．利用初等变换求逆矩阵，A??20??11?103．利用初等变换求解下列矩阵方程

?4（1）?1?2??221??1?3??X???22??

??31?1????3?1??24

00?12?0?1??。

00??

?021????123? （2）X2?13????2?31?

???33?4????

?2??04．已知A??0???0?之和

221101002??1?用初等变换求A?1，并计算A的所有代数余子式1?，??1??i,j?1?Anij。

(提示：利用AA?AE，可求

*i,j?1?Anij)

4．证明：若向量组?1, ?2, （提示：用定义证明）证明:不妨设?1?0 法一：显然1?1?0?2?, ?s中含有零向量，则此向量组一定线性相关。

?0 ?s?0，即存在不全为零的数使得?1, ?2, , ?s线性组合

为零，故向量组一定线性相关。

法二：由?1?0可知向量组?1线性相关，又??1????1, ?2, 相关。

注意：因为向量组?1, ?2, , ?s?，故向量组一定线性

, ?s中含有零向量，故行列式?1, ?2, , ?s?0，故向量

组一定线性相关。（这样证明是错误的，因为??1, ?2, ） , ?s?不一定是方阵。

5．已知向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关，?1??1??2,?2??2??3，

?3??3??4,?4??4??1，用定义证明：向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。

解：设

k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，由题条件可得

?k1?k4??1??k1?k2??2??k2?k3??3??k3?k4??4?0

1?k1?k4?0?k?k?01?12又?1, ?2, ?3,?4线性无关，故有?方程组系数行列式为

0k?k?0?23?0?k3?k4?0 k2, k,3k4由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有k1,才成立，故向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。

00?1101101001?1?0

全为零k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0

6．若向量?可由?1, ?2, ,? s线性表出，则表示法唯一的充要条件为

?1, ?2, , ?s 线性无关。

（提示：可考虑用反证法证明）证明：充分性（?1, ?2, 的表示为

, ?s 线性无关?表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不同

k1?1?k2?2?l1?1?l2?2?由（1）（2）得?k1?l1??1??k2?l2??2?由两个表示不一样有k1?l1,k2?l2,盾。故当?1, ?2, ?ks?s???ls?s??(1) (2)

，

??ks?ls??s?0ks?ls不全为零，这与?1, ?2, , ?s 线性无关矛

, ?s 线性无关时表示法唯一

, ?s 线性无关）若?1, ?2, , ?s 线性相关，则

必要性：（表示法唯一??1, ?2, 存在不全为零的数设为m1,m2,ms有

m1?1?m2?2?又?可由?1, ?2, ?ms?s?0?3?

, ?s线性表出记为

n1?1?n2?2??ns?s??(4)

由（3）（4）可得

?n1?m1??1??n2?m2??2?由m1,m2,??ns?ms??s??(5)

ms不全为零知道（4）（5）是?两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。

故表示法唯一??1, ?2,

, ?s 线性无关

7．若向量组?1, ?2, ?3线性无关，问常数l,m需满足什么条件时，向量组

l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关？

（提示：用定义判定）

解：设x1?l?1??2??x2??2??3??x3?m?3??1??0 即有

?lx1?x3??1??x1?x2??2??x2?mx3??3?0

由向量组?1, ?2, ?3线性无关得

?lx1?x3?0??x1?x2?0 ?x?mx?03?2l方程组的系数行列式为10110?lm?1，由克拉姆法则得lm?1?0时方程组只有零解。

01m当lm??1时l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关。

8．判断题

（1）若向量组?1, ?2, , ?m线性相关，则任一向量?i(1?i?m)可由其余向量线

性表出。（ ? ）正确为：若向量组?1, ?2, , ?m线性相关，则至少有一个向量?i(1?i?m)可

??1??0??0??????????由其余向线性表出。反例：??0?,?1?,?0??

