2017年河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

2017年河北省普通高等学校对口招生考试

数 学

说明：

一、本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分。其中第一道大题（15个小题）为

选择题

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。在答题卡

上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。 四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1.设集合A?{x||x|?2}，集合B?{?2,0,1}，则AB?（ ）

A．{x|0?x?2} B．{x|?2?x?2} C．{x|?2?x?2} D．{x|?2?x?1} 2.设a?b，c?d，则（ ）

A．ac?bc B．a?c?b?d C．ln(a?c)?ln(b?d) D．a?d?b?c 3.“A22B?B”是“A?B”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.设奇函数f(x)在[1,4]上为增函数，且最大值为6，那么f(x)在[?4,?1]上为（ ） A．增函数，且最小值为?6 B．增函数，且最大值为6 C．减函数，且最小值为?6 D．减函数，且最大值为6 5.在△ABC中，若acosB?bcosA，则△ABC的形状为（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6.已知向量a?(?2,x)，b?(y,?1)，c?(?4,2)，，且a?b，b∥c，则（ ）

A．x?4,y??2 B．x?4,y?2 C．x??4,y??2 D．x??4,y?2

1

7.设?为第三象限角，则点P(cos?,tan?)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8.设{an}为等差数列，a3，a14是方程x?2x?3?0的两个根，则前16项的和S16为（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

2?a?9.若函数y?logax在(0,??)内为增函数，且函数y???为减函数，则a的取值范围是（ ）

x2?4?A．(0,2) B．(2,4) C．(0,4) D．(4,??)

10.设函数f(x)是一次函数，3f(1)?2f(2)?2，2f(?1)?f(0)??2，则f(x)等于（ ）A．?8x?6 B．8x?6

C． 8x?6 D．?8x?6 11.直线y?2x?1与圆x2?y2?2x?4y?0的位置关系是（ ）

A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 12.设方程kx2?y2?4表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）

A．(??,1) B．(0,1) C．(0,4) D．(4,??) 13.二项式(3x?4)2017的展开式中，各项系数的和为（ ）

A．?1 B．1 C．22017 D．72017

14.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）

A．81种 B．64种 C．24种 D．4种

15.设直线l1∥平面?，直线l2?平面?，则下列说法正确的是（ ）

2

A．l1∥l2 B．l1?l2 C．l1?l2且异面 D．l1?l2且相交

二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。）

??x?1,16.已知函数f(x)???x??2,17.已知函数y?x?(??,0]x?(0,??)，则f?f?f(?1)??? . 1x?2x?302?log3(x?2)的定义域是 .

18.计算：(3?2)?log212π0?cos?C2017? . 43219.如果不等式x?ax?b?0的解集为(1,4)，则log3(b?a)? .

20.已知cos??21π3π，sin???，??(0,)，??(,2π)，则sin(???)? . 2222a19? . 21.在等比数列{an}中，如果a2a18?2，那么a1a3a522.已知向量a?(1,2)，b?(?1,)，则3a?2b? . 23.已知sin(π??)?ln12e，且π???3π，则?? . 224.已知A(2,3)，B(4,?1)，则线段AB的垂直平分线的方程为 . 25.若(π)?()k1π?x2?2，则k的最小值为 .

26.已知抛物线顶点在坐标原点，对称轴为x轴，点A(2,k)在抛物线上，且点A到焦点的距离为5，则该抛物线的方程为 . 27.设函数f(x)?a2x?1?5，若f(2)?13，则f(?1)? .

28.将等腰直角三角形ABC沿斜边AB上的高CD折成直二面角后，边CA与CB的夹角为 . 29.取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为 . 30.已知二面角??l??的度数为70?，点M是二面角??l??内的一点，过M作MA??于

A，MB??于B，则?AMB? （填度数）.

3

三、解答题（本大题共7个小题，共45分。要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）

31.（5分）已知集合A?{x|kx?5x?2?0}，若A??，且k?N，求k的所有值组成的集合.

32.（7分）某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出. 租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？

33.（6分）记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S2?2，S3??6. 求： （1）数列{an}的通项公式an； （2）数列{an}的前10项的和S10. 34.（6分）已知函数y?23cos2x?3sin2x，x?R. 求：

（1）函数的值域；

（2）函数的最小正周期；

（3）函数取得最大值时x的集合.

35.（6分）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：

（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？

P

（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ （3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？

36.（7分）如图已知?CDP??PAB?90?， AB∥CD. （1）求证：平面PAD?平面ABCD；

（2）若二面角P?DC?A为60?，PD?4，PB?7， 求PB与面ABCD所成的角的正弦值.

x2y2??1与抛物线y2?4x有共同的焦点F2， 过椭圆的左焦点F1作倾斜37.（8分）已知椭圆

4mπ的直线，与椭圆相交于M、N两点. 求： 4（1）直线MN的方程和椭圆的方程； （2）△OMN的面积.

