2012聚焦新中考数学（含11真题带解析）第9章自我测试

第九章《探索型与开放型问题》自我测试

[时间：90分钟 分值：100分]

一、选择题(每小题3分，满分30分)

1．比3大的实数是( )

A．－5 B．0 C．3 D. 2 答案 C

解析 9>3，即3>3，选C.

2．估计136的立方根的大小在( ) A．8与9之间 B．7与8之间 C．6与7之间 D．5与6之间 答案 D

3333

解析 125<136<216，即125<136<216，5<136<6，选D.

3．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( )

A．1 B．1或2 C．2 D．2或3 答案 C

解析 因为x2＝3x－2，x1＝2，x2＝1.当x＝2时，x＋2＝4,3x－2＝4，所以x＝2不合题意，由x＝1得★＝x＋1＝1＋1＝2.

4．如图是5×5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出( )

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

答案 B

解析 如图，这样的格点三角形有4个．

5．一张长方形的餐桌四周可坐6人(如图①)，现有35人需围成一圈，开个茶话会，如果按图②方式将桌子拼在一起，那么至少需要餐桌( )

A．14张 B．15张 C．16张 D．32张 答案 C

x?解析 设需要餐桌x张，??2?×4＋4≥35,2x≥31，x≥15.5，x＝16.

a b?a b???6．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖直线??，定义??＝?c d??c d?

?x＋1 x－1?

ad－bc，上述记号就叫做二阶行列式，若??＝6，则x为( )

?1－x x＋1?

A．2 B.2 C．－2 D．±2[来源:学科网ZXXK] 答案 D

解析 依定义，有(x＋1)·(x＋1)－(x－1)·(1－x)＝6，x2＋2x＋1＋x2－2x＋1＝6,2x2＝4，x2＝2，x＝±2.

k

7．(2011·湖州)如图，已知A、B是反比例函数y＝(k>0，x>0)图象上的两点，BC∥x轴，

x

交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为( )

答案 A

解析 当点P在曲线AB上运动时，S＝S矩形OMPN＝PM·PN＝k是一个定值，排除选项B、D.当点P在线段B上运动时，S＝S矩形OMPC＝OC·PC，其中OC是定值，PC随t的增大而减小，排除C，选A.

8．已知点A(－2,4)，B(2,4)，C(－1,2)，D(1,2)，E(－4,1)，F(4,1)是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，则坐标系中可找出对称三角形有( )

A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 答案 C

解析 画图，可知△ACE≌△BDF，△ADE≌△BCF，△ACF≌△BDE，△ADF≌△BCE.

9．(2011·安徽)如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P作垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )

答案 C

解析 对角线AC、BD相交于点O，当点P在AO上时， ∵四边形ABCD是菱形，

111

∴AC⊥BD，AO＝AC＝1，S△ABD＝×1×1＝.

222

又∵MN⊥AC，∴MN∥BD，有△AMN∽△ABD， S△AMN?AP?2yx?2∴＝?AO?，即＝?，

1?1?S△ABD

2

1

∴y＝x2(其中0≤x<1)．

2

当点P在OC上时，CP＝2－x， 有△CMN∽△CBD， MNCPMN2－x＝，＝， BDCO11∴MN＝2－x.

111

y＝S△AMN＝MN·AP＝(2－x)·x＝－x2＋x(其中1

22212

x?0≤x<1?，2

综上：y＝

12

－x＋x?1≤x≤2?，2

???

故选C.[来源:学科网ZXXK]

10．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板(阴影部分)，他们的具体裁法如下：

甲同学：如图①所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图②所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图③所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰直角三角形的直角边上，且与斜边相切，面积记为S3；丁同学：如图④所示裁下一个内切圆，面积记为S4.则下列判断正确的是( )

①S1＝S2；②S3＝S4；③在S1、S2、S3、S4中S2最小．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案 B

8

解析 设等腰直角三角形的直角边长为2，则S1＝1，S2＝，S3＝(6－4 2)π，S4＝(6

9

－4 2)π，所以S3＝S4，S2

二、填空题(每小题3分，满分30分)

[来源:学科网]

11．(2011·南京)如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD，则∠1＝__________.

