复旦大学外籍留学生高考：数学样卷

2015年复旦大学本科外国留学生入学考试大纲

数 学

一、考试要求

考试对象为报考复旦大学的外国留学生，为复旦大学各院系录取新生提供考生知识能力方面的信息。数学考试旨在考查中学数学的基础知识、基本技能和思维能力、运算能力，以及运用有关数学知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试形式

1、数学各部分内容在试卷中的占分比例

代数：约55%

三角：约15%

平面解析几何：约25%

立体几何：约5%

2、题型比例

填空题和选择题：占总分60%左右

解答题：占总分40%左右

3、考试时间及总分

时间：150分钟

总分：150分

三、考试内容

（一）代 数

1、集合与函数

（1） 理解集合及其表示，掌握子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，

了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确表示一些简单的集合。

（2） 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，能求一些函数的解析式和定义域。

（3） 了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数。

（4） 掌握函数的奇偶性和单调性的概念以及它们图像特征，能判断一些函数的单调性、

奇偶性。并且会利用单调性求一些函数的值域。

（5） 理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图像和性质，会求它们的解析式。

理解二次函数的概念，掌握它的图像和性质，会求它的解析式及最大值和最小值，

能灵活运用二次函数的性质解决有关问题。

（6） 理解指数与对数的概念，掌握有关的性质和运算法则。

（7） 理解幂函数、指数函数、对数函数的概念，掌握它们的图像和性质，解决与之相关

的问题。

2、不等式

（1） 掌握不等式的性质及其应用，会用基本不等式求一些函数的最值。

（2） 掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法；会解简单的分式不等式；了

解区间的概念。了解绝对值不等式的性质，会解简单的绝对值不等式。

（3） 会解一些含参数的不等式。

3、数列与极限

（1） 了解数列有关概念。

（2） 理解等差数列与等比数列的概念，掌握等差数列与等比数列的通项及前n项和的公

式，并运用公式解决有关问题。

（3） 了解数列极限的意义和几个常见数列的极限，会利用数列极限的四则运算法则，计

算一些数列的极限；掌握公比的绝对值小于1的无穷等比数列的所有项和的公式。

4、复数初步

（1） 了解数的概念的扩展，理解复数的有关概念。

（2） 掌握复数的四则运算，应用加法、减法运算的几何意义解决有关问题。

5、平面向量

（1） 理解平面向量的概念，理解向量的加法、减法、实数与向量的乘法的定义和几何意

义；

（2） 掌握向量的坐标表示法，向量与向量的数量积的定义，掌握他们的运算法则，并且

能应用它们解决一些简单问题。

6、排列组合、二项式定理

（1） 了解分类计数原理和分步计数原理，了解排列组合的概念，会用排列数、组合数的

计算公式，会解排列、组合的简单应用题。

（2） 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算一些简单问题。

7、概率

（1） 了解随机事件及其概率；

（2） 了解等可能事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能

事件的概率；

（3） 了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式，计算一些事件的概率；

（4） 了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；

（5） 会计算在n次独立重复试验中，某件事恰好发生k次的概率。

（二）三 角

8、三角比

（1） 了解正角、负角、零角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念，理解弧度的意

义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

（2） 掌握任意角三角比的定义，三角比的符号，同角三角比的关系式与诱导公式。

（3） 掌握两角和与差的余弦、正弦、正切，二倍角的正弦、余弦和正切公式，会应用它

们进行计算、化简。

（4） 掌握正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，并应用这些公式解斜三角形。

9、三角函数的图像和性质

（1） 掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，会用它们解决有关问题；了解正切函数的

图像和性质。

sin (x 与)y sinx的图像之间的关系，会求函数 （2） 了解函数y A

y Asin( x )的周期、最大值和最小值。

（三）平面解析几何

10、直线

（1） 掌握直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线的斜率公式，两条直线的平行和垂

直的判断办法。

（2） 掌握直线方程的几种形式，会求两条直线的交点和夹角，掌握点到直线距离公式，

会用他们解决有关问题。

11、圆锥曲线

（1） 曲线和方程：掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给

条件，选择适当的坐标系求曲线方程，并画出方程所表示的曲线。

（2） 圆：掌握圆的标准方程和一般方程，熟练掌握直线与圆的位置关系。

（3） 椭圆：掌握椭圆的标准方程和几何性质。能用定义解决一些问题。

（4） 双曲线：掌握双曲线的标准方程和几何性质。能用定义解决一些问题。

（5） 抛物线：掌握抛物线的标准方程和几何性质，能用定义解决一些问题。

（四）立体几何

12、理解平面的基本性质，了解空间图形在平面内的表示方法，会用斜二测画法画水平放置

的平面图形的直观图。

13、了解空间两条直线的平行关系，直线平行关系的传递性；了解直线和平面，平面和平面

平行的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

14、理解异面直线的概念，掌握异面直线的夹角，垂直的概念。

15、掌握斜线在平面上的射影，直线和平面所成角的概念。三垂线定理及其逆定理。

16、了解圆柱、圆锥、球的概念和性质，掌握直柱体、锥体的侧面积和表面积以及体积，球

的表面积和体积公式。

数 学 样 卷（满分150分）

考生姓名:_______________ 得分:________

一、选择题（每小题4分，共48分）

1、已知A xx 1 0,B 2, 1,0,1 ，则(CRA) B （）

A、 2, 1 B、 2 C、 1,0,1 D、 0,1

(2 i)2

2、复数z ，则z （） (i为虚数单位）i

A、25 B

C、5 D

3、若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）

A、2239 B、 C、 D、 35510

24、抛物线y

8x的焦点到直线x 0的距离是（）

A

、 B、2 C

D、1

5、不等式x2 2 2的解集是（）

A、( 1,1) B、( 2,2) C、( 1,0) (0,1) D、( 2,0) (0,2)