??0??0??0??????????（2）对任意一组不全为零的数?1, ?2, 向量组?1, ?2, , ?m，有?1?1??2?2???m?m?0，则

, ?m线性相关。（ ? ）

思考一下这在什么情况下发生（3）若?1, ?2, , ?m线性相关，?1, ?2, , ?m亦线性相关，则有不全为零的数

?1, ?2, , ?m，使 ?1?1??2?2???m?m?0，

?1?1??2?2???m?m?0同时成立。（ ? ）

, ?m，使

（4）若有不全为0的数?1, ?2, ?1?1??2?2????m?m??1?1??2?2????m?m?0

成立，则?1, ?2, , ?m线性相关，?1, ?2, , ?m亦线性相关。（ ? ）

（5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则

这三向量共面。（ ? ）

9．选择题

（1）n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ D ）

??s?s?0；

（A）存在不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使?1?1??2?2???1??0??0???1??0??0???????????????反例??0?,?1?,?0??线性相关但0?0??0?1???0??0

??0??0??0???0??0??0???????????????正确应为： n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是

??s?s?0

对任意的不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使?1?1??2?2? （B）?1,?2,

,?s中任意两个向量线性无关；

（C）?1,?2, （D）?1,?2,（2）设?1,?2,,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出； ,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。

,?m均为n维向量，那么下列结论正确的是（ B ）

??m?m?0，则?1, ?2, ,?m线性相关；

??m?0时均有

（A）若?1?1??2?2?注意：无论?1,?2,,?m是否无关，当?1? ?2? ?1?1??2?2???m?m?0

,?m，有?1?1?2?2????m?m?0，

（B）对任意一组不全为零的数?1, ?2, 则向量组?1, ?2, ,?m线性无关；

??m?m?0只有?1? ?2? ??m?0。

, ?m，

注意：（B）意味着 ?1?1??2?2? （C）若?1, ?2, 有?1?1??2?2?注意：?1, ?2, , ?m线性相关，则对任意一组不全为零的数?1, ?2, ??m?m?0；

, ?m线性相关只是至少存在不全为零的数?1, ?2, , ?m，有

?1?1??2?2???m?m?0未必是对任意一组不全为零的数有

?1?1?????m?m?0 2?2 （D）因为0?1?0?2??0?m?0，所以?1, ?2, , ?m和?1, ?2, , ?m和

, ?m线性无关。

(3) 设有任意两个n维向量组?1, ?2, 全

为

零

的

数

, ?m，若存在两组不

, km,

使

?1, ?2, k1, k2, (?1?k1)?1?(?2?k2)?2?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2?（A） ?1, ?2, （B） ?1, ?2, （C） ?1??1,（D） ?1??1,注意：

?(?m?km)?m??(?m?km)?m?0，则（ D ）。

, ?m 和?1, ?2, , ?m 和?1, ?2, ,?m??m,?1??1,,?m??m,?1??1,, ?m都线性相关； , ?m都线性无关； ,?m??m线性无关； ,?m??m线性相关。

(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?0??1??1??1???2??2??2??

??m??m??m??k1??1??1??k2??2k?2??35

?km??m??m??0

??1??2??3?????????2137．设?????n??1??2???n??n??n?1, ?n）

, ?n，且

，证明：?1, ?2, , ?n与?1, ?2, , ?n等价。

（提示：可利用克来姆法则反解出?1, ?2, 证明：由条件可得?1, ?2, , ?n能线性表示?1, ?2, ??1, ?2, , ?n????1, ?2, ?0??1, ?n?A，其中A??1???1?111r1?rk,k?2,1n11111110110111??1?1? ??0??n?111 10101011101计算A?110111111101?(n?1)110111111n?1n?1n?10111010?111?(n?1)00?10000011?(?1)n?1(n?1)?0 ?1, ?n能线性表示

所以A可逆，故??1, ?2, , ?n????1, ?2, , ?n与?1, ?2, ,tin)(i?1,2,, ?n?A?1，即?1, ?2, , ?n等价。