答案 36°

?5－2?×180°3×180°解析 正五边形ABCDE的内角∠BAE＝＝＝108°，易证∠1＝∠2，

55

180°－108°

所以∠1＝＝36°.

2

12．(2011·鸡西)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE 的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件：________，使得AC＝DF.

答案 AB＝DE或∠A＝∠D等，答案不唯一．

13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，??，第2011次输出的结果为__________．

答案 6

解析 输出的结果分别为24,12,6,3,6,3,6,3，??，第2011次为6. 14．(2011·烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB

2

在x轴上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，则菱形的面积为__________．

x

答案 4

解析 连接AC交OB于D. ∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，△AOD≌△ABD≌△COD≌△CBD.

1

而S△AOD＝×2＝1，

2

∴S菱形OABC＝4S△AOD＝4×1＝4.

15．(2010·厦门)如图，以第①个等腰直角三角形斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边作为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为16 3厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为________厘米．

答案 3

解析 设第一个等腰直角三角形的斜边为x厘米，则(2)8·x＝16 3，16x＝16 3，x＝3. 16．(2011·日照)正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM＝________时，四边形ABCN的面积最大．

答案 2

解析 设BM＝x，则CM＝4－x，

ABMC44－x

易证△ABM∽△MCN，有＝，即＝.

BMCNxCN

x?4－x?4x－x2

所以CN＝＝，

44

1

四边形ABCN的面积S＝(AB＋CN)·BC＝

2

2

1?4x－x?1

×4＝－x2＋2x＋8，其中0

∴当x＝＝2时，S有最大值．

1??2×?－2?

17．(2010·东阳)阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n，可以使：(a＋c)⊕b＝n＋c，a⊕(b＋c)＝n－2c，如果1⊕1＝2，那么2010⊕2010＝________.

答案 －2007

解析 根据程序，2010⊕1＝(1＋2009)⊕1＝1⊕1＋2009＝2011，所以2010⊕2010＝2010⊕(1＋2009)＝2010⊕1－2×2009＝2011－2×2009＝－2007.

18．(2011·南京)如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度

为30m的建筑物CD进行测量，在点C处测得塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上)．电视塔的高度是____________米．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

答案 120

DC

解析 在Rt△ECD中，tan∠DEC＝.

EC

DC30

∴EC＝≈＝40(m)．

tan∠DEC0.75

在Rt△BAC中，∠BCA＝45°，∴BA＝CA.

BAh

在Rt△BAE中，tan∠BEA＝，∴＝0.75，

EAh＋40

∴h＝120(m).

19．下面是三个同学对问题“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点坐标是(3,0)，你是否也知道二次函数y＝4ax2＋2bx＋c的图象与x轴的一个交点坐标？”的讨论．甲

2

说：“这个题目就是求方程4ax＋2bx＋c＝0的一个解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为二次函数y＝4ax2＋2bx＋c的图象与x轴的一个交点坐标是__________.

3?

答案 ??2，0?

3

解析 y＝4ax2＋2bx＋c＝a·(2x)2＋b·(2x)＋c，可知2x＝3，所以x＝.

2

20．图①是面积都为S的正n边形(n≥3)，图②是由图①中的每个正多边形分别对应“扩展”而来．如：图②中的a是由图①中的正三角形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正三角形，并把居中线段去掉而得到；图②中的b是图①中的正四边形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正四边形，并把居中线段去掉而得到；?；以此类推，当图①中的正多边形是正十边形时，图②中所有“扩展”后的图形面积和为248，则S的值是________．

答案 18

解析 设图①中第一个图形的小三角形面积为a，则S＝9a，图②中图形的面积依次为12a,13a，?，19a(正十边形)；∴12a＋13a＋14a＋?＋19a＝248，∴a＝2，∴S＝9a＝18.

