新概念力学习题解(黎草稿)

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新概念力学习题集

第一章

1-1 已知质点沿x轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标x和t的数值关系为

x?3sin?6t，求t=0,3,6,9,12 s时质点的位移、速度和加速度。

解：位移?x?x(t)?x(0)?3sin?6t，速度v?dx???cost，加速度dt26dv?2?： a???sint，对于不同的时刻，相应的?x、v、a值见下表（长度单位设为米）

dt126t (s)

0 3 6 9 12

?x(m) 0 3 0 -3 0

v(m/s) ?/2 0 -?/2 0 ?/2

a(m/s2) 0 2

-?/12 0 2

?/12 0

1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

r =R( cos?ti+sin?tj )

求(1)质点轨迹，(2)速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。

解（1）x?Rcos?t,y?Rsin?t,x?y?R,?质点轨迹是圆心在圆点的圆

222????drv???R(?sin?ti?cos?tj)dt （2） ????dv?a????R(cos?ti?sin?tj)???2r 方向恒指向圆心dt

1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式为

r =4t2i+(2t+3)tj

求(1)质点轨迹，(2)从t=0到t=1的位移，(3)t=0和t=1两时刻的速度和加速度。

解（1）x?4t,y?2t?3,x?(y?3)故x≥0，y≥3,质点轨迹为抛物线的一段（见右图）

???????????r(0)?3j,r(1)?4i?5j,?r?r(1)?r(0)?4i?2j,大小为?r?42?22?25m.(2)? ??12?4i?5j与x轴夹角??tg?26.6422?????dv????dr?v??8ti?2j,a??8i.a?a?8m/s2方向沿x轴正向v(0)?2j,大小为dtdt(3)

?????v(0)?v(0)?2m/s,方向沿y轴正向;v(1)?8i?2j,大小v(1)?v(1)?82?22?27m/s方向：与x轴夹角??tg?12?14? 81-4 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在?t1=4.0s内从他身旁驶过。设火车作匀加速直线运动，问第n节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔?tn为多少。令n=7，求?tn．

解：火车初速v0?0，加速度为a，每节车厢长为l，第一节车厢经过观测者所需时间为

?t1?t1?4s,l1?l?12at1，第1至n节车厢经过观察者所需总时间为tn，显然： 2新 概 念 力 学 习 题 集 第 2 页

ln?nl?12l2atn?2tn?tn?nt1?n?t1，故第n节车厢经过者所需时间为： 2t1?tn?tn?tn?1?(n?n?1)?t1?4(n?n?1)

令n?7??t7?4?(7?6)?0.785s

1-5 一球从高度为h处自静止下落。同时另一球从地面以一定初速度v0上抛。v0多大时两球在h／2处相碰?

解：[法一]：因两球的重力加速度均为g朝下，故以上球为参照系。两球自出发点至相碰点所费时间为t=

hh12hg(∵?gt).等价地，相当于下球以v0??2212h?s?gt???下22?t?[法二]：?1h?s?vt?gt2?0上?22?tgh。

hh,v0t?h,?v0??gh. gt

1-6 一球以初速v0竖直上抛，t0 s后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。两球在多高处相遇?

2111gt,t?t??t0,y?v0t?gt2,令y?y??t??v0/g?t0222解： 2v012?y?y??gt02g8y??v0t??

1-7 一物体作匀加速直线运动，走过一段距离?s所用的时间为?t1，紧接着走过下一段距离

2?s?t1??t2

?t1?t2?t1??t21122证明：?s?v0?t1?a?t1 (1) 2?s?v0(?t1??t2)?a(?t1??t2) (2)

2211?s1?a?t2) ?(?t1??t2)(v0?a?t1?a?t2)?(?t1??t2)(22?t12?s(?t1??t2)12?s?s2?s?t1??t2?a?t2??? ?a?

2?t1??t2?t1?t1(?t1??t2)?t1?t2?t1??t2?s所用的时间为?t2，试证明，物体的加速度为 a?

1-8 路灯距地面的高度为h1，一身高为h1的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2 解：?x2?x1h2xdxh1??1?1,1?v1 ?x2?x1 x2h2x2dth1?h2dxh1dx1h1dxv2?2??v1?v1?a2?2?0.?人影的顶端作匀速运动。

dth1?h2dth1?h2dt

1-9 设?为由炮位所在处观看靶子的仰角，?为炮弹的发射角。试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tan? =2tan?

