有关解析几何的经典结论

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有关解析几何的经典结论

一、椭 圆

点P 处的切线 PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角.

PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点

以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆

内切.

X

V 椭圆— 2 =1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,点P 为椭圆上任意一点

a b

2 Y

ZF 1PF 2 =,则椭圆的焦点角形的面积为

S F 1PF 2 =b tan?. 2 2 X

V 椭圆二 2 -1 (a > b > 0)的焦半径公式:

a b

| MF 1 Ha ex o , ∣MF 2 戶a -eχ√ F'-c,。)，F 2(c,O) M (X ), y °)). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MF ⊥ NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 、A 为椭圆长轴上的顶点，

AP 和A 2Q 交于点 M A2P 和AQ 交于点 N 贝U MF ⊥NF.

AB 是椭圆X 2 -V 2 =1的不平行于对称轴的弦，M (x o , y o )为AB 的中点， a b _ b

k oM K AB = - 2 ， a

b 2X o 2 0 a y o

2

^X ^ "V y = 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程 a b 2 2 X V 2 2=1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程

a b 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 若F O (X o ,y o )在椭圆 2 _ - y 2 =1上，则过P )的椭圆的切线方程是 今 翌 b a 2 若P )(x o , y °)在椭圆 2 a 2 笃?每=1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为

a b

b 2T .

P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是 χo χ . y o y

若P)(X 0, y o )在椭 X o X . V oV =

a 2

b 2

2 : X o . V O 2 ,2

a b

若P)(X o , y o )在椭圆

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2 2 X y X o X y °y ~ = - ~ - ~

a 二、双曲线

点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.

PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径

的圆，除去长轴的两个端点

. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. P 在左支)

线切点为P 1、P ,则切点弦P 1P 2的直线方程是 逬-进 =1.

a b X 2 y 2 双曲线二 2 =1 ( a > 0,b > 0)的左右焦点分别为 F 1, F 2,点P 为双曲线上任意 a b

” 2 Y

—点—F 1 PF 2 -，则双曲线的焦点角形的面积为 S.F 1PF 2

= b COt "2 . X 2 y 2 、

双曲线— 2=1 (a > 0,b > 0)的焦半径公式：(F 1(-c,O) , F 2(C ,0)

a b 当 M (X 0, y °)在右支上时，IMF II= a , | MF ? ∣= eX 0 - a .

当 M (X 0, y °)在左支上时，∣MF 11= -eX 0 a , ∣MF 21= -e>0 - a

设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点，则MF I NF. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点, AP 和A 2Q 交于点 M A 2P 和AQ 交于点 N,贝U MFL NF.

2 2 X y

AB 是双曲线

2 =1 (a > 0,b >0)的不平行于对称轴的弦， M (X 0, y 0)为AB b 1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11.

12.

以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆

相切.(内切：P 在右支；外切: 若F O (X 0, y o )在双曲线 2 2 X y =1 (a >O,b > 0) 若F O (X 0, y 0)在双曲线 -2 一 I 2 a b

2 2

X y 上，则过R 的双曲线的切线方程 1 (a > 0,b > 0) a b 外，则过Po 作双曲线的两条切

的中点，贝y K OM b 2X 0

b 2X 0 K ABI 2 ，即 K AB —

2 。 a y 。 a y 。 2

2 若P D (X 0 , y 0)在双曲线 X $ =1 (a >0,b >0)内，则被Po 所平分的中点弦的

a b 方程是χ°2x a b 2 2 X 0 2 a _ y02 ^b 2

7.

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2 2

若P 为椭圆 笃+占=1 (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点

，F 1,F 2是焦点，

a b

任

a -C

α B

PF 1

F 2 h ?,

PF 2

F 1= .:,贝U

tan —cot — .

a C 2 2

2 2

X y

4. 设椭圆二 2 =1 (a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上

a b

任意一点，在△ PF 1F 2 中，记.F 1PF 2 =「，. PF I F^ ^ F 1F 2P =,则有

sin ： C ---------------- =—=e sin ，亠 Sin a

2 2

X

y

5.

若椭圆二 2 =1 (a > b >0)的左、右焦点分别为

F 1、F 2,左准线为 L 则当0

a b

V e ≤ 2 -1时，可在椭圆上求一点

P ,使得PR 是P 到对应准线距离d 与PF z 的比

例中项?

2 2

6. P 为椭圆 令=1 (a > b > 0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，

a b

则2a-1 AF 2闫PA| | PF 1匸2a | AF 1 |,当且仅当A,F 2,P 三点共线时，等号成 2 2

13.

2 2

X y 若P )(x o , y o )在双曲线一2

2

=

1

(a >0,b >O )内，则过 Po 的弦中点的轨迹方

1.

2.

程是鸟

a

χo χ y °y .2 2 ,2 ■ b a b

椭圆与双曲线的对偶性质

椭

(会推导的经典结论) 圆

2

X

椭圆二 2 =1 ( a > b > o )的两个顶点为 A I (-a,0), A 2(a,0),与y 轴平行的直

a b

线交椭圆于P i - P 2时A i P i 与AP 交点的轨迹方程是

2 2

—I

.

a b

2 过椭圆冷

a

1 (a >O, b >0)上任一点A(x 0

,y 0

)任意作两条倾斜角互补的直 b

线交椭圆于

B,C 两点，则直线BC 有定向且k B 「些(常数).

a y o

3.

(X XO)W 型1与直线AX By ? C=O有公共点的充要条件是椭圆

a b

A2a2B2b2一(A X0 By0C)2.

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7.

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2 2 X V 已知椭圆r 2 =1 ( a > b > 0)的右准线丨与X 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F a b

的直线与椭圆相交于 A B 两点，点C 在右准线丨上，且BC _ X 轴，则直线 AC 经 过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直?