三、解答题(21～23题各6分，24题10分，25题12分，满分40分) 21．(2011·芜湖)如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度(3≈1.732，结果保留一位小数)．

解 根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°， AC＝20m.

在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD.

BD

在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝，得BC＝3BD.

BC

又∵BC－AB＝AC，∴3BD－BD＝20，

20

∴BD＝≈27.3(m)

3－1

答：古塔BD的高度约是27.3m. 22．请阅读下列材料：

问题：如图①，一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，高AB为5dm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线．

路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图②所示．

设路线1的长度为l1 ，则

路线2：高线AB＋底面直径BC.如上图①所示．

设路线2的长度为l2 ，则l22＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225， ∵l12－l22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0， ∴l12>l22，∴l1>l2， ∴应选择路线2较短．

(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm.”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：

路线1：l12＝AC2＝____________； 路线2：l22＝(AB＋AC)2＝________.

∵ l12________l22，∴ l1________l2.(填“>”或“<”) ∴应选择路线________(填1或2)较短．

(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短？

解 (1)l12＝AC2＝AB2＋AC2＝52＋π2，

l22＝(AB＋AC)2＝(5＋2)2＝49，[来源:学科网ZXXK] ∵l12

(2)l12＝AC2＝AB2＋AC2＝h2＋(πr)2. ∵l12－l22＝[h2＋(πr)2]－(h＋2r)2 ＝r(π2r－4r－4h)＝r[(π2－4)r－4h]，

4h

当r＝2时，l12＝l22；

π－44h

当r>2时，l12>l22；

π－44h

当r<2时，l12

π－423．(2011·扬州)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB

l12＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.

AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA以每秒3 cm的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP.设运动时间为t秒(t>0)．[来源:学_科_网Z_X_X_K]

(1)△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由； (2)若∠ABC＝60°，AB＝4 3厘米． ①求动点Q的运动速度；

②设△APQ的面积为Scm2，求S与t的函数关系式；

(3)探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．

解 (1)△PBM∽△QNM. 理由如下：

如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC， ∴∠PMB＋∠PMN＝90°， ∠QMN＋∠PMN＝90°， ∴∠PMB＝QMN. ∵∠PBM＋∠C＝90°，∠QNM＋∠C＝90°， ∴∠PBM＝∠QNM. ∴△PBM∽△QNM. (2)∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴BC＝2AB＝8 3cm. 又∵MN垂直平分BC，∴BM＝CM＝4 3cm.

3∵∠C＝30°，∴MN＝CM＝4 cm.

3

①设Q点的运动速度为v cm/s.

如图1，当0

vtNQMN4

∴＝，即＝，∴v＝1. BPMB3t4 3如图2，易知当t≥4时，v＝1. 综上所述，Q点运动速度为1 cm/s. ②∵AN＝AC－NC＝12－8＝4 cm，

∴如图1，当0

11∴S＝AP·AQ＝(4 3－3t)(4＋t)

223

＝－t2＋8 3.

2

如图2，当t≥4时，AP＝3t－4 3，AQ＝4＋t，

11∴S＝AP·AQ＝( 3t－4 3)(4＋t)

223

＝t2－8 3. 2

?－23t＋8 3?0

综上所述，S＝?

3

?2t－8 3?t≥4?.

22

(3)PQ＝BP＋CQ.理由如下：

如图1，延长QM至D，MD＝MQ，连接PD、BD.

∵BC、DQ互相平分，∴四边形BDCQ是平行四边形， ∴BD綊CQ. ∵∠BAC＝90°，∴∠PBD＝90°，

22222

∴PD＝BP＋BD＝BP＋CQ.

∵PM垂直平分DQ，∴PQ＝PD.∴PQ2＝BP2＋CQ2.