22v0sin2?v02sin?cos?1解：ym? xm?

2g22g新 概 念 力 学 习 题 集 第 3 页

?tg??

1-10 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30?、60?为发射角同时抛出两个小球，欲使两球在各自轨道的最高点相遇，求A、B两点之间的距离。已知小球A的初速为vA0=9.8m/s．

22vAsin2300vBsin2600300解： ym??vB0?vA0 (1) ?ym32g2gym1sin?1??tg? 或：tg??2tg? 12cos?2xm2AB?

111220xmA?xmb?(vA0sin2?300?vBsin2?60)0222gv2A032xmA/2xmB/2 习题1-10

31?(?2g239.8232)????2.83m2?9.823

1-11 飞机以v0=100m/s的速度治水平直线飞行，在离地面高h=98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：(1)投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度? 此时目标距飞机在下方地点多远?(2)物品投出1s后，物品的法向加速度和切向加速度各为多少?

?x?v0t?vx?v0???解：（1）?12 由：y?h?t?v?gty?gt?y?2?2h2h,s?x?v0 gg?s?100?tg??2?9.8?2005?447.2m9.8s22?v0,??tg?1(100?)?77.64??77?38?24?? hgh98?9.8222v?vx?vy?v0?g2t2.t?1s.(2) at?gcos??g?vyv?g?gt2v0?g2t2?9.82?11002?9.82?12?0.96m/s2

an?gsin??g?2vxv09.8?100?g???9.75m/s22vv0?g2t21002?9.82?122v2 又：an?g?at?

Rv3(1002?9.82?12)??1035.1m 故t=1s时的曲率半径为R?gv09.8?1001-12 已知炮弹的发射角为?，初速为v0，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化。

222?vy?v0?2gy 解： vx?v?cos??常数，vy?v0sin??gt,a??g v?vx2gvyg2vygvdv12vy(?g)v2g2222at???? an??a?at?g?2?v?vy?x22dt2vxv?vvv?vy

v312????(v0?2gy)2gvxv0gcos?

1.13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A点，下落高度h=0.20m，斜面与水平夹角

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?=30?．问弹性球第二次碰到斜面的位置B距A多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。 解：v0?agh 取 xy坐标轴如图。 dx1vx??v0cos60??gsin30?t?(v0?gt)

dt2112?x?(vt?gt)0?dy322?vy??v0cos60??gsin30?t?(v0?gt)??

dt2?y?3(vt?1gt2),0?22?222v02v014v02v01由 y?0?t??AB?x?(v0??g?2)??4h?4?0.20?0.80m

g2g2gg

1-14 一物体从静止开始作圆周运动。切向加速度at=3.00m/s2，圆的半径R=300m．问经过 多少时间物体的加速度a恰与半径成40?夹角。

dvv2at2t2?at,v?att,an??解：??45.此时 at?an?t?dtRR?R?att(s) 2 3 4

300?10s 3.00V测物(m/s) 9.8 (快) 0 （不动） -9.8 （慢）

1-15 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速度为v0=49.0m/s，而气球以速度v=19.6m/匀速上升，问气球中的观察者分别在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各为多少？

解：v物?v0?gt?49?9.8t v测物?v物?v?29.4?9.8t

第二章

2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g?cm/s的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g?cm/s的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。

解: 衰变过程是: A?B?e?ve. 由动量守衡得 PB?Pe?Pv?0. ∴

?PB?PB??Pe?Pv?Pe?Pv?9.222?5.332?10?16g?cm/s?10.65?10?16g?cm/s.

方向:??tg?122PvPe?tg?15.33???????30?.??180?30?150. ??90?30?120. 9.22

2-2 质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m，速率为v0的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。求(1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。

解:(1)设木块的速率为v,由动量守衡:mv0?(M?m)v.

mMmm2故v?v0. 木块的动量p木?mv?v0.子弹的动量p子?mv?v0.

M?mM?mM?mMm (2)子弹施予木块的动量I木?P木?0?v0.

