广东省韶关市2019届高三第二次调研考试数学文试题 - 图文

广东省韶关市2019届高三4月第二次调研测试

数学试题（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:

1Sh，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高. 32. 柱体的体积公式V?Sh，其中S为柱体的底面面积，h为柱体的高.

1.锥体的体积公式V?一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=R，M?{x|x(x?3)?0},N?{x|x??1}，则右图中阴影表示的集合为（ ）.

A．{x|x??1}

B．{x|?3?x?0}

C． {x|x??3} D．{x|?1?x?0}

部分

2. 若a,b?R，为虚数单位，且(a?i)i?b?5，则a?b?（ ） 2?i13?)? 6A.?2. B.0

C. 1 D. 2

（ ）

3. 已知f(x)?3cos2x?2sinxcosx, 则f(

A.3 B.?3 C.

33 D.? 2285

4.一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为12π＋，则

3正视图与侧视图中x的值为( )

A.5 B.4 C.3 D.2

5.已知, 圆x?y??内的曲线y??sinx,x?[??,?]与x轴围成的阴影部分区域记为?（如图），随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域?的概率为（ ）

222·1·

43323133A. ? B . ? .C? D ?

6. 给出如下四个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a?b，则2a?2b?1”的否命题为“若a?b，则2a?2b?1”； ③“?x?R,x2?1?1”的否定是“?x?R,x2?1?1”；

④等比数列?an?中，首项a1?0，则数列?an?是递减数列的充要条件是公比q?1； 其中不正确的命题个数是 ．．．

A．4 B．3 C．2 D．1

7. 已知函数f?x?是R上的奇函数，若对于x?0，都有f?x?2??f(x)，

当x??0,2?时,f?x??log2?x?1?时，f??2013??f?2012?的值为

A.?2

B.?1

C.1

D.2

8. .将高一(6)班52名学生分成A，B两组参加学校组织的义务植树活动，A组种植150棵大叶榕树苗，B组种植200棵红枫树苗．假定A，B学科网两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树苗用时2小时，种植一棵枫树苗用时1小时.完成这次植树任务需要最短时间为（ ）

25A.

10602523 B. C. D. 31988开始 输入p

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)

9. 已知平面向量a，b，a?1，b?2，a?(a?b)；则cos?a,b?的值是 .

10. 执行右边的程序框图，若p?4，则输出的S? .

n?0,S?0 n?p 是 否 n?n?1 输出S 结束 x2y2222211、设点P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)与圆x?y?a?b在

abS?S?1 n2第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan?PF2F1?3，则双曲线的离心率为______________.

·2·

12. 已知?x?R，使不等式log2(4?a)?3?x?3?x?1成立，则实数a的取值范围是 ．

13. .下面给出四种说法：

①设a、b、c分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数，则a?b?c；

②在线性回归模型中，相关指数R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R越接近于1，表示回归的效果越好

③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ④设随机变量?服从正态分布N(4,2)，则P(??4)?2221. 2其中正确的说法有 （请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上） (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点A?1,?的一条切线，则切线长为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，

??π??引圆??8sin?2?AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T， PB交圆O于Q，若?BTC?120?，AB?4，则PQ?PB= . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本题满分１２分)

?ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA?3acosC?0

（1）求C的值； （2）若cosA?3, c?53，求sinB和b学科网的值. 5

17. . (本题满分１２分)

23甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分.

34（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和?的数学期望； （2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.

·3·

18. (本题满分１４分)如图甲，在平面四边形

ABCD中，已知

使平面ABD?平面?A?45,?C?90,?ADC?105,AB?BD,现将四边形ABCD沿BD折起，BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC?平面ABC；

（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值； （3）求二面角B－EF－A的余弦值． D

19. (本题满分１４分) 甲C2AB如图，过点P（1，0）作曲线C：y?x(x?(0,??))的切线，切点为Q1，设点Q1在x

y轴上的投影是点P切点为Q2，设Q21；又过点P1作曲线C的切线，在x轴上的投影是P2；………；依此下去，得到一系列点

Q2Q1Q1,Q2,Q3???Qn，设点Qn的横坐标为an.

oP(1,0)（1）求直线PQ1的方程； （2）求数列?an?的通项公式；

P1P2x1?1?.......?1?3（3）记Qn到直线PnQn?1的距离为dn，求证：n?2时，

ddd2n 120. (本题满分１４分)

x2y2?1　(a?１)的左右焦点为F1,F2，抛物线C：y2?2px以F2为焦点且与椭圆相已知椭圆2?2aa?1交于点M?x1,y1?、N

?x2,y2?,点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切.

（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；

（2）设A,B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P,Q. ?MPQ是以

MP,MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理

由.

