概率论作业

概 率 论 作 业 本

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专业： 班级： 学号：

黑龙江八一农垦大学文理学院数学系

第一章 随机事件与概率

1、设A、B、C为已知事件，用A、B、C表示以下事件: (1) A、B发生，C不发生 (2) A、B、C都不发生 (3)

A、B、C至少有一个发生 (4) A、B、C恰有一个发生

(5) A、B、C至多有一个发生 （6）A、B、C至少有两个发生

2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。从中任取10件，试求： （1）样本空间所含基本事件个数n。

（2）设A1?\所取10件全是合格品\ 所含基本事件个数m1。

（3）设A2?\所取10件恰有两件次品\所含基本事件个数m2。

3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。

4、一盒中装有60个零件。其中甲厂生产的占个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。

1

12，乙厂生产的占。现随机地从盒中取3 335、一份试卷上有6道试题。某位学生在解答时，由于粗心随机地犯了4处不同的错误。试求：

（1）这4处错误发生在最后一道题上的概率。

（2）这4处错误发生在不同题上的概率。

（3）至少有3道题全对的概率。

2、3、4、5写在5张卡片上。任意取出三张排成三位数，则这三位数是奇数的概6、将数字1、率。

7、将4个小球随机地投入3个盒内，求有空盒的概率和没有空盒的概率。

2

8、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率各是多少？

9、A?B,P(A)?0.1,P(B)?0.5，试求P(AB),P(A?B),P(A?B)。

10、P(A)?0.3,P(B)?0.6，P(A?B)?0.7。求P(AB)和P(AB)。

11、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，试求该射手在一次射击中命中的概率。

3

12、五名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是0.8。他们各投一次。 试求：

（1）恰有4次命中的概率。

（2）至少有4次命中的概率。

（3）至多有4次命中的概率。 13、甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹，他们命中敌机的概率都是0.2。飞机被击中1弹而坠毁的概率为0.1，被击中2弹而坠毁的概率为0.5，被击中3弹必定坠毁。

（1）试求飞机坠毁的概率。

（2）已知飞机坠毁，试求它在坠毁前只命中1弹的概率。

4

?cx3,0?x?1;7、设随机变量X的密度函数为f(x)??，

?0,其余。（1）试确定常数c的值；

（2）并由此求出P(?1?X?

（3）求随机变量X的分布函数F(x)。

8、（柯西分布）设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,???x???。试求（1）常数A和B；

（2）概率P{?1?X?1}；

（3）X的密度函数。

1)； 2 10

?A,?1?x?1?2X9、设连续型随机变量的密度函数为f(x)??1?x，试求：

?0 ,x??1,x?1?（1）常数A；

（2）X落在(?0.5,0.5)的概率；

（3）X的分布函数。

10、设随机变量X~N(?1,16)。试求P(2?X?5)、P(X?3)与P(?1?X)。

11、设某种晶体管的寿命（单位：小时）是一个随机变量X，它的密度函数为

?100x?2,x?100; f(x)??

0,其余。?（1）试求该种晶体管不能工作150小时的概率；

（2）一台仪器中装有4只此种晶体管，试求该种晶体管工作150小时后至少有1只失效的概率。假定这4只晶体管是否失效是互不影响的。

11

12、设某建筑物的使用寿命（单位：年）X服从正态分布N(50,100)。 （1）试求它能被使用60年的概率；

（2）已知这幢建筑物已经使用了30年，试求它还能被使用30年的概率。

13、设离散型随机变量X的分布律为 X -2 -1 0 1 3 Pt 0.2 0.1 0.3 0.1 0.3 试求下列随机变量的分布律： （1）Y?2X?1；

（2）Y?X2。

14、设随机变量X~N(?,?2)，试求Y?eX的密度函数。

15、设随机变量X~U(0,?)，试求Y?2X?1的密度函数与分布函数。

12

第二章 基础知识自测题

一、判断题：

1、设F(x)是随机变量X的分布函数，则有F?????0,F?????1。 （ ） 2、设X是任意一个随机变量，则有P?a?X?b??F?b??F?a?。 （ ） 3、设X是一个随机变量，a,b是常数，则P?a?X?b??P?a?X?b?。 （ ） 4、设X~N(0,1)，则P?X?0??P?X?0??1。 （ ）