M?m

2-3 如本题图，已知绳的最大强度T0=1.00kgfm=500g, l=30.0cm，开始时m静止。水平冲量

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I等于多大才能把绳子打断？

T0?mgT?mgv2?T0?mg?v?l. I?mv?0?I?m0l 解:向心力F?memm故I?m(T0?mg)l?[500?10?3(1?9.8?500?10?3?9.8)?30.0?10?2]12?0.86kg?m/s

习题2-4 习题2-3

2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m1和m1，设子弹透过两木块的时间间隔为t1和t2。设子弹在木块中所受阻力为恒力f，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动。

解:当子弹穿出m1时, m1与 m2一起运动,故 ft1?(m1?m2)v1; v1? 当子弹穿出m2时, ft2?m2v2?m2v1 v2?v1?ft1.

m1?m2ft2ft1ft??2. m2m1?m2m2

2-5 质量70kg的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg．若渔人在船上向船头走4.0m后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？

解:设人向右走,对岸速度为ｖ人,相对船的速度为ｕ人,船向左行,对岸的速度为ｖ船,,

则ｖ人=-ｖ船+ｕ人.水平方向动量守恒:ｍ船ｖ船-ｍ人(-ｖ船+ｕ人)= (ｍ船 +ｍ人) ｖ船-ｍ人ｕ人=0. 两边积分得:(m船?m人)v船dt?m人0?t?u0tt人dt?(m船?m人)S船?m人S人对船

?S船? S人?m人m船?m人t0S人对船?70?4?1.4m. (对岸上) 200?t0v人dt??v船dt??u人dt??S船?S人对船??1.4?4?2.6m.(对岸).

0

2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s．设甲船空载质量为50kg，货物质量为60kg，求乙船质量。

解: m甲=500kg,m货=60kg,m乙 待求.v0=6.0m/s,v乙=4.0m/s. 忽略水中阻力,两船作为一个系统,其动量守衡.即: (m甲+ m货)v0-m乙v0=m甲v0-( m乙+m货)v?m乙?v0?v乙6?4m货??60?300kg.

v0?v乙6?4

2-7 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速率均为v．由中间那只船上同时以水平速率M(相对于船)把两质量均为m的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。

解:设v前、v中、v后分别为前、中、后三船的待求速度.u与v同向时为正,反之为负,由水平方向的动量守衡定律,有:

前:Mv?m(v中?u)?(M?m)v前

中:Mv?(M?2m)v中?m(v中?u)?m(v中?u) 后:Mv?m(v中?u)?(M?m)v后 可推出: v前=v?mmu v中=v v后=v?u

M?mM?m∵u的正方向与v同向,∴三船的速率分别为:

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（2）A子弹?木块?Ek木块?Ek0木块?（3）耗散掉的机械能： ?E?11MV2??980?10?3?162?125.44J 22112mv0?(M?m)V2??A木块?子弹?A子弹?木块?6397.44?125.44?627J2 22

3-15 如本题图，m1、m2静止在光滑的水平面上，以劲度系数为k的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为m、水平速率为v0的子弹入射到m1内，弹簧最多压缩了多少？ 解：子弹打入m1内，又未穿出这一过程中，动量守恒： mv0?(m?m1)v1 然后，m1,m2,m及弹簧系统中，当m1(m)相对于质心的动能Ek大的压缩量xmax，由动量、能量守恒，得：

cM?0时，弹簧有最

?(m?m1)v1?(m?m1?m2)v0m2??x??mv0 ?111max222?(m?m1)(m?m1?m2)k?k(m?m1)v1?(m?m1?m2)vc?kxmax??222

3-16 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为e．若球A自高度h1释放，求该球碰撞弹回后能达到的高度。

解：A球与B球碰撞前一刻的速度为vA0?2gh1，碰撞后两者的速度分别为vA,vB：

?11?mvA0?mvA?mvB ??vA?(1?e)vA0?0,vB?(1?e)vA0， vB?vA

22??vA?vB??evA0111???222mgh?mvh?gth?(1?e)h1AAAAA????hB?hA???224? ? ?????t?t11122?BA?mghB?mvB?hB?gtB?hB?(1?e)2h1??????22412 ∴A球第一次碰撞后返回的高度是hA?(1?e)h1

4

3-17 在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。现有质量分别为mA和mB的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生完全弹性碰撞，碰后A仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A，B至少发生两次碰撞的条件。

解：A质点与B质点第一次相碰前的速度为vA0? 由（3.63）式可得第一次碰撞后两质点速度为 vA?2gh

2mA2gh

mA?mB 若要求A点返回，则要求vA?0，则mA?mB，然后A质点再滑下，与B以生第二次碰撞，即要求： vA0'??vA?vB 可解出：mB?3mA或mA?mB/3

2gh，vB?