1

24．(2011·安顺)抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－

2

1,0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM的值最小时，求m的值．

222

1

解 (1)∵点A(－1,0)在抛物线y＝x2＋bx－2上，[来源:Z*xx*k.Com]

2

13∴×(－1)2＋b×(－1)－2＝0，解得b＝－. 22

13

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

22

131

配方，得y＝x2－x－2＝(x2－3x－4)

2223125x－?2－， ＝?2?2?8

325，－?. ∴顶点D的坐标为?8??2

(2)当x＝0，时y＝－2， ∴C(0，－2)，OC＝2.

13

当y＝0时，x2－x－2＝0，

22

∴x1＝－1，x2＝4， ∴A(－1,0)，B(4,0)，

∴OA＝1，OB＝4，AB＝5.

∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5， BC2＝OC2＋OB2＝20，

∴AC2＋BC2＝AB2.[来源:Zxxk.Com] ∴△ABC是直角三角形．

(3)作出点C关于x轴的对称点C′，则C′(0,2)，OC′＝2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性质及两点之间线段最短可知，此时MC＋MD的值最小．

解法一：设抛物的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝DEM， ∴△C′OM∽△DEM. OMOC′∴＝. EMEDm224∴＝，∴m＝. 32541－m28

解法二：设直线C′D的解析式为y＝kx＋n，

n＝2，??41则?3解得n＝2，k＝－. 2512??2k＋n＝－8，

41

∴y＝－x＋2.

12

4124

∴当y＝0时，－x＋2＝0，x＝，

1241

24∴m＝.

4125．(2011·宁波)如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2,2)，点B的坐标为(6,6)，抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E.

(1)求点E的坐标；

(2)求抛物线的函数解析式；

(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合)，直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧)，连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；

(4)连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标．

解 (1)设直线AB的解析式为y＝mx＋n.

将点A(－2,2)，B(6,6)代入得 ??－2m＋n＝2，1?解得m＝，n＝3.

2?6m＋n＝6，?

1

∴y＝x＋3.

2

当x＝0时，y＝3. ∴E(0,3)．

(2)设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx，

?4a－2b＝2，?

将A(－2,2)，B(6,6)代入得?

?36a＋6b＝6，?

11

解得a＝，b＝－.

42

11

∴抛物线的解析式为y＝x2－x.

42

(3)

[来源:Zxxk.Com]

过点N作x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥x轴于H.

11

设N(x，x2－x)，则Q(x，x)．

42

则S△BON＝S△QON＋S△BQN 11＝·QN·OG＋·QN·GH 221＝·QN·(OG＋GH) 21＝·QN·OH 21?1x2－1x??×6 ＝?x－2??2??439327

＝－x2＋x＝－(x－3)2＋(0

4244

27

∴当x＝3时，△BON 面积最大，最大值为，

4

3

此时点N的坐标为(3，)．

4

(4)解：过点A作AS⊥GQ于S.

3

∵A(－2,2)，B(6,6)，N(3，)，

4

35

∴∠AOE＝∠OAS＝∠BOH＝45°，OG＝3，NG＝，NS＝，AS＝5.

44

在Rt△SAN和Rt△NOG中，

1

∴tan∠SAN＝tan∠NOG＝，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

4

∴∠SAN＝∠ NOG，

∴∠OAS－∠SAN＝∠BOG－∠NOG， ∴∠OAN＝∠BON，

∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN.

3

∵A(－2,2)，N(3，)，

4

517

∴在Rt△ASN中， AN＝AS2＋SN2＝.

4

OBOP

当△BOP∽△OAN时，＝，

OAAN

6 2OP1517∴＝，得OP＝. 42 2517

4

过点P作PT⊥x轴于点T，

PTNG1

∴△OPT∽△ONG，∴＝＝.

OTOG4

15172

设P(4t，t)，在Rt△POT中，有(4t)2＋t2＝()，

4

1515

∴t1＝，t2＝－(舍去)，

44

15

∴点P的坐标为(15，)．

4

15

将△OBP沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′(，15)．

4

1515

由以上推理可知，当点P的坐标为(15，)或(，15)时，△BOP与△OAN相似. [来源:Z

44

§xx§k.Com]

(学生无此说明不扣分)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d9f3.html