?1, ?2, , ?n，故?1, ?2, 28．设有向量组?i?(ti,ti,,m;m?n)，试证：向量组?1, ?2, , ?m线

性无关，其中t1,t2,,tm为m个互不相等且不为0的常数。

（提示：用定义证明，其间涉及范德蒙行列式的计算）

??1????2??证明：作矩阵A?，故R(A)?R??1, ?2, ??????m?, ?m?。

计算矩阵A的秩，显然R(A)?m。且矩阵A有一个m阶子式

t1t2tmt122t22tmt1mmt2mtm??tii?1m1t11t21tmt1m?1m?1t2m?1tm??tii?1m1?i?j?m??tj?ti??0，故R(A)?m。

故R(A)?m?R??1, ?2,

, ?m??m?向量组?1, ?2, , ?m线性无关

9．设向量组{?1, ?2, , ?s}的秩为r1，向量组{?1, ?2, ?, ?t}的秩为r2

,?s ??,1 ?r3的,秩,为,2t,}证明：，

, 2向量组{?1?max{r1,r2}?r3?r1?r2。

证明：设{?1, ?2, , ?r1}是{?1, ?2, , ?s}的极大无关组，

{?1, ?2, {?1, ?2, , ?r2}是{?1, ?2, ?, ?t}的极大无关组。显然 , ?r1,?1, ?2, , ?r2}能线性表示{?1, ?2, , ?r2}?R{?1, ?2, , ?s,?1,?2,,?t}

故R{?1, ?2, 又R{?1, ?2, 显然{?1, ?2, , ?r1,?1, ?2, , ?r1,?1, ?2, , ?s,?1,?2,,?t}

, ?r2}?r1?r2，所以r3?r1?r2。

, ?s,?1,?2,,?t}能线性表示{?1, ?2, , ?s}和{?1, ?2, ?, ?t}。故

r3?r1，且r3?r2?max{r1,r2}?r3。

10．设A,B同为m?n矩阵，

证明（1）R(A?B)?R(A)?R(B)，

（2）R(A?B)?R(A)?R(B)。

证明：记A???1, ?2, , ?n?，B???1, ?2, , ?n?，则

, ?n??n?

A?B???1??1, ?2??2, 记向量组M???1, ?2, , ?n??n?，A?B???1??1, ?2??2, , ?n?

, ?n?，N???1, ?2, K???1??1, ?2??2, , ?n??n?，L???1??1, ?2??2, , ?n??n?

则R(A)?R(M)，R(B)?R(N)，R(A?B)?R(K)，R(A?B)?R(L) 作向量组H???1, ?2, , ?n,?1, ?2, , ?n?

由向量组秩的关系得R(H)?R(M)?R(N)?R(A)?R(B)

显然向量组H能表示向量组K,L，故R(H)?R(H)R(L)?R(H)，

即有R(A?B)?R(A)?R(B)，R(A?B)?R(A)?R(B)

11．设A为m?s矩阵，B为s?p矩阵，证明R(AB)?min{R(A),R(B)}。（提示：令C?AB，证R(AB)?R(A)，证明方法也是考虑它们的列向量组之间的

关系；再由C?BA，证R(AB)?R(B)）

12．向量?1, ?2, TTT, ?n线性无关的充分必要条件是

D??1T?1?1T?2?2T?1?2T?2?nT?1?nT?2?1T?n?2T?n?nT?n?0

（提示：令A?(?1, ?2, , ?n)，则D?ATA）

证明： D?ATA?0?ATA?0?AA?0?A?0

??1, ?2, , ?n线性无关

13．选择题

（1）设A是n阶矩阵，且A?0，则A中（ C ）

（A）必有一列元素全为零；（B）必有两列元素对应成比例；

（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任一列向量都是其余向量的线性组合。

（2）已知线性方程组的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则

下列结论正确的是（C ）。

（A）A的列向量组线性无关；

注：A的行向量组线性无关?R(A)?4?A的列向量组线性相关（B）A的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；（C）A的增广矩阵的行向量组线性无关；