3-18 一质量为m的粒子以速度v0飞行，与一初始时静止、质量为M的粒子作完全弹性碰撞。从m／M=0到m／M=10画出末速v与比值m／M的函数关系图。

mA?mBmA?mBm?Mr?1?v?v?v??mm?M0r?10解：由（3.63）式得： ? vM?vm?v0

2m2r?vM?v0?v0?m?Mr?1? 两粒子末速v(vm或vM)与质量比m/M?r的函数关系如右图所示(r~0?10)，vm以

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v0为极限，vM以2v0为极限。

3-19 一质量为m1、初速为u1的粒子碰到一个静止的、质量为m2的粒子，碰撞是完全弹性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求(1)比值m2／m1；(2) 质心的速度；(3)两粒子在质心系中的总动能，用m1u12/2的分数来表示；(4)在实验室参考系中m1的最终动能。

?解：（1）? v?u1/2 ?m2?3m1 222能量守恒:m1u1/2?(m1v?m2v)/2?mivi?mu?01 （2）vc?i?11?u1

mm1?m241m1m231c22u1??m1u1 （3）Ek?2m1?m2421122 （4）Ek1?m1v?m1u1

28

3-20 在一项历史性的研究中，詹姆斯．查德威克(James Chadwidk)于1932年通过快中子与氢核、氮核的弹性碰撞得到中子质量之值。他发现，氢核(原来静止)的最大反冲速度为3.3×107m/s，而氮14核的最大反冲速度为4.7×106m/s，误差为士10%．由此你能得知中子质量和所用中子的初速度分别是什么吗？(要计及氮的测量误差。以一个氢核的质量为1原子质量单位，氮14核的质量为14原子质量单位。)

动量守恒:m1?m2v?m1v?mnv0?mnvnH?mHvHmH1解： ??v?(1?)vH 02222mn?mnv0/2?mnvnH/2?mHvH/214mH1 同理：v0?(1?)vN

2mn14vN?vH14?4.7?106?3.3?107mH?mH?10159mH （1）mn?76vH?vN3.3?10?4.7?1011 （2）v0?(1?)?3.3?107?3.07?107m/s

21.159 误差分析： ?lnmn?ln14v?vHvH?vN?mn14?vN?vN?lnmH???mn14vN?vHvH?vN6

而?vN?vN?10%?0.47?10m/s

?mn14?0.47?1060.47?106????21.72% 6776mn14?4.7?10?3.3?103.3?10?4.7?10mH ?mn?mn?21.72%?0.252 又lnv0?ln 即

?vmm11vH?ln(1?H)?0???H??mn 2mnv0mn?mHmn?v01??0.252?10.07%?0.31?107m/s v01.159?17 最后得 ·mn?(10159?0.252)mH ·v0?(3.07?0.31)?10m/s

3-21 在(原理)一书中牛顿提到，在一组碰撞实验中他发现，某种材料的两个物体分离时的相对速度为它们趋近时的5/9．假设一原先不动的物体质量为m0，另一物体质量为2m0，以初

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速v0与前者相撞。求两物体的末速。 解：设v1?v2，则??v1?v2?50?v0/9?5v0/9?2m0v0?2m0v2?m0v1注意：若设v2?v1?5v0/9,则v1?8v0/27,v2?23v0/27?v1，不符合物理事实，故

?v1?2813v0,v2?v0 2727舍去。

3-22 一质量为m0，以速率v0运动的粒子，碰到一质量为2m0静止的粒子。结果，质量为m0的粒子偏转了45?并具有末速v0/2。求质量为2m0的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗？

解：由动量守恒得：

1?v0??v?v05?22?0.368v0m0v0?m0cos?2m0vcos???4??24?? ?v2????tg?1?m0sin?2mvsin??0?28.68?00??24?4?2?v115?2221122v0?0.52?m0v0?m0v0 末态动能Ek?m00?2m02421622故动能不守恒！

3-23 在一次交通事故中(这是以一个真实的案情为依据的)，一质量为以2000kg、向南行驶的汽车在一交叉路中心撞上一质量为6000kg、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差不多是正西南的方向滑离公路。一目击者断言，卡车进入交叉点时的速库为80km/h．(1)你相信目击者的判断吗？(2)不管你是否相信他，总初始动能的几分之几由于这碰撞而转换成了其它形式的能量？

