10.2 最短路径与选址问题

10.2 最短路径与选址问题

第2节 最短路径与选址问题

最短路径问题

选址问题

10.2 最短路径与选址问题

对于许多地理问题，当它们被抽 象为图论意义下的网络图时，问题的核 心就变成了网络图上的优化计算问题。 其中，最为常见的是关于路径和顶点的 优选计算问题。 在路径的优选计算问题中，最常见 的是最短路径问题；而在顶点的优选计 算问题中，最为常见的是中心点和中位 点选址问题。

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一、最短路径问题(一)最短路径的含义

“纯距离”意义上的最短路径 例如，需要运送一批物资从一个城市到另 一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？ “经济距离”意义上的最短路径 例如，某公司在10大港口C1,C2,…, C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格， 是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直 接通航路线，则通过第三个港口转运。那么， 各个港口之间最廉价的货运线路是什么？

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“时间”意义上的最短路径 例如，某家经营公司有一批货物急需从一个 城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、 河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线 路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路 线最节省时间？ 以上3类问题，都可以抽象为同一类问题， 即赋权图上的最短路径问题。 不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中 边的权值。 权——这种权值既可以代表“纯距离 ”, 又可以代表“经济距离 ”,也可以代表“时间 距离 ”。

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(二)最短路径的算法 标号法

1959年E.W.Dijkstar 提出的标号法是最短路径 问题最好的求解方法 。 标号法优点 不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度， 而且可以求出起点到其他任何一个顶点的最短路径 及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最 短路径问题。.

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标号法的基本思想

设G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边， 都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶点，确定为起 点和终点，不妨设v1为起点，vk为终点。 首先从v1 开始，给每一个顶点标一个数，称为标 号。这些标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类 型。其中，每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的 最短路径长度的上界，这种标号为临时标号；P标号表 示从v1到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。 在最短路径计算过程中，对于已经得到P标号的顶 点，不再改变其标号；对于凡是没有标上P标号的顶点， 先给它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号 逐步修改，将其变为P标号。 那么，最多经过k-1步，就可以求得到从起点v1到 每一个顶点的最短路径及其长度。

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标号法具体计算步骤

开始，先给v1标上P标号P(v1)

= 0,其余各 点标上T标号T(vj)=+∞(j≠1)。 ① 如果刚刚得到P标号的点是vi,那么，对于 所有这样的点 v v , v E , 而且 v 的标号是 T 标号 j i j j

将其T标号修改为：min[T(vj),P(vi)+wij]。vj ② 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 的T标号修改为P标号，然后再转入①。 其中，v j 满足0

0

T ( v j 0 ) min T ( v j )

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例1:在图10.2.1所示的赋权有向图中，每一个顶点vi (i=1,2,…,n)代表一个城镇；每一条边代表相 应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表 示。试求城镇v1到v7之间的最短路径。

图10.2.1 赋权有向交通网络图

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解：首先给v1标上P标号P(v1)=0,表示从v1到v1的最 短路径为零。其他点(v2,v3,…,v7)标上T标号T(vj) =+∞(j=2,3,…,7)。 第1步：① v1是刚得到P标号的点。因为(v1,v2), (v1,v3),(v1,v4)∈E,而且v2,v3,v4是T标号，所 以修改这3个点的T标号为T(v2)=min[T(v2),P(v1)+w12]=min[ +∞,0+2]=2

T(v3)=min[T(v3),P(v1)+w13 ]= min[ +∞,0+5]=5T(v4)=min[T(v4),P(v1)+w14 ]= min[ +∞,0+3]=3

② 在所有T标号中，T(V2)=2最小，于是令P(V2)=2。

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第2步：① v2是刚得到P标号的点。因为(v2,v3),(v2,v6)∈E,而且v3, v6是T标号，故修改v3和v6的T标 号为 T(v3)=min[T(v3),P(v2)+w23]=min[5,2+2]=4 T(v6)=min[T(v6),P(v2)+w26]=min[+∞,2+7]=9