注：A的行向量组线性无关?R(A)?4?R(A)?4，又R(A4?6)?4?R(A)?4 （D）A的增广矩阵的列向量组线性无关。

（3）设向量???1??2???s(s?1)，而

,?s????s

?1????1,?2????2, （A）R{?1,?2,（B）R{?1,?2, （C）R{?1,?2,（D）不能确定。注：容易证明?1,?2,

则下列结论中正确的是（ A ）。

,?s}=R{?1,?2,,?s}>R{?1,?2,,?s}

,?s与?1,?2,,?s等价

（4）若存在矩阵P,Q，使A?PB,B?QA，则（）

（A）R(A)?R(B)；（B）R(A)>R(B)；（C）R(A)

（A）转置；（B）初等变换；（C）乘以非奇异阵（D）乘以奇异阵。

§4 n维向量空间

1．证明：V?{(x,y,z)x?2y?3z?0}是R3的子空间。证明：??,??V，不妨记??(x1,y1,z1)，??(x2,y2,z2)，则x1?2y1?3z1?0，x2?2y2?3z2?0。

????(x1?x2,y1?y2,z1?z2)

?x1?x2??2?y1?y2??3?z1?z2???x1?2y1?3z1???x2?2y2?3z2??0

故????V。

?k?R，k??(kx1,ky1,kz1)

kx1?2ky1?3kz1?k?x1?2y1?3z1??0

故k??V。故V?{(x,y,z)x?2y?3z?0}是R3的子空间。

2．设

V1?{(x1, x2,V2?{(x1, x2,,xn)xi?R, x1? x2?,xn)xi?R, x1? x2??xn?0}?xn?0}

问V1,V2是不是向量空间？为什么？

解;V1 是向量空间（仿照上题证明对V1线性运算封闭）

V2 不是向量空间，因为(0, 0,,0)，0?0??0?0，则(0, 0,,0)?V2。

?1??1??1??5?????????3．证明：由?1??2?, ?2??2?, ?3??0?构成R3的一个基，并求???9?在这

?3??0??0???2?????????个基下的坐标。

111证明：A??1?2?3?220?6?0，故R??1,?2,?3??3，故?1,?2,?3线性无

3003关且R??1,?2,?3??R??1,?2,?3构成R3的一个基。

?1??1??2??0?????????10?114．设?1???, ?2???, ?1???, ?2???，

?0??1??3???1?????????013????????1?V1?span{?1,?2},V2?span{?1, ?2}，证明：V1?V2。

（提示：只需证明?1,?2与?1, ?2等价）

?1?3?2??1, ?2??1??2；证明：由题的条件可知： ?1?即 ??1,?2?与{?1, ?2}等价?V1?V2 设x?(x1,x2)，说明x1x2平面上f(x)?f?T11??1?3?2?,?2???1??2? 22?x1??x1??=A??x??的几何意义。 x?2??2?（1）A??

?00??01???10?；（2）；（3）A?A?????。 ??01??10??01? 48

§5 内积与正交向量组

1．试用施密特法把下列向量组正交化

?1??1??1??????? （1）?1??1?, ?2??2?, ?3??4?；

?1??3??9????????1???1??1??1??

?1????1??1???1??,??6?????2??2?21?1??2???3?1???0? ?1,?1?3??1??1????????3??3??3,?1?,??1?32?1,?1?2,?2?1??3?11?1????????1482??????? ?2??4?1?0????3??2???3??9??1??1?????????1?????3?2．设?，?是n维向量，且???，证：???2??＋?。

22 （提示：根据模与内积的关系以及内积的性质证明）证明：

???????,?????,???,???,???,?

2又????所以

2?,???,??0

22??????,???,?????

3．证明：???????R, ??????－??。

证明：

???R, ??????－??????R, ????,?????????,???? ????R, ????,?????????,????

????R, ?,???,????,????,????,???,???????,?????,???????R, ?,??2??,???2?,???,??2??,???2?,? ????R, 4??,??0???? 49

第四章

线性方程组

§1 线性方程组的一般理论