解：（1）由动量守恒，有P总?(m汽?m卡)v总? 而：P汽?P卡?m汽v汽?m卡v卡

22P卡?2m卡v卡

m卡?6v?v??汽m卡2?80?240km/h?3v卡?汽 ??

m卡63?v?2v?2?80?602km/h?2v卡总卡?m?m2?64汽卡? 一般的小汽车最高时速为120公里，此处v汽?120km/h，故目击者的判断不可信。

111222222 （2）E初k?m汽v汽?m卡v卡??2?240?6?80?t?km/h

2221422222 ?7.68?10t?km/h??2?3?6?v卡?12v卡

21122422 E末k??m汽?m卡?v总???2?6??60?2?2.88?10t?km/h

221922 ??2?6?? ?2v卡?4.5v卡216?EkE初k?E末k7.68?2.88512?4.5???0.625?? ?x? E初kE初k7.68812 即总初始动能的5/8由于碰撞而转换成了其他形式的能量。

3-24 两船在静水中依惯性相向匀速而行，速率皆为6.0m/s．当它们相遇时，将甲船上的货物搬到乙船上。以后，甲船速度不变，乙船沿原方向继续前进，但速率变为4.0m/s，设甲船空载时的质量为500kg，货物的质量为60kg，求乙船质量。在搬运货物的前后，两船和货物

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的总动能有没有变化？

解：由2-6题求得m乙?300kg 记m甲?500kg,m货?60kg时，

v0?6m/s,v乙?4m/s

111222则 Ek初??m甲?m乙?m货?v0 Ek末?m甲v0??m乙?m货?v乙

222由于v0?v乙，故Ek初?Ek末，即搬运货物前后，两船和公斤的总动能有变化（减少了）。

3-25 一质量为m的物体，开始时静止在一无摩擦的水平面上，受到一连串粒子的轰击。每个粒子的质量为?m(<

v1?v2?v3?v4?2?m2?mv0?a?v0,a??m??mm??m2?mv0?(m??m)v1?a??1?b??v0m??m2?mv0??m??m?v2?a?1?b??b?2v0m??m???

2?mv0??m??m?v3?a?1?b??b?2?b?3v0m??m?????vn?2?mv0??m??m?vn?1?a?1?b??b?2?b?3???b?n?1v0?1?b?nv0?1?elnb??nv0m??m??????m??m??2????????ln?1?m??ln?1?m???m?m??m??a

m??mm?m?mmm??2??vn??1?e?na?v0，其中a?m （1）

m?na?1?na,1?e?na?na?vn?nav0?nv1，由于?m??m,a??a， 讨论：?an??1,e b??1，严格结果vn?nav0，故此时近似式（1）有效。

由于lnb??ln?0,vn?v0，但严格结果nav0??，故此时近似式（1）无效。 ?an??,e

3-26 水平地面上停放着一辆小车，车上站着10个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设车的质量远大于10个人的质量，以及所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是10个人一起跳？

解：设每人贡献的能量为E，小车的质量为M，把N个人看成一个质点组，则其动能为：

N12cM Ek人?Nmvc人?Ek人(konig定理) 其中：vc人??mvi2i?11122 又： NE?MV车?Ek人,Ek车?MV车

22?na?m??mviiiNm

MV车??mvi?1Ni?0，v车为几个人全部跳离车子后的速度。

解上述诸式，便得车子动能Ek车为： Ek车?Nm?NE?EkcM人?

M?Nm新 概 念 力 学 习 题 集 第 20 页

当几个人一起跳车时，各vi一样，且vi?vc,vicM?0，故EkcM人?0，此时

?E?k车一起N2mE ?M?Nm当几个人一个一个跳车时，各vi不一样，且vc??vNi?vi,i为某个人的序号，

vicM?vi?vc?0，故 ?Ek车?一个一个??Ek车?一起

∴10个人一起跳时，车子获得最大的动能。

3-27 求圆心角为2?的一段均匀圆弧的质心。

m,x?Rcos? 2?R111?mRsin? xc??xdm??x?dl??Rcos?? Rd????mmm2?R? 特例：?????xc?0,圆周质心在圆心上.

?2R????xc?(半圆弧的质心) 2????0?xc?R,一个点的质心在质点上.解：显然yc?0,??