·4·

2１. (本题满分１４分)

设函数f(x)?ax?(a?b)x?bx?c其中a?0,b,c?R 1（１）若f?()=0，求f(x)的单调区间；

332（2）设M表示f'(0)与f'(1)两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤M．

数学试题（理科）参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供

参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现Z＊X！X！K错误时，如果后继部分的

解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

DAACA CＢC

二、填空题: 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9、

10115； 10、； 11、； 12、[2,4)；

221613、①②④ 14、3； 15、3；

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 16. (本题满分１２分)

?ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA?3acosC?0

(1) 求角C的值； (2) 若cosA?3, c?53，求sinB和b的值. 5解：（1）因为csinA?3acosC?0由正弦定理得：

2RsinCsinA?2R3sinAsinC?0…………2分

由sinA?0…………3分

所以tanC??3，C?(0,?)；?C?2?…………6分 3·5·

（2）由cosA?3?4，A?(0,)则sinA?1?cos2A?，…………8分 525sinB?sin(??A?C)?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC

?413333?4…………10分 ?(?)???525210由

bccsinB，b???33?4…………12分

sinBsinCsinC17. (本题满分１２分)

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为

23与，投中得1分，投不中得0分. 34（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和?的数学期望；

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率.

本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则A与B相互独立，且P（A）=

2311，P（B）=，P（A）=，P（B）=.…………1分 3434甲、乙两人得分之和?的可能取值为0、1、2，…………2分

111P(??0)?P(AB)?P(A)P(B)???

341213215P(??1)?P(AB?AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?????

343412231P(??0)?P(AB)?P(A)P(B)???…………4分

342则?概率分布为：

? P 0 1 2 1 125 121 2…………5分

E?=0×

15117+1×+2×=.…………6分 1212212·6·

答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和?的数学期望为

17.…………7分 12（2）设甲恰好比乙多得分为事件C，甲得分且乙得0分为事件C1，甲得2分且乙得分为事件C2，则C=C1+C2，且C1与C2为互斥事件. …………8分

21112231711…………11分 P(C)?P(C1)?P(C2)?C2???????C2???3344334436答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，甲恰好比乙多得分的概率为

18. (本题满分１4分)

AA?105,AB?BD,现将四边形如图甲，在平面四边形ABCD中，已知?A?45,?C?90,?ADC7。…………12分 36ABCD沿BD折起，使平面ABD?平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

FE（1）求证：DC?平面ABC；

（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；

BD（3）求二面角B－EF－A的余弦． BDC 乙（1） 证明：在图甲中∵AB?BD且?A?45 （2） ∴?ADB?45 ,?ABC?90

即AB?BD--------------------------------------------------------------------------------------2分

在图乙中，∵平面ABD?平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C 又?DCB?90，∴DC⊥BC,且ABD．------------------------------------------4分

C甲BC?B

∴DC?平面ABC．-----------------------------------------------------5分 （2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF//CD，又由（1）知，DC?平面ABC， ∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分 在图甲中，∵?ADC?105, ∴?BDC?60,?DBC?30 设CD?a则BD?2a,BC?3a,BF?112BD?22a,EF?CD?a-9分

22·7·

1aEF2?2sin?FBE??∴在Rt△FEB中， FB42a即BF与平面ABC所成角的正弦值为2．---------------------------------10分 4解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD?a，则BD?AB?2a,BC?3a，AD?22a----------------6分 可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),

33C(a,a,0)，F(a,0,a)， 22∴CD?(a,?ZAF123a,0),BF?(a,0,a)-------------8分 2XDCEBy设BF与平面ABC所成的角为? 由（1）知DC?平面ABC

12a?CD?BF22∴cos(??)? ??24|CD|?|BF|a?2a∴sin??2------------------------------------------------------10分 4（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，

又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角----------------------------------------------12分 在△AEB中，AE?BE?117AC?AB2?BC2?a 222AE2?BE2?AB21?? ∴cos?AEB?2AE?BE7即所求二面角B－EF－A的余弦为?19. (本题满分１4分)

如图，过点P（1，0）作曲线C：y?x(x?(0,??))的切线，切点为Q1，设点Q1在x

·8·

21．-------------------14分 7轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；………；依此下去，得到一系列点Q1,Q2,......Qn.....，设点Qn的横坐标为an. （1）求直线PQ1的方程； （2）求数列an的通项公式；

yQ2??1?1?.......?1?4 （3）记Qn到直线PnQn+1的距离为dn，求证：d1d2dn解：（1）令Q1(a1,a12)，由y'?2x得kPQ1?2x1……………1分

oP(1,0)Q1P1P2xa12?0即?2a1 故a1?2……………2分 a1?1?kPQ1?4，则切线l1的方程为：4x?y?4?0………………4分

（2）令Qn(an,a)，则Qn?1(an?1,a2n2n?1),Pn?1(an?1,0),?kPn?1Qn2an?0??2an……5分 an?an?1化简得

an?2,(n?2)，…………6分 an?1故数列?an?是以2为首项2为公比的等比数列…………7分 所以an?2n…………9分

（3）由（2）知Pn(2n,0)，Qn?1(2n?1,22n?2)故kPnQn?1n2nQ(2,2) n，

22n?2?0?n?1n?2n?2,?lPnQn?1:2n?2x?y?22n?2?0…………10分 2?2(2n?2)2?14n2n???…………11分 nn416?4?14?24n?dn?2n?2?2n?22n?22n?2?14?n……………12 dn21?1?.......?1?4[1?(1)2?dn22故d1d21[1?(1)n]2?4[1?(1)n]?4?(1)n]?4?2221?12……14分

·9·

x2y220. 已知椭圆2?2?1　(a?１)的左右焦点为F1,F2，抛物线C：y2?2px以F2为焦点且与椭

aa?1圆相交于点M?x1,y1?、N?x2,y2?,点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切.