角为

4

2017河北省普通高考学校对口招生考试 数学试题参考答案 一、选择题

1、C 2、D 3、C 4、A 5、B 6、D 7、B 8、C 9、B 10、D 11、A 12、B 13、A 14、C 15、B 二、填空题 16、

6?211 17、(?2,?1)(3,??) 18、? 19、2 20、

4227π 24、x?2y?1?0 25、?2 641π2226、y?12x 27、 28、60? （或） 29、 30、110?

83π21、32 22、52 23、三、解答题

31、解：（1）当k?0时，A?{x|5x?2?0}?{?}??

（2）当k?0时，欲使A??，须使方程kx?5x?2?0有两个相等的实根或两个不等的实根，

22525. 8又k?N，且k?0，故k?1，2，3.

即??5?8k?0，解得k?2综上所述，k的取值集合为{0,1,2,3}. 32、解法一：

设每套公寓租价为x元，总收入为y元. 则依题意得y?x(75?x?2500) 100??12x?100x 1001??(x?5000)2?250000

100显然当x?5000时y最大，y的最大值为250000.

答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元. 解法二：

设每套公寓租价为x元，总收入为y元. 则依题意得y?x(75?x?2500) 100??

12x?100x 1005

当x??b100???5000时，y最大，

12a2?(?)100 ymax4ac?b2?1002???250000

14a4?(?)100答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元.

解法三：

设每套公寓租价上涨了x个100元，则每套租价为(2500?100x)元，共租出(75?x)套. 依题意得，租金总收入为

y?(2500?100x)(75?x) ??100x2?500x?187500 ??100(x?25)2?250000.

当x?25时，y最大，最大值为250000.

答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元.

?S2?a1(1?q)?233、解：（1）设{an}的公比为q，由条件得? 2S?a(1?q?q)??61?3解之得??q??2.

?a1??2n?1n?1n故该数列的通项公式为an?a1q??2(?2)?(?2).

（2）前10项的和为

a1(1?q10)?2[1?(?2)10]S10???682.

(1?q)1?(?2)34、解：y?3cos2x?3sin2x

13?23(cos2x?sin2x)

226

ππcos2x?cossin2x) 66π?23sin(2x?)

6?23(sin（1）函数的值域为[?23,23]. （2）函数的最小正周期为T?（3）当2x?2π?π. 2πππ?2kπ?(k?Z)时，即x?kπ?(k?Z)时，函数取得最大值， 626此时x的取值集合为?xx?kπ???π?,k?Z? 6?2435、解：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为 C5P4?240 34 （2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为 C5P4?240 44 （3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为 C5P4?240

36、（1）证明：∵?CDP??PAB?90? ∴CD?PD，AB?PA. 又∵CD∥AB，∴CD?PA. ∴CD?平面PAD.

而CD?平面ABCD ∴平面PAD?平面ABCD. （2）解：由（1）知：CD?平面PAD ∴CD?AD，CD?PD. ∴?PDA是二面角P?CD?A的平面角，即?PDA?60?. 在平面PAD内作PE?AD于E，因平面PAD?平面ABCD ∴PE?平面ABCD.

连结BE，?PBE即为PB与平面ABCD所成的角. 在直角三角形PED中，PE?PDsin60??4?3?23. 2 在直角三角形PBE中，PB?7，sin?PBE?2PE23?. PB737、解：（1）依题意得抛物线y?4x的焦点为F2(1,0)，所以椭圆的左焦点为F1(?1,0)，

直线MN的斜率k?tanπ?1，故直线MN的方程为y?x?1，即x?y?1?0. 4x2y2??1. 由题意知椭圆焦点在x轴，且c?1，所以m?4?1?3，因此椭圆的标准方程为437

（2）解法一：

由（1）知直线MN的方程为x?y?1?0，点O(0,0)到直线MN的距离为

d?0?0?112?(?1)2?2. 2设M、N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)

??4?62??4?62y?x?1?x?x??1?2???2772由?x解得，， ??y?1?y?3?62?y?3?62??3?412??77????4?62?4?62??3?623?62?24， MN????????????7?7777????∴S?OMN?解法二：

由（1）知直线MN的方程为x?y?1?0，点O(0,0)到直线MN的距离为

221124262MN?d???? 22727d?0?0?112?(?1)2?2. 2设M、N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)

?y?x?188?2由?x2y2可得7x?8x?8?0，由韦达定理得x1?x2??，x1?x2??

77?1??3?4因此(x1?x2)?(x1?x2)?4x1?x2?(?)?4(?)?故由弦长公式可得MN?2287287288 4928824? 497?1?k???x1?x2?22?(1?12)?∴S?OMN?

1124262MN?d???? 227278

解法三：

设M、N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)

??4?62??4?62y?x?1??x1??x2????77由?x2y2解得，?，?

?1?y?3?62?y?3?62??3?412??77??所以S?OMN?

162?1?|y1?y2|?. 27y M N F1 O F2 x

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