3-28 求均匀半球体的质心。 解：显然xc?0,zc?0，?? ycm,y?Rcos?,dy??Rsin?d? 22?R/3ydm???m1R30323????y?Rsin??dy?R?sin?co?sd??R ?m?02?28

3-29 如本题图，半径为R的大圆环固定地挂于顶点A，质量为m的小环套于其上，通过一劲度系数为k、自然长度为l(l<2R)的弹簧系于A点。分析在不同的参数下这装置平衡点的稳定性，并作出相应的势能曲线。

解：总势能Ep?Ep重?Ep弹，选右图中的?角为变量，则

11222k?2Rco?s?l??2mgRsin??k?2Rco?s?l??0 22dEpdv1dEp?0的点即为切向力F??m???0的点): 找平衡点(d?dt2Rd?dEpdEp?2Rsin??kl?2?mg?kR?cos?? 令?0 d?d?klkl ?sin??0或cos?? 即?1?0,???cos?12?kR?mg?2?kR?mg? Ep?mgR(1?cos2?)?研究稳定性：

d2Epd?22?2Rco?s?kl?2?mg?kR?co?s??4R?mg?kR?sin?

① 对于?1?0,Ep?0??4R?mg????1?kl?kR? 2???·当mg?kR?kl/2?0,即mg?kR?kl/2时,Ep?0??0,?1?0为稳定平衡点。 ·当mg?kR?kl/2?0,即mg?kr?kl/2时,Ep?0??0,

新 概 念 力 学 习 题 集 第 36 页

6-9 在劲度系数为k的弹簧下悬挂一盘，一质量为m的重物自高度h处落到盘中作完全非弹性碰撞。已知盘子原来静止，质量为M．求盘子振动的振幅和初相位(以碰后为t=0时刻)。 解：考虑最简单的情形，重物原先不被托盘夹住，它从高h处落到盘底时的速度为

vmo?2gh，与托盘发生完全弹性碰撞后的速度为vM?mo?mvmoM?m?m2gh，方

M?m向向下；又：以

xMo?MgmgM?m, xmo?, xM?mo?g kkk..xM?mo 处为坐标原点，方向向下为正。则

(M?m)x?(M?m)g?k(x? ? m及M作简谐振动，圆频率??xM?mo)??kx

k, x?Acos(?t??0)

M?m?x(t?0)??xmo?Acos?0mg2kh? ?. ?振幅A?1?k(M?m)g???A?sin?0??x(t?0)vM?mo2hk 初相位?0?arctg，在第三象限取值。

(M?m)g

6-10 若单摆的振幅为?0，试证明悬线所受的最大拉力等于mg(1+?02)。 6-10

?t??0) 则 ????0?sin(?t??0) ??解： 设???0?cos(.g l.2v2s?m?ml? T?mgco?lT?mgcos??ml?02?2sin2(?t??0)?mgcos??ml?02?

gsin2(?t??0)l3 ?mg[cos???02??2]?mg(1??02??2)2

6-11 如本题图，把一个周期为T的单摆挂在小车里，车从斜面上无摩擦地滑下，单摆的周期如何改变?

解： mat?ml??ft??mgcos?sin???mgcos??

..T0gcos?gcos?2?ll ??0 ?? T??2???T0, T0?2?ll?gcos?gcos? 周期变大

6-12 如本题图，将一个匀质圆环用三根等长的细绳对称地吊在一个水平等边三角形的顶点上，绳皆铅直。将环稍微扭动，此扭摆的运动是简谐的吗？其周期为多少？ ???..1mgsin??mg? 3....gg 则：ml???Ft??mg??????0 ??

ll解： [受力分析法] 体系受力（切向力）Ft?3? 故物理的运动是简谐的 周期为T?2???2?l g新 概 念 力 学 习 题 集 第 37 页

11mgl(1?cos?)??2 32mgl令 U?'?mgl?0???0, U?''?mgl?0 ?? 则U有极小值也是最小值，故体系是在??0处是平衡位置，且是稳定的从而

d2U?mglmgml''? T ?2??2? ???U0''gU0ldx2l2 [势能法] Ep?U?3?

