高数中需要掌握证明过程的定理
更新时间:2023-09-29 11:16:01 阅读量: 综合文库 文档下载
高数中的重要定理与公式及其证明(一)
考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀,也为了方便各位师弟师妹复习,不才凭借自己对考研数学的一点了解,总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,从长远来看都是应当熟练掌握的。
由于水平有限,总结不是很全面,但大家在复习之初,先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1)常用的极限
ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1,lim? lim?1,lim?lna,lim?a,x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【点评】:这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想
?x)?e与过它们的由来呢?事实上,这几个公式都是两个重要极限lim(1x?01xsinx?1的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技
x?0x巧。 证明: lim1ln(1?x)ln(1?x)lim?1:由极限lim(1?x)x?e两边同时取对数即得lim?1。
x?0x?0x?0xx
ln(1?x)ex?1?1中,令ln(1?x)?t,则x?et?1。由于极限lim?1:在等式limx?0x?0xx过程是x?0,此时也有t?0,因此有limt?0t?1。极限的值与取极限的符号et?1ex?1?1。 是无关的,因此我们可以吧式中的t换成x,再取倒数即得limx?0x
ax?1ax?1exlna?1lim?lna:?lim利用对数恒等式得lim,再利用第二个极限可x?0x?0x?0xxxexlna?1exlna?1ax?1?lnalim?lna。因此有lim?lna。 得limx?0x?0xlnax?0xx
(1?x)a?1lim?a:利用对数恒等式得 x?0x(1?x)a?1ealn(1?x)?1ealn(1?x)?1ln(1?x)ealn(1?x)?1ln(1?x)lim?lim?alim?alimlim?ax?0x?0x?0x?0x?0xxaln(1?x)xaln(1?x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。
xx??2sinsin1?cosx1?cosx12?1lim?2??1。lim?limlim?:利用倍角公式得 ?x?222x?0x?0x?0x?0xx22x2???2?222)导数与微分的四则运算法则
(u?v)'?u'?v', d(u?v)?du?dv(uv)'?u'v?uv', d(uv)?vdu?udv
u'vu'?uv'uvdu?udv()?, d()?(v?0)22vvvv【点评】:这几个求导公式大家用得也很多,它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点,通过这几个公式可以强化相关的概念,避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有,这里就不赘述了。 3)链式法则
设y?f(u),u??(x),如果?(x)在x处可导,且f(u)在对应的u??(x)处可导,则复合函数y?f(?(x))在x处可导可导,且有:
?f(?(x))??【点评】:同上。 4)反函数求导法则
'f'(u)?'(x)或dydydu? dxdudx设函数y?f(x)在点x的某领域内连续,在点x0处可导且f'(x)?0,并令其反函数为x?g(y),且x0所对应的y的值为y0,则有:
11dx1 ?或?''dyf(x0)f(g(y0))dydx【点评】:同上。 g'(y0)?5)常见函数的导数
?x???x?'??1,
'?sinx?'?cosx,?cosx???sinx,
?lnx?x''?11',?logax??, xxlnax?e??e,?ax??exlna
'【点评】:这些求导公式大家都很熟悉,但很少有人想过它们的由来。实际上,
掌握这几个公式的证明过程,不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点,对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明:
f(x??x)?f(x)?',代入该公式得 ?x???x??1:导数的定义是f'(x)??limx?0?x?x??x?(1?)?1(1?)?1??(x??x)?x?'???1xx?x?xlim??x??1。最后一?x???limx?0?x?0?x?x?xx(1?x)a?1?a。注意,这里的推导过程仅适用于x?0的情形。步用到了极限limx?0xx?0的情形需要另行推导,这种情况很简单,留给大家。
sin(x??x)?sinx''lim,由和差化积公式得?sinx??cosx:利用导数定义?sinx???x?0?x?x?x2cos(x?)sinsin(x??x)?sinx22?cosx。?cosx?'??sinx的证明类lim?lim?x?0?x?0?x?x似。
?xln(1?)1ln(x??x)?lnx'x?1。lim?lim?lnx??:利用导数定义?lnx?'??x?0?x?0x?x?xx1lnx'的证明类似(利用换底公式logax?)。 ?logax??xlnalna
?e??ex'x:利用导数定义?ex'??xe(x??x)?ex?1xxex'?lim?lime?e。a?exlna的???x?0?x?0?x?x证明类似(利用对数恒等式ax?exlna)。
6)定积分比较定理
如果在区间[a,b]上恒有f(x)?0,则有?f(x)dx?0
ab推论:ⅰ如果在区间[a,b]上恒有f(x)?g(x),则有?f(x)dx??g(x)dx;
aabbⅱ设M和m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,则有:
m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
ab【点评】:定积分比较定理在解题时应用比较广,定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程,对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7)定积分中值定理
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一点?使得下式成立:
?baf(x)dx?f(?)(b?a)
【点评】:微积分的两大中值定理之一,定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论,在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目,重要性不严而喻。具体证明过程见教材。
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