全国中考数学压轴题精选精析（五）

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2008年全国中考数学压轴题精选精析（五）

41（08浙江宿迁27题）（本题满分12分）

如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为(5,0)，顶点D在⊙O上运动．

(1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与⊙O相切； (2)当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；

(3)设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值． y

C

D

BO5 x1

A 第27题

（08浙江宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形ABCD为正方形 ∴AD?CD ∵A、O、D在同一条直线上 ∴?ODC?90? ∴直线CD与⊙O相切； (2)直线CD与⊙O相切分两种情况:

①如图1, 设D1点在第二象限时,过D1作

yCD1E1?x轴于点E1,设此时的正方形的边长为a,则

D1E1O1B5x(a?1)?a?5,解得a?4或a??3(舍去)．

OE1D1E1OD1?? OABAOB222由Rt?BOA∽Rt?D1OE1 得

yA第27题图1 3434,D1E1? ∴D1(?,)，故直线OD的55554函数关系式为y??x；

3∴OE1?CO ②如图2, 设D2点在第四象限时,过D2作

E21D2B5xD2E2?x轴于点E2,设此时的正方形的边长为b,则

操云老师的博客http://blog.sina.com.cn/caoyun 1 学子教育 中考专家 学子精品中考蓝卷 A第27题图2

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(b?1)2?b2?52,解得b?3或b??4(舍去)．

OE2D2E2OD2?? OABAOB由Rt?BOA∽Rt?D2OE2

得

∴OE2?43433,D2E2? ∴D2(,?)，故直线OD的函数关系式为y??x. 55554(5?x)2?(1?x2)?26?10x

2(3)设D(x,y0),则y0??1?x,由B(5,0)得DB?∴S?11BD2?(26?10x)?13?5x 22∵?1?x?1

∴S最大值?13?5?18，S

42（08浙江台州24题）如图，在矩形ABCD中，AB?9，AD?33，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y． （1）求?CQP的度数；

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？

（3）①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的

最小值?13?5?8.

7？ 27

Q

C D D C D C

P

R A A A B B B

（第24题） （备用图1） （备用图2）

（08浙江台州24题解析）解：（1）如图，?四边形ABCD是矩形，?AB?CD，AD?BC．

?又AB?9，AD?33，?C?90，

D

Q

C P

?CD?9，BC?33．

A ?tan?CDB?BC3?，??CDB?30． ?CD3R B

（第24题）

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?PQ∥BD，??CQP??CDB?30?．

（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，

D

Q

C ??RPQ??CPQ，RP?CP．

P A B

由（1）知?CQP?30?，??RPQ??CPQ?60?，

（图1R ）

??RPB?60?，?RP?2BP． ?CP?x，?PR?x，PB?33?x．

在△RPB中，根据题意得：2(33?x)?x， 解这个方程得：x?23．

（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，

0?x≤23，S113△CPQ?2?CP?CQ?2x?3x?2x2， D

Q

C ?△RPQ≌△CPQ，?当0?x≤23时，y?322x A

E F B

P

当R在矩形ABCD的外部时（如图2），23?x3?3，

（图R 2）

在Rt△PFB中，??RPB?60?，

?PF?2BP?2(33?x)，

又?RP?CP?x，?RF?RP?PF?3x?63， 在Rt△ERF中，

??EFR??PFB?30?，?ER?3x?6．

?S△ERF?12ER?FR?332x2?18x?183， ?y?S△RPQ?S△ERF，

?当23?x?33时，y??3x2?18x?183．

?3综上所述，y与x之间的函数解析式是：y???x2(0?x≤23)?2．??3x2?18x?183(23?x?33)操云老师的博客http://blog.sina.com.cn/caoyun 3 学子教育 中考专家学子精品中考蓝卷

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②矩形面积?9?33?273，当0?x≤23时，函数y?大值是63，而矩形面积的32x随自变量的增大而增大，所以y的最277?273?73， 的值?27277； 27而73?63，所以，当0?x?23时，y的值不可能是矩形面积的当23?x?33时，根据题意，得：

?3x2?18x?183?73，解这个方程，得x?33?2，因为33?2?33，

所以x?33?2不合题意，舍去． 所以x?33?2．

综上所述，当x?33?2时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的

42（08浙江温州24题）（本题14分）

?如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D

7 27出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

（08浙江温州24题解析）（本题14分） 解：（1）??A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．

A D P B R E

C

H Q

（第24题图）

?点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2??DHB??A?90?，?B??B． ?△BHD∽△BAC，

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?DHBDBD312??AC??8?． ，?DH?ACBCBC105（2）?QR∥AB，??QRC??A?90?．

??C??C，?△RQC∽△ABC，

?RQQCy10?x?，??， ABBC6103x?6． 5即y关于x的函数关系式为：y??（3）存在，分三种情况：

①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．

A

??1??2?90?，?C??2?90?， ??1??C．

84QM4?cos?1?cosC??，??，

105QP5D P 1 M 2 B H Q

R E C

1?3???x?6?425??，?x?18． ??12555②当PQ?RQ时，?A D B H

A D H

E P R Q

C

P E Q R C 312x?6?， 55?x?6．

③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点，

B 11?CR?CE?AC?2．

24QRBA?tanC??，

CRCA3?x?6156?5?，?x?．

2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

52于是点R为EC的中点，

43(08安徽省卷23题)（本题满分 14 分）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。 ⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？ 【解】

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（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？（6分）

（08湖北孝感25题解析）解：（1）AD?4； ················· 2分 （2）x?2.4（或

12）； ·························· 6分 5（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形． 设ME?NF?h，AD交MN于G（如图2） GD?NF?h，AG?4?h． ?MN∥BC，

?△AMN∽△ABC．

A

M G

E P D

N C MNAGx4?h??，即?

B BCAD642?h??x?4． ················· 8分

3F Q ?2??y?MN?NF?x??x?4?

?3?（第25题图2）

2??x2?4x(2.4?x?6)． ······················· 10分

322配方得：y??(x?3)?6． ······················ 11分

3?当x?3时，y有最大值，最大值是6． ·················· 12分

注意：1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；2．第19题至第25题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．

50（08湖南长沙26题）（本题满分10分）如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA. （1）当∠BAD=75?时，求⌒BC的长； （2）求证：BC∥AD∥FE；

（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值.

B C A · O D

F E

（08湖南长沙26题解析）(1)连结OB、OC，由∠BAD=75?，OA=OB知∠AOB=30?， （1分）

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∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30?，∴∠BOC=120?， ·············· （2分） ⌒的长为2?r． ··························· （3分） 故BC

3(2)连结BD，∵AB=CD，∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD， ··········· （5分） 同理EF∥AD，从而BC∥AD∥FE． ··················· （6分） (3)过点B作BM⊥AD于M，由(2)知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC=AD-2AM=2r-2AM． ∵AD为直径，∴∠ABD=90?，易得△BAM∽△DAB

2222∴AM=AB=x，∴BC=2r-x，同理EF=2r-x ············ （8分）

AD2rrr22∴L=4x+2(2r-x)=?2x2?4x?4r=?2?x?r??6r，其中0＜x＜2r ·· （9分）

rrr∴当x=r时，L取得最大值6r． ···················· （10分）

（7分）

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