6-13 如本题图，质量为M的平板两端用劲度系数均为◇的相同的弹簧连到侧壁上，下垫有一对质量各为m的相同圆柱。将此系统加以左右扰动后，圆柱上下都只滚不滑。这系统作简谐振动吗? 周期是多少? 解： [受力分析法]

?f上?f下?mac?1..ac?r??x?33..11..?2对圆柱：? ?f上?mr??mx, f下??mr???mx (f上?f下）r?Ic?4848?12?I?mrc?2?....3..3对平板：Mx??2kx?2f上??2kx?mx?(M?m)x?2kx?0

44故系统作简谐振动?? [能量分析法] 系统势能Ep?2k 周期是T?2??2??M?3m/4M?3m/4

2k12121kx?kx?(2k)x2 即相当于劲度系数为2k?k'的谐振子 222?.21113Ep?Mx?2(mvc2?Ic?2).2?13?动能相当于谐振子质量为M?m?m' 222?(M?m)x?41.24?vc?r??x?2? ?? ?k'?m'2k2?M?3m/4 T??2?

M?3m/4?2k

6-14 本题图中两个相同圆柱体的轴在同一水平面上，且相距2l，，两圆柱体以相同的恒定角速率按图中的转向很快地转动。在圆柱体上放一匀质木板，木板与圆柱体之间的滑动摩擦系数为?，设?为常数。把处在平衡位置的木板略加触动，(1)试证明木板的运动是简谐振动，并确定其固有角频率；(2)若两圆柱体的转动方向都反向，木板是否仍作简谐振动？ 解：（1） 对o1点，Mg(l?x)?2lN2 对o2点，Mg(l?x)?2lN1 ?N1?l?xl?xMg N2?Mg 2l2l..l?xl?x? ?)Mg??Mgx2l2ll..?g?g 即x? x?0 故木板作简谐运动，其固有角频率为 ??ll....??g （2） 两圆柱转动返回时，有 Mx?f2?f1?Mgx 即 x?x?0

ll 木板的运动方程为 Mx?f1?f2??(N1?N2)??( 木板不作简谐振动，而是向右（或向左）滑出。

新 概 念 力 学 习 题 集 第 38 页

6-15 竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可忽略，试推导其周期公式：

T?2?M?m/3，式中m为弹簧的质量，k为其劲度系数，M为系于其上物体的质量(假k定弹簧的伸长量由上到下与长度成正比地增加)。 解： 弹簧的运动比较复杂，较严格的分析可参见： （1） 罗蔚茵，《力学简明教程》，广州，中山大学出版社，1985，340~346

（2） 钱伯初，美国研究生考题分析（三）——近似处理，大学物理，1983年第3期，第

28页，例1。

本题以文献[2]的近似方法来处理：设弹簧上各点随物体M作同相位振动。M的位移为x （似右图中的平衡位置为原点向下为正）。速度为x ，则弹簧+物体这一系统的势能为： U(x).2112?kx 物体的动能为 Ek物?Mx

22.. 假定弹簧的质量均匀地连续分布，它上面各点的速度均匀地从O点变到x，对弹簧上的y点，其速度即为 v(y)..y?x （设某时刻x一定，与y无关） l0?l0'?x则v(y)平方的平均值为 v2(y)l0?l0'?x1x2?vdy?l0?l0'?x?0(l0?l0'?x)3.2?l0?l0'?x01.2ydy?x

32 ?弹簧的动能Ek弹簧121.2?mv(y)?mx 26

6-16 三个质量为m的质点和三个劲度系数为k的弹簧串联在一起，紧套在光滑的水平圆周上(见本题图)。求此系统简正模(即简正频率和运动方式)。 解： ?d2s1?m2??2ks1?ks2?ks311??a1????2???dt2??r?1?ds2??21??a2??0

??m2?ks1?2ks2?ks3 si?aicsin(?t??),??m?1?a??dt1??2?2???3??mds3?ks?ks?2ks123?dt2???2 由：

111??(??3)2?0??1?0,?2??3?11??21??23k m 讨论：（1）?1?0?a1?a2?a3 体系各质点给圆心作纯转动

3k?? 要求 AnAp??np n,p?2,3 A(a1,a2,a3)可解得： m1?对?: a?0,a?-a??2123??2

（Ⅰ）??对?3: a1??2,a2?a3??1a1?32??21111对?： a?sin?,a?cos??sin?,a??cos??sin??2123?32626（Ⅱ）?