2?x5、设X~U?0,2?，则X的分布函数为F?x???2,0?x?2。 （ ）

???0,其他二、填空题： １、设X的分布律为 X PK １ ２/６ ４ １/６ ６ ２/６ １０ １/６ 则P?2?X?6?? ，P?X?4?? ，P?1?X?5?? 。 ２、一袋中装有５只球，编号为１，２，３，４，５．在袋中同时取３只，以X表示取出 的３只球中的最大号码，写出X的分布律： 。

?ax?b,0?x?1153、 已知随机变量X的密度为f(x)??, 且P{X?}?,则

280,其它?a?________ ，b?________。

4、以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），

?1?e?0.4x,x?0X的分布函数是 F?x???

?0,x?0求（１）Ｐ（至多３分钟）＝ ；（２）Ｐ（至少４分钟）＝ ； （３）Ｐ（恰好２.５分钟）＝ 。

1x??1200?,x?0，则?= 。 5、已知随机变量X的概率密度为 p(x)???e??0,x?0 13

三、选择题：

1. 设离散型随机变量X的分布律为P?X?k????k，k?1,2,?，且??0，则?为（ ）。

1 （B）?是大于零的实数 ??11（C）?? （D）????1

??1（A）??2. 下列函数可以作为某一随机变量X的概率密度的是（ ）。

3?sinx,当x?[0,?]?sinx,当x?[0,?]（A）f1(x)?? （B）f2(x)??2

0,0,其它??其它????sinx,当x?[?,]?sinx,当x?[0,]（C）f3(x)??22 （D）f4(x)??2

?0,?0,其它其它3. 设随机函数X服从（0，5）上的均匀分布，则关于t的方程4t?4Xt?X?2?0有实根的概率为（ ）。 （A）

2231 （B） （C）1 （D） 5534. 若随机变量X～N（0，1），分布函数是?(x)?。 P?X?x????(0,1)，则x =（ ）

?1（A）?(?) （B）?(1?2?1xe???2?1?t22dt，???x??，且

?) （C）??1(1??) （D）??1() 22?5. 设X～N(?,?),那么当?增大时，P{X????}?（ ）。 （A）增大 （B）减少 （C）不变 （D）增减不定

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概率论综合自测题（一）

一、判断题

1、若两个随机变量不相容，则它们必然相互独立。 ( ) 2、在一次试验中，概率为零的事件一定不发生。 ( ) 3、设X是任意一个随机变量，则有P?a?X?b??F?b??F?a?。 ( ) 4、二维随机变量的两个边缘分布函数可以决定它的联合分布函数。 ( ) 5、两个随机变量X、Y不相关的充要条件是X和Y相互独立。 ( )

二、选择题

1、设A与B为两个互斥事件，且P(A)?0,P(B)?0,则下列结论正确的是（ ）。 (A)PBA?0 (B) P?A|B??P?A?

??(C)P?A|B??0 (D)P(AB)?P(A)P(B)

2、常数b=（ ）时，Pi?b,(i?1,2,?)为离散型随机变量的概率分布律。

i(i?1)(A) 1 (B) 2 (C)0.5 (D)3

3、已知随机变量X服从二项分布，且E?X??2.4，D?X??1.44，则二项分布的参数n,p 的值为（ ）。

(A)n?4,p?0.6 (B)n?6,p?0.4 (C)n?8,p?0.3 (D)n?24,p?0.1

24、已知随机变量X~N(?,?)，则Y?aX?b服从（ ）。

(A)N(a?,?2) (B) N(a?,a?2) (C) N(a??b,a?2) (D) N(a??b,a2?2)