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，

则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数8. 2 2

已知椭圆笃.1

a -

(1) ^^ IOPI =K a > b > 0),0为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP_OQ . 9. b 2 1 2 ∣OQ | a 2b 2

a b 2 2 X V

过椭圆二 2 =1 (a > b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦

a b 1 1 4a 2b 2 2 2 ；( 2)OPI 2+IOQI 2 的最大值为—一2 ; (3) S-OPQ a

b a b 10. 11. 12. 的最小值是 MN 的垂直平分线交

2 2 已知椭圆笃 V 2 a 2 b 2

线与X 轴相交于点

2

设P 点是椭圆

X i a 记.F I PF^ ^ X 轴于P ,贝y IPF L - IMNl 2

=1 ( a >b > 0) ,A 、B 、是椭圆上的两点， 线段AB 的垂直平分 2 I 2 2 I 2 a -^b a -^b P(×0,0),贝U X o ： 2

計1 ( a >b >O )

上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点 则(1) IPF 1IIPF 21 = ^b -.(2) S P FIF^ b 2ta n^. 1+cos 日 2

/PF1F2 2 2 X V

2 2 =1 ( a > b > 0)的长轴两端点， P 是椭圆上的一点, a b

PAB =C , . PBA=I , ? BPA=

, c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 2 2 2 2ab I COSa |

R 2 2a b HV (1) IPAI 2

2 2 ?(2) tan ： tan 一 1-e 2.(3) S PAB 2 2cot

a -C cos 「

b -a 设A 、B 是椭圆 13.

6.

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e(离心率).

(注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.)

PF I F 2

「则有 _(Sin _Sin j a

2 2

X V

若双曲线 —

2=

1 (a > 0,b >0)的左、右焦点分别为

a b

则当1v e ≤ -、2 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PR 是P 到对应准线距离

d 与PR 的比例中项.

2 2

X V

P 为双曲线 —

2=

1 (a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线

a b

内一定点，贝U | AF 2 | -2a <| PAnPF l I ,当且仅当A, F ?, P 三点共线且P 和

17. 18. 椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比

e.

椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项

双曲线

1.

2

双曲线 —--1 (a >0,b > 0)的两个顶点为 A 1(-a,O), A 2(a,0)，与y 轴

a b

2 2

平行的直线交双曲线于 P 1、P 2时AP 1与A 2P 2交点的轨迹方程是 冷+厶=1.

a 2

b 2

2.

2

2

X

V

过双曲线 —

2

=1 (a >0,b >0)上任一点 A(X o ,y o )任意作两条倾斜角互

a b

补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线BC 有定向且k B c = - b X 0

2

(常数).

a y 0

3.

2 2

X V

若P 为双曲线 —

2=

1(a > 0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F 1,

a b

F 2 是焦点，.PF 1F 2 =「， ■ PF 2F 1

,则

c

=tan co V (或 C a 2

2

4.

jtar√co ÷ ). C a 2

2

2

2

设双曲线一2…占=1 (a >0,b >0)

a 2

b 2

的两个焦点为 F i 、F 2,P (异于长轴端点)

为双曲线上任意一点，

在△ PF i F 2

记

F 1

PF 2

=:

5. F 、F 2,左准线为L ,

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A, F 2在y 轴同侧时，等号成立?

x 2 y 2

7.

双曲线 —

2 =1 (a > 0,b > 0)与直线AX By ^O 有公共点的充要条

a b

件是 A 2a 2 —B 2b 2 M 2.

2 2

X

V

8.

已知双曲线 — 2

=1 (b >a >0), O 为坐标原点，P Q 为双曲线上两动点，

a b

且 OP _ OQ .

点与相应焦点的连线必与切线垂直

,、1 1 (1) 2 2

|OP I 2 |OQ I 2

2b 2

的最小值是 -a ------ 2 . b -a 2 过双曲线X

2 a

9.

2 y b 2 10.

11.

12.

13. M,N 两点，弦 1 1 2 2

—-—;(2) |0P| +|OQ| 的最小值为

a b

=1 (a > 0,b > 0)的右焦点 MN 的垂直平分线交 X 轴于P ,则

2 2 ^2

2

； (3) S OPQ

b - - a

F 作直线交该双曲线的右支于

|PF | _e

| MN | 2

2 2

X y 已知双曲线 2 - 2 =1( a > 0,b > 0) ,A 、B 是双曲线上的两点,

a b

垂直平分线与

2

2

a 2

+b 2

X 轴相交于点P(X 0 ,0),则X 0 或X 0 <

a

线段 AB 的

2 2

X

y

设P 点是双曲线

2 - 2 T (a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点

，F 1、

F 2

b 2

为其 焦点记? F 1PF 2-J ,贝y (1) |PF 1 ||PF 2|

——- 1 —cos 日

.⑵ 2 Y

S PFIF2

=

b c0t

^ .

2 2

X y

设A B 是双曲线 — 2

=1 (a > 0,b >0)的长轴两端点，P 是双曲线上的

a b

一点，N PAB=O ( ,NPBA = B ,NBPA = Y , C 、e 分别是双曲线的半焦距

2

ab |cos ： | 离心率，则有(1) ∣PA ∣= 2

2

2

- | a -C COS ； |

r 2. 2

2a b I

cot . b 2 a 2

⑵ tan - ta n ： =1-e 2

.(3) S P

AB

已知双曲线 2

X ~2

a

笃=1 (a >0,b >0)

b

的右准线I 与X 轴相交于点E ,过双曲

线右焦点F 的直线与双曲线相交于 A 、 B 两点，点C 在右准线I 上，且BC _ X

轴，则直线 AC 经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,

与以长轴为直径的圆相交， 则相应交

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