§6.3 泰勒公式 数学分析课件(华师大_四版) 高教社ppt 华东师大

数学分析第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式三、在近似计算中的应用*点击以上标题可直接前往对应内容多项式函数是最简单的函数.用多项式来逼近一般的函数是近似计算的重要内容,也是数学的研究课题之一.带有佩亚诺型余项的泰勒公式

设f(x)在x?x0处可导, 由有限增量公式

§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?o(x?x0).当|x?x0|充分小时, f(x)可以由一次多项式

f(x0)?f?(x0)(x?x0)近似地代替,其误差为o(x?x0).但在许多情况下,误差仅为o(x?x0)是不够的, 而要考虑用较高次的多项式来逼近f, 使得误差更小,如o((x?x0)).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社后退

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n§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

问题: 是否存在一个n次多项式Pn(x),使得

f(x)?Pn(x)?o((x?xo))?答案: 当f (x)在点x0有n 阶导数时, 这样的n 次多项式是存在的.现在来分析这样的多项式与f (x)有什么关系？设

Pn(x)?a0?a1(x?x0)??an(x?x0),nn则

Pn(x0)?a0,Pn?(x0)?a1,Pn??(x0)?2!a2,?,Pn(x0)?n!an,(n)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

Pn?(x0)Pn??(x0)即a0?Pn(x0),a1?,a2?,?,1!2!Pn(x0)an?.n!上式表明Pn(x) 的各项系数是由其在点x0 的各阶

导数所确定的.

设f (x) 在x0 处n 阶可导. 如果

(n)f(x)?Pn(x)?o((x?x0)),即

f(x)?Pn(x)lim?0,nx?x0(x?x0)n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

则不难得到:

f(k)(x0)?Pn(x0),k?0,1,2,?,n,(k)(1)其中k?0表示不求导.这时称f?(x0)Tn(x)?f(x0)?(x?x0)?1!(x0)n?(x?x0).n!为f (x) 在点x0 的n 阶泰勒多项式, 称

f(n)?(2)(x0)(k?0,1,,n)k!Tn(x)确实是我们所需要的多项式. 为泰勒系数.

数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社f(k)

§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

定理6.8设f (x) 在x = x0处有n 阶导数，则f(x)?Tn(x)?o((x?x0)),即f?(x0)f??(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)?1!2!(n)f(x0)nn(3)??(x?x0)?o((x?x0)).n!n证设Rn(x)?f(x)?Tn(x),Qn(x)?(x?x0),故只需证

Rn(x)Rn(x)lim?0.nx?x0Qn(x)(x?x0)n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

因为Rn(x)?f(x)?Tn(x)R(x)?f所以

(k)n(k)(x)?Tn(x)(n)(k)?(x0)???Rn(x0)?0,Rn(x0)?Rn?(x0)?Qn(x0)?Qn??Qn(n?1)(x0)?0,Qn(x0)?n!(n)连续使用n –1 次洛则当x?U(x0)且x?x0时，必达法则, 得到

?(x)Rn(x)Rn(x)Rn???limlim?limnn?1x?xx?xx?xn!(x?x0)(x?x0)n(x?x0)00(n?1)0数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余

项的泰勒公式在近似计算中的应用

?f1?lim?n!x?x0?(x0)(x?x0)???(n?1)(n?1)?f?(x)?f(x0)1(n)?lim??f(x0)??0.n!x?x0?x?x0?(x)?f(x0)?fx?x0(n?1)(n?1)(n)(3)式称为f(x)在点x0处的带有佩亚诺型余项的n

阶泰勒公式.

注1即使f(x)在点x0附近满足

f(x)?Pn(x)?o((x?x0))数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社n(4)也不能说明Pn(x)一定是f (x) 的n阶泰勒多项式.

§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

比如

f(x)?D(x)?xn?1,Pn(x)?0,在x0?0处满足(4).但是当n > 1时,Pn(x)不是

f (x) 在点x0?0的n 阶泰勒多项式, 原因是f (x)在点x =0 的高阶导数(二阶和二阶以上)都不存在,所以无法构造n 阶多项式.

