2005年 上海高考数学试题及答案（理科）

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根 2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（理工）

一、填空题（本大题满分48分）

1．函数f(x)?log4(x?1)的反函数fxx?1(x)=__________.

2．方程4?2?2?0的解是__________.

3．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP?OA?4，则点P的轨迹方程是__________.

4．在(x?a)的展开式中，x的系数是15，则实数a=__________.

5．若双曲线的渐近线方程为y??3x，它的一个焦点是

107?10,0?，则双曲线的方程是__________.

?x?1?2cos?6．将参数方程?（?为参数）化为普通方程，所得方程是__________.

y?2sin??3n?1?2n7．计算：limn=__________.

n??3?2n?18．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不

同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）

9．在?ABC中，若A?120?，AB=5，BC=7，则?ABC的面积S=__________.

10．函数f(x)?sinx?2|sinx|,x??0,2??的图象与直线y?k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围

是__________.

11．有两个相同的直三棱柱，高为

2，底面三角形的三边长分别为 a3a,4a,5a(a?0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能

的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________.

12．用n个不同的实数a1,a2,?,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行

ai1,ai2,?,ain，记bi??ai1?2ai2?3ai3???(?1)nnain，i?1,2,3,?,n!.例如：用1，2，3可得数阵

112233231312323121

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

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如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1?b2???b6??12?2?12?3?12??24，那

么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1?b2???b120=__________.

二、选择题（本大题满分16分）

13．若函数f(x)?1，则该函数在???,???上是 2x?1 （ ）

A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值

14．已知集合M??x||x?1|?2,x?R?，P??x|??5??1,x?Z?，则M?P等于（ ） x?1?B．?x|0?x?3,x?Z? D．?x|?1?x?0,x?Z?

A．?x|0?x?3,x?Z? C．?x|?1?x?0,x?Z?

215．过抛物线y?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直

线

A．有且仅有一条

16．设定义域为R的函数f(x)?? （ ）

B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

?|lg|x?1||,x?12，则关于x的方程f(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解x?1?0,

C．b?0且c?0

（ ）

D．b?0且c?0

的充要条件是

A．b?0且c?0 B．b?0且c?0

三、解答题（本大题满分86分）

17．（本题满分12分）已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，

AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

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18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程|z|2?(1?i)z?(1?i)z?5?5i（i为虚数单位）无解. 2?i

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

x2y2??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位如图，点A、B分别是椭圆

3620于x轴上方，PA?PF.

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万

平方米.那么，到哪一年底，

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（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

21．（本题满分16分）（4+6+6=16分）对定义域是Df、Dg的函数y?f(x)、y?g(x)，规定：函数

?f(x)g(x),当x?Df且x?Dg?h(x)??f(x),当x?Df且x?Dg.

?g(x),当x?D且x?Dfg?（1）若函数f(x)?12，g(x)?x，写出函数h(x)的解析式； x?1（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；

（3）若g(x)?f(x??)，其中?是常数，且???0,??，请设计一个定义域为R的函数y?f(x)，及

一个?的值，使得h(x)?cos4x，并予以证明.

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22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.

23n在直角坐标平面中，已知点P1?1,2?,P22,2,P33,2,?,Pnn,2，其中n是正整数，对平面上任一点A0，

??????记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，．．．，An为An?1关于点Pn的对称点.

（1）求向量A0A2的坐标；

（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y?f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期

函数，且当x??0,3?时，f(x)?lgx.求以曲线C为图象的函数在?1,4?上的解析式；

（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标.

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