极坐标系与参数方程

极坐标系与参数方程

编稿：侯彬 审稿：安东明 责编：辛文升 一、基础知识回顾 1．极坐标系

（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。

平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度度来刻画，这两个数组 成的有序数对下，我们用弧度制度 量。

称为点M的极坐标。

（

≥0）和从Ox到OM的角

称为极径，称为极角。多数情况

注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为

，则

（k∈Z）也是点M的极坐标。若限定

，则除原点

外，点其极坐标一

一对应。

（2）极坐标系与直角坐标系的互化

在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的

正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为

。画图可知：

，或。

（3）曲线的极坐标方程的概念

在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程极坐标

满足

。如果曲线C是由

方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线C的极坐标方程。

也就是说：①以方程的解为坐标的点在曲线C上；

②曲线C上的点的至少一组坐标是方程的解。 （4）直线的极坐标方程 ①经过极点：

或

。

。 。

②垂直于极轴且与极点距离为a（＞0）： ③平行于极轴且与极点距离为a（＞0）： （5）圆的极坐标方程

①圆心为极点，半径为r： ②圆心为（r，0），半径为r： ③圆心为

，半径为r：

。

。 。

④圆心为，半径为r：。

⑤圆心为

，半径为r：。

2．参数方程

（1）定义：平面直角坐标系上点的坐标x，y表示为第三个变量t的函数

，参数t是

联系x，y的桥梁，消去t即得到方程F(x，y)=0。

注意：①对t的每一取值，方程组确定的点（x，y）在曲线上；

②线上任一点（x，y）都可由t的某一取值通过方程组可得到。 （2）已知直线经过定点P0(x0，y0)，倾斜角为线上任意一点

，则方向向量

，

，直

P(x，y)满足，则（t为参数）。

注意：参数t的意义：

①t的符号：相对于P0（x0，y0）的位置。②t的绝对值：|P0P|=|t|。

若已知一般的方向向量时参数t就不具

有上述参数方程的意义。

类似于上述过程（t为参数），但此

（3）圆的参数方程：，为参数。

椭圆的参数方程：

，为参数。

二、典型例题

，直线过极点且垂直于极轴，分别求点M关于极轴，直线，

；

。

1．设点

极点的对称点的极坐标。 解：关于极轴： 关于直线： 关于极点：

说明：点的极坐标不唯一，写出一组即可。

2．把下列点的极坐标化为直角坐标：，B（1，2）。

解：（1），，

。

，

。

，，

∴A点直角坐标 （2）

，

，，

∴B点直角坐标

3．把下列点的直角坐标化为极坐标：A（1，－1），B（1，π）

，

，

，

解：（1），又A在第四象限，

∴

∴A点极坐标 （2）限，

∴

∴B点极坐标 （1） 解：（1） （2）∵ （3）

∴(x2+y2)(x－1)=0 （4） ∴

，

，

，

，又B在第一象

4．将下列极坐标方程化为直角坐标方程。

；（2）

；（3）

；（4）

。

，∴直角坐标方程为x2+y2=1 曲线经过极点，∴

∴

，∴x2+y2=y

曲线经过极点

∴(x2+y2)2=2a2xy

5．求直线的倾斜角。

解：法一：直线的方向向量，∴倾斜角为

法二：消去t，将直线方程化为普通方程为，

即

，∴斜率，倾斜角为。

6．设直线经过点M（1，1），倾斜角为。

（1）写出直线的参数方程；

（2）求直线与直线的交点P的坐标及|PM|。

解：（1）的参数方程为

（2）由（1）知，解方程，得

∴P点坐标为 即 距离。

7．直线经过点A（1，3）且与

，且

，

共线，求点P（―2，―1）到直线的

解：的参数方程

设P到点的距离为d， ∴

设

∴P到的距离为

。

∴当时

8．求椭圆上的点到M（2，0）的距离的最小值。

，M到椭圆上点的距离为d

解：设椭圆上点坐标 ∴

当时

∴椭圆上点到M（2，0）的距离最小值为

。

三、课后练习

表示的曲线是（ ）

1．极坐标方程

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

2．已知动圆方程，那么圆心的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分

3．圆

4．曲线

与

的交点的极坐标是________。 的圆心的极坐标是________。

5．圆心在（2，1），半径为4的圆在直线

上所截的弦长为________。

参考答案：

1．B 2．D 3． 4．， 5．8

∴椭圆上点到M（2，0）的距离最小值为

。

三、课后练习

表示的曲线是（ ）

1．极坐标方程

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

2．已知动圆方程，那么圆心的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分

3．圆

4．曲线

与

的交点的极坐标是________。 的圆心的极坐标是________。

5．圆心在（2，1），半径为4的圆在直线

上所截的弦长为________。

参考答案：

1．B 2．D 3． 4．， 5．8

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