5、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为2和3，则随机变量5X?2Y的 方差是（ ）。

(A) 40 (B) 62 (C) -3 (D) 36

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三、填空题

1、设事件A,B相互独立p(A)?0.3,p(B)?0.6,则p(AB)? ，

p(A?B)? 。

2、事件A在一次试验中出现的概率为P，若在三次重复独立试验中至少出现一次的概率为

26，则P? 。 273、给定X的分布律为

Xp?1121，则Y?2X?1的分布律为 。 12?kx2x??0、2?4、设随机变量X的概率密度为p(x)??，则k= 。

别处?05、设随机变量X服从[1，3]上的均匀分布，则E(X)? 。

26、设随机变量X～N(2,?),且P(2?X?4)?0.3，则P(X?0)? 。

7、设X与Y独立同分布，且P(X??1)?P(Y??1)?P(X?1)?P(Y?1)?1，则2P(X?Y)? 。

8、随机变量X~N??3,1?，Y~N?2,1?，且X与Y独立，设Z?X?2Y?7， 则E(Z)? ，D(Z)? 。

四、设随机变量X~U(0,?)，试求Y?2X?1的密度函数。

五、一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球。第一次比赛时随机地从盒子中取出2

只乒乓球，使用后放回盒子，第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球。 （1）试求第二次取出的球全是新球的概率。

（2）已知第二次取出的球全是新球，试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率。

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六、设随机变量X的密度函数为 f(x)???cx3,0?x?1;0,其余

?求：（1）常数c的值；（2）P(?1?X?12)；（3）E(X)。 七、设X与Y的联合概率密度函数为

f(x,y)???A(2x?y),0?x?1,0?y?2?0,其余 试求：（1）常数A；

（2）X与Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （3）X与Y是否相互独立，说明理由。

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概率论综合自测题（二）

一、判断题

il 1、若随机事件A的频率为fn(A)，则mn??fn(A)?P(A)。 ( )

2、三个事件如果两两独立，则称三个事件相互独立。 ( ) 3、设X～N(4,?2)，则当?变小时，PX?4?3?的值不变。 ( ) 4、连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。 ( ) 5、若?X,Y?～N????,?,?12212,?,?，则X与Y相互独立的充要条件是??0。( ) 11?二、选择题

1、每次试验成功的概率为p（0?p?1），进行重复试验，直到第10次试验才取得4次 成功的概率为（ ）。

4334434 (A)C10p4(1?p)6 (B)C9p(1?p)6 (C)C9p(1?p)5 (D)C9p(1?p)6

2、对事件A,B，下列命题正确的是（ ）。

(A) 若A,B互不相容 ，则A,B也互不相容；(B) 若A,B相容 ，则A,B也相容；

(C) 若A,B互不相容，则A,B相互独立；(D)若A,B相互独立，则A,B相互独立

?0,?3 3、设连续型随机变量X的分布函数F?x???x,?1,? (A) (C)x?00?x?1 ,则E?X?? ( )。 x?1? ?? 0 1xdx (B) ?? 14? ?? 0 13x3dx

? 0x4dx??xdx (D)?3x3dx

04、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布列分别为

X 0 1 P 1/3 2/3

Y 0 1 P 1/3 2/3 33

则下列式子正确的是（ ）。

(A)X?Y (B)P(X?Y)?5/9 (C)P(X?Y)?1 (D) P(X?Y)?0

?0.1e?x5、设随机变量X的密度函数为f(x)???0 (A) 0.1 (B) - 0.1 (C) 0.2 (D) 0

x?0 ，则?为（ ）。 x?0三、填空题

1、10个球中有两个一等品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次才抽出一等品的概率为 ；已知第一次取到一等品，则第二次取到一等品的概率为 。

2、三人独立地破译一密码，已知每个人能译出的概率分别为15,13,14，则密码被译出的概率为 。

3、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则该射手在一次射击中命中的概率为 。 4、设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,???x??，则常数A= ，B? 。

5、已知X~N(?,?2)，且Y?X???，则Y~ 。

6、设随机变量X服从[1，3]上的均匀分布，则E(X)? 。

7、设随机变量X～N(?,4)，则由切比雪夫不等式有P(X???4)? 。 8、设D(X)?4,D(Y)?9，Cov(X,Y)?3，则D(2X?3Y)? 。

四、计算题

把4个小球随机地投入3个盒子中，求：没有空盒和有空盒的概率。

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五、甲、乙、丙三人同时独立地对飞机进行射击，三人击中目标的概率分别为0.4、0.5、

0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为02，被二人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求 （1）飞机被击落的概率； （2）击落是被一人击中的概率。

六、已知随机变量X服从(1,6)上的均匀分布，试求Y?4X?1的密度函数。 七、 设X与Y的联合概率密度函数为

f(x,y)???Axy,0?x?y,0?y?1?0, 其余 试求：（1）常数A；

（2）X与Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （3）X与Y是否相互独立，说明理由。

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