（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；

（2）设A,B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P,Q. ?MPQ是以

MP,MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理

由.

解：（1）由椭圆方程得半焦距c＝a2?(a2?1)?1 …………1分 所以椭圆焦点为F1(?1， 0)　　F（，0）21又抛物线C的焦点为(pp,0) ??1　,　　p?2,?C：y2?4x ……3分 22∵M(x1,y1)在抛物线C上， ∴y1?4x1，直线F1M的方程为y?2y1(x?1) ………………4分 x1?1代入抛物线C得y12(x?1)2?4x(x1?1)2,

即4x1(x?1)2?4x(x1?1)2 ………………………………………5分 ?x1x2?(x12?1)x?x1?0,　　∵F1M与抛物线C相切，

??＝（x1?1)2?4x1?0， …………………………………6分

22?x1?1,　 ∴ M、N的坐标分别为（1，2）、（1，－2）。 ………7分

（2）直线AB的斜率为定值—1.

证明如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

M(1,2)，A、B在抛物线y2?4x上，

?y12?4x1?2??y2?4x2?2?2?4?1①②③·10·

由①-③得，kMA?y1?24?x1?1y1?2y2?24?x2?1y2?2④

由②-③得，kMB?④……………………………………..１０分

因为?MPQ是以MP,MQ为腰的等腰三角形，所以kMA??kMB…………..１０分

由kMA4?y1?2???x?1y2?2?1 化简整理， ??kMB得?y?24?2???x?1y1?2?2

得??y1y2?2y2?2y1?4??4x1?4⑥?y1y2?2y1?2y2?4??4x2?4⑦由⑥-⑦得：4(y1?y2)??4(x1?x2)

?k?y1?y2?4???1为定值…………………………….14分

x1?x24y12y22解法二：设A(,y1)，B(,y2) ……………………………6分

44则kAM?y1?244， ……………………………8分 ?k?BM2y1y1?2y2?2?14因为?MPQ是以MP,MQ为腰的等腰三角形，所以kMA??kMB …………………10分 即

44??0 y1?2y2?2y1?y2?4?0

(y1?2)(y2?2)所以

所以，由y1?y2?4?0得 y1?y2??4 ……………………………12分 所以，kAB?y2?y14(y2?y1)44??1. ???2222y2yy2?y1y1?y2?4?144·11·

所以，直线AB的斜率为定值，这个定值为?1.……………………………14分 21. 设函数f(x)?ax3?(a?b)x2?bx?c其中a?0,b,c?R 1（1）若f?()=0，求f(x)的单调区间

3（2）设M表示f'(0)与f'(1)两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤M． 1解：(1)由f?()=0，得a=b．

3当a?0时，则b?0，f(x)?c不具备单调性………………………………..2分 故f(x)= ax3－2ax2+ax+c．

1由f?(x)=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．……………………3分

3列表：

x f?(x) 1(-∞，) 31 31(，1) 31 0 极小值 (1，+∞) + 增 + 增 0 极大值 - 减 f(x) 11由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，)及(1，+∞) ．单调减区间是[,1]…5分

33（2）当a?0时，f?(x)=?2bx?b

若b?0 f?(x)?0，

若b?0，或b?0，f?(x)在[0,1]是单调函数，?f'(0)?f?(1)≤f?(x)≤f?(0)，或

?f'(1)?f?(0)≤f?(x)≤f?(1)………………………………………7分

所以，f?(x)≤M

a?b2a2?b2?ab)? 当a?0时，f?(x)=3ax-2(a+b)x+b=3a(x?． 3a3aa?ba?b①当≥1,或≤0时，则f?(x)在[0,1]上是单调函数，

3a3a2

所以f?(1)≤f?(x)≤f?(0)，或f?(0)≤f?(x)≤f?(1)，且f?(0)+f?(1)=a>0． 所以?M?f?(x)?M．………………………………………………………9分

·12·

a2?b2?aba?b②当0＜≤f?(x)≤M． ＜1，即-a＜b＜2a，则?3a3a(i) 当-a＜b≤

a3a时，则0＜a+b≤． 22a2?b2?ab2a2?b2?2ab3a2?(a?b)21所以 f?(1)?＝＝≥a2＞0．

3a3a3a4所以 ?M?f?(x)?M． ……………………………………………………11分 (ii) 当

aa5＜b＜2a时，则(b?)(b?2a)＜0，即a2+b2－ab＜0． 2222222522ab?a?ba?b?ab4ab?a?ba2?b2?ab2所以b?=＞＞0，即f?(0)＞．

3a3a3a3a所以 ?M?f?(x)?M．……………………………………………………13分 综上所述：当0≤x≤1时，|f?(x)|≤M．……………………………14分

·13·

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