x2y2y2x2

6、已知0 ，则双曲线C1: 1与C2: 2 1的（） 2224sin cos cos sin

A、实轴长相等 B、虚轴长相等

C、离心率相等 D、焦距相等

7

、已知函数f(x) 3x) 1，则f(lg5) f(lg) （）

A、 1 B、0 C、1 D、2

15

8、设a log36,b log510,c log714，则（）

A、c b a B、b c a

C、a c b D、a b c

9、已知点A( 1,1),B(1,2),C( 2, 1),D(3,4) ,则向量AB在CD方向上的投影为（）

A

、2 B

、 C

、 D

、 222

10、若(1 2x)6 a0 a1x a2x2 a6x6，则a0 a1 a2 a6的值为（）

A、1 B、64 C、243 D、729

1,x 011、已知函数f(x) ，则不等式xf(x 1) 1的解集为（） 1,x 0

A、[ 1, ) B、( ,1]C、[ 1,1]D、[1,2]

x2y2

12、已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两ab

4 ,则C的离心率为（） 5

3564 A、 B、 C、 D、 5775点，连接AF,BF .若AB 10,BF 8,cos ABF

二、填空题（每小题5分，40分）

13、从n个正整数1,2, ,n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为

1，则n ______ 14

3114、方程x 3x 1的实数解为___________________ 3 13

15、在 ABC中，内角A,B,C的边长分别为a,b,c，若asinBcosC csincBos

且a b，则 B __________________

16、已知直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB 3,AC 4，A1 ，2AB AC,AA1 12，则球O的半径为_____________________________

17、已知sin

273 , ( , )，则tan( ) _____________________ 2524218、若圆x y R(R 0)和曲线

___________________

2xy 1恰有六个公共点，则R的值是34

19、已知函数f(x) x 4x,x [m,5] 的值域是[ 5,4] ，则实数m 的取值范围是_______________________ 2

a2

20、设a为实常数，y f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) 9x 7，x若f(x) a 1对一切x 0成立，则a的取值范围为______________________

三、 解答题（本大题共有5个小题，共62分）

21、（12分）已知命题p:x A xa 1 x a 1,x R， 命题q:x B xx2 4x 3 0,x R .

（1） 若A B ,A B R ,求实数a的值；

（2） 若¬q（q的否命题）是p的必要条件，求实数a的值。

22、（12分）在公差为d的等差数列 an 中，已知a1 10，且a1,2a2 2,5a3成等比数列。

（1）求d,an；

（2）若d 0，求a1 a2 a3 an

23、（12

分）设函数f(x) 2 x sin xcos x( 0)，且y f(x)图像的2

一个对称中心到最近的对称轴的距离为

（1）求 的值；

（2）求f(x)在区间[ ,

。 43 ]上的最大值和最小值。 2

24、（13分）已知函数f(x) x (x 1)x a

（1）若a 1，解方程f(x) 1;

（2）若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）是否存在实数a，使得g(x) f(x) xx在R上奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

2

25、（13分）抛物线E:y 4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A ,点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M,N

（1）若点C的纵坐标为2，求MN ;

（2）若AF

22 AM AN ,求圆C的半径。

参考答案

一、 选择题

1、A 2、C 3、D 4、D 5、D 6、D

7、D 8、D 9、A 10、D 11、C 12、B

二、 填空题

13、8 14、log34 15、

17、

三、 13 16、 26178 18、3 19、[ 1,2] 20、( , ] 731解答题

21、解：（1）a 2

（2）由已知 a 1 3 a 2 a 2 a 1 1 a 2

22、解：（1）d 1或d 4

an n 11或an 4n 6

1221 n n(n 11) 22（2）Sn

1n2 21n 110(n 12) 22

23、解：（1

）f(x) 1

sin2 x 2

12 x sin2 x 2

T 2 cos(2 x )， , T , , 1 6442

3 （2）f(x) cos(2x )，x [ ,]，2x [2 ,3 ] 62666

f(x)的最小值为 1，f(x

)24、解：（1）xx 1或x 1

2x2 (a 1)x a(x a)（2）f(x) ，根据函数图像，知f(x)在R上单调递增，所(a 1)x a(x a)

a 1 a1 以 4 a 3 a 1 0

（3）由于g(x) x (x 1)x a xx 2

g(1) 0,g( 1) 0，得a 0或 2，

所以a 0时，g(x) x x是偶函数；当a 2时，g(x)为非奇非偶函数。

25、解：（1）点C的坐标为(1,2)

，圆半径r OC , 2

1MN r2 (1 1)2 5 4 1， MN 2 22

b2

2b4b2b4

222（2）设C(,b)，r b，圆方程为(x ) (y b) b2 416416

当x

1时，得yM byN b，因为 b 4，化简得b2 6， AF AM

AN,(b2

r2

33，r 4

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