21111?对?: a?cos?,a2?sin??cos?,a3??sin??cos?31?32626? （2）?2??3?新 概 念 力 学 习 题 集 第 39 页

2?5?5?11? ,,,3636?a1??0.58?a1?0.58???当???时，（Ⅱ）组的值为 对?3:?a2?0.79 对?3??a2?0.21

4?a??0.79?a??0.21?3?3? a1?a2?a3?0 故此时?2,?3的简正模类似：两质点（1 3）?2或(1 2)?3作相对扭动。质点类似图1中的(b)。但此处的三个质点均不同步。当?值取其它值时亦类似。例

?2?5?35如变为质点(2 3)?1作相对扭动。当?取值?0,,,,?,?,?,2?时，才类似

23623 ?在2，4象限取值，但??图1的模式。

图1与图2的区别是：图1中总有一对质点的运动是同步的，而图2中的三个质点运动永不同步

6-17 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm．经过多长时间振幅将变为0.30cm？ 解：A(t)?Ae??t?1311310ln10? ??ln?ln3 t?ln??21s

10110ln3/100.3ln3???1lnA1A t?ln A(t)?A(t)

6-18 一音叉的频率为440Hz，从测试仪器测出声强在4.0s内减少到1/5，求音叉的Q值(Q =1/2?，?——阻尼度)

122?c?A 0ss2IA21?2?(t'?t)??t??t'?e?2??t 设Aa?Ae, Ab?Ae, t'?t?4s??t 由：b??(b)?eIa5Aa?1880?ln51 ????0??6.87?103 ?ln5 Q?2?2?2?ln5/82?t8解： ?0???2?v?2??440?880?rad 声强 I?

6-19 一个弹簧振子的质量为5.0kg，振动频率为0.50Hz，已知振幅的对数减缩为0.02，求弹簧的劲度系数k和阻尼因数?．

解： m?5.0kg v0?0.5Hz ?0?2?v0??? ?k?m?2k m （劲度系数）

?5?2?49.3kg ??0.02??T T?2?2??

22?r?0??s2?49.3Nm ????0???4?22???0.020.02?4?22?0.01/s （阻尼系数）

6-20 弹簧振子的固有频率为2.0Hz，现施以振幅为100dyn谐变力，使发生共振。已知共振时的振幅为5.0cm，求阻力系数?和阻力的幅度。

解： v0?2Hz, ?0?2?v0?4?, F?100dyn, ??2m? 作一近似：设阻尼很小，则

?02??2??0由Amax?F2m??0??22?F??0

新 概 念 力 学 习 题 集 第 40 页

F10051kg ??1.59g?g?s?s200?sAmax5?4?FF 阻力的幅度F0??vmax?????F?100dyn?10?3N

2m?? ? 阻力系数 ??

6-21 设有两个同方向同频率的简谐振动x1=Acos(?t+?/4)，x2=3Acos(?t+3?/4)。求合成振动的振幅和初相位。 解：x1?Acos(?t??4) x2?3Acos?(t?A2?(3A)2?2A

3??(t??) ) x?x1?x2?/Acos4 和振动的振幅/A? ??arcsin3A3??7?arcsin? ?和振动的初相位???????1050 2A23412?x?Asin?t?x?Acos?t （2）?

?y?Asin?t?y?Bcos?t

6-22 说明下面两种情形下的垂直振动合成各代表什么运动，并画出轨迹图来。两者有什么区别 (1) ?x2y2解:(1)2?2?1.为一正椭圆.

AB??x?Acos?(t?)?? ?即0?????.为顺时针方向旋转的椭圆 ???????2yx2?st?y?Bco??x?Acos?tx2y2?? (2)??,2?2?1,????y??x??,??????0.

2By?Bcos(?t?)A?2? 为逆时针方向旋转的正椭圆

?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?(1) x ?0, ?t?0, 30?, 45?, 60?, 90?2AA,,0223B, B2

A, 23By ?B,,22A3A3A,,A (2) x ?0, , 2222B1B2B, B, 0y ?0,,, 2222

6-23 两支C调音叉，其一是标准的256Hz，另一是待校正的。同时轻敲这两支音叉，在20s内听到10拍。问待校音叉的频率是多少。

解：v标?256Hz,?标?2?v标?512?rad/s,t?20s,n?10拍. T拍?t202?2???2s?? n10?较??标?标??较(1) 设?较??标,则?较??标??较??标??

?较?256.5Hz ??较????标?513?. v较?2?(2) 设?较??标,则?标??较??标??较??

??较??较???511?. v较?

?较?255.5Hz 2?

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