② 在所有的T标号中，T(v4)=3最小，于是令P(v4)=3。

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第3步：① v4是刚得到P标号的点。因为(v4,v5)∈E, 而且v5是T标号，故修改v5的T标号为 T(v5)=min[T(v5),P(v4)+w45]=min[+∞,3+5]=8 ② 在所有的T标号中，T(v3)=4最小，故令P(v3)=4。

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第4步：① v3是刚得到P标号的点。因为(v3,v5), (v3,v6)∈E,而且v5 和v6 为T标号，故修改v5 和v6 的T标 号为 T(v5)=min[T(v5),P(v3)+w35]=min[8,4+3]=7

T(v6)=min[T(v6),P(v3)+w36]=min[9,4+5]=9② 在所有的T标号中，T(v5)=7最小，故令

P(v5)=7。

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第5步：① v5是刚得到P标号的点。因为(v5,v6), (v5 ,v7)∈E,而且v6和v7都是T标号，故修改它们的T 标号为 T(v6)=min[T(v6),P(v5)+w56]=min[9,7+1]= 8

T(v7)=min[T(v7),P(v5)+w57]=min[+∞,7+7]=14② 在所有T标号中，T(v6)=8最小，于是令： P(v6)=8。

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第6步：① v6是刚得到P标号的点。因为(v6,v7)∈E,而且v7为T标号，故修改它的T标号为

T(v7)=min[T(v7),P(v6)+w67]=min[14,8+5]=13

② 目前只有v7是T标号，故令：P(v7)=13。

从城镇v1到v7之间的最短路径为(v1,v2,v3,v5,v6, v7),最短路径长度为13。

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二、选址问题选址问题，是现代地理学研究的主要问题之一。 选址问题涉及人类生产、生活、文化、娱乐等各个 方面。 选址问题的数学模型取决于两个方面的条件 ： 可供

选址的范围、条件；怎样判定选址的质量。 本节的讨论仅限于选址的范围是一个地理网络， 而且选址位置位于网络图的某一个或几个顶点上。 对这样的选址问题，根据其选址的质量判据， 可以将其归纳为求网络图的中心点与中位点两类问 题。

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(一)中心点选址问题 中心点选址问题的质量判据

使最佳选址位置所在的顶点的最大服务 距离为最小。中心点选址问题适宜于医院、消防站点 等一类服务设施的布局问题。 例：某县要在其所辖的6个乡镇之一修建一 个消防站，为6个乡镇服务，要求消防站至 最远乡镇的距离达到最小。

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中心点选址问题的数学描述

设G=(V,E)是一个无向简单连通赋权图，连接两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，对于每 一个顶点vi,它与各个顶点之间的最短路径长度为di1, di2,…,din。这些距离中的最大数称为顶点vi的最大 服务距离，记为e(vi)。 那么，中心点选址问题，就是求网络图G的中心 点 v i 0 ,使得

e ( v i 0 ) min e ( v i )i

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例2:假设某县下属的6个乡镇及其之间公路联系如 图所示。每一顶点代表一个乡镇；每一条边代表连 接两个乡镇之间的公路，每一条边旁的数字代表该 条公路的长度。现在要设立一个消防站，为全县的 6个乡镇服务。试问该消防站应该设在哪一个乡镇 (顶点)?

图10.2.2

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解：第1步：用标号法求出每一个顶点vi 至其 他各个顶点vj的最短路径长度dij(i,j = 1,2 ,…,6),并将它们写成如下的距离矩阵

d 11 d 21 d 31 D d 41 d 51 d 61

d 12 d 22 d 32 d 42 d 52 d 62

d 13 d 23 d 33 d 43 d 53 d 63

d 14 d 24 d 34 d 44 d 54 d 64

d 15 d 25 d 35 d 45 d 55 d 65

d 16 0 d 26 3 d 36 6 d 46 3 d 56 6 d 66 4

3 0 3 4 5 7

6 3 0 3 2 4

3 4 3 0 5 7

6 5 2 5 0 2

4 7 4 7 2 0

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