注2 若f (x) 在点x0有n 阶导数, 则只有惟一的多项式( 泰勒多项式Tn(x) ) 满足:

f(x)?Tn(x)?o((x?x0)).数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社n§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

注3可以证明对任意一个n 次多项式Pn(x),存在U(x0),使得

|f(x)?Tn(x)|?|f(x)?Pn(x)|,x?U(x0).这也就是说,Tn(x)是逼近f(x)的最佳n 次多项式.在以后的应用中, 公式(3) 中的x0 常被取作0, 形式变为

f'(0)f(0)nnf(x)?f(0)?x??x?o(x)1!n!(k)nf(0)kn??x?o(x).k!k?0此式称为(带有佩亚诺型余项)的麦克劳林公式.

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§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒( Taylor,B. 1685-1731, 英国)麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰)数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

例1 验证下列公式

xx1.e?1???1!2!x2xn??o(x);n!?(?1)m?1nx2.sinx?x??3!x3.cosx?1??2!223x2m?o(x);(2m?1)!2m2m?1x2m?1?(?1)?o(x);(2m)!mxx4.ln(1?x)?x???23数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社3?(?1)n?1xn?o(x);nn§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

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5.(1?x)?1??x???(??1)126.?1?x?x?1?x2!?(??1)?(??n?1)nnx?o(x);n!?x?o(x).nnx?2?以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林公式), 请务必牢记.

下面验证1 和6, 其余请读者自己验证.

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带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

验证1 因为f(k)(x)?e,所以

(n)xf(0)?f?(0)???f于是e的n阶麦克劳林公式为

x(0)?1.xxxne?1??????o(x).1!2!n!x2nxxxn1.e?1?????o(x);1!2!n!12nn6.?1?x?x??x?o(x).1?xx2n数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

1,则验证6 设g(x)?1?x2!1!??g(x)?,?,g?(x)?,32(1?x)(1?x)g(n)故

n!(x)?,n?1(1?x)?n?g(0)?1,g?(0)?1!,g??(0)?2!,?,g(0)?n!.1于是在x?0的n阶麦克劳林公式为1?x12nn?1?x?x???x?o(x).1?x数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

例2 求f(x)?e?x22的麦克劳林公式, 并求f2n(98)(0)与f(99)xxxn???o(x),解由例1e?1??1!2!n!那么x2242nxx?2nx2ne?1??2??(?1)n?o(x).22?2!2?n!x(0).的麦克劳林由定理6.8 的注2, 可知上式就是e9899公式,由泰勒系数公式可知x和x的系数为491(98)(?1)1(99)f?49,f(0)?0,98!2?49!99!于是得到f高等教育出版社?x22(98)(0)??98!249?49!,f(99)(0)?0.数学分析第六章微分中值定理及其应用§3 泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

1例3求x在点x?1的泰勒公式.

12nn解利用?1?x?x??x?o(x).1?x111??x1?(x?1)1?[?(x?1)]?1?(x?1)?(x?1)??(?1)(x?1)?o((x?1)).下面这个例题是说明如何利用泰勒公式来求极限.

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带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

ln(1?x)?e?sinx?1.例4 求lim3x?0xx4解因为ln(1?x)??x??o(x),222333?x222?x234x4sinx?x?o(x),e?1?x??o(x),2!22?x3所以ln(1?x)?e?sinx?1lim3x?0x2233?x?1?x?x?1?o(x)=lim3x?0x33?x?o(x)?lim??1.3x?0x本题虽然可用洛必达法则来求, 但上法比较简单.

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带有拉格朗日型余项的泰勒公式

带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

前面讲的带有佩亚诺型余项的泰勒公式实际上是有限增量公式的一个推广, 它只是定性地的告诉我们用泰勒多项式去替代函数,其误差为

o((x?x0)).n下面是一个定量形式的泰勒公式.

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带有拉格朗日型余项的泰勒公式在近似计算中的应用

定理6.10（泰勒定理）若函数f(x)在[a,b]上存在直到n阶连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导数, 则对?x,x0?[a,b],存在??(a,b),使f?(x0)f??(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)?1!2!(n)(n?1)f(x0)f(?)n?1??(x?x0),(5)n!(n?1)!(n?1)f(?)n?1或者f(x)?Tn(x)?(x?x0).(n?1)!其中Tn(x)是f(x)在点x0的n阶泰勒多项式.数学分析第六章微分中值定理及其应用高等教育出版社

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