微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献

微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

1.微积分产生

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

在十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

到十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的．时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步．

2.牛顿的“流数术”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利赂,开普勒,笛卡儿和沃利斯等人的著作.而笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.

1665年8月,剑桥大学因瘟疫流行而关闭,牛顿离校返乡,随后在家乡躲避瘟疫的两年,竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月.制定微积分,发现万有引力和颜色理论,……,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年描绘的.

2.1流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的\圆法\发生兴趣并试图寻找更好的方法.就在此时,牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量.

1665年夏至1667年春,牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展.1665年11月发明\正流数术\微分法),次年5月又建立了\反流数术\积分法). 1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献.

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：

（a）设有两个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系。

（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比

p的关系方程式，求另一线段y。 q2.2流数术的发展

《流数简论》标志着微积分的诞生,但它在许多方面是不成熟的.牛顿于1667年春天回到剑桥,对自己的微积分发现未作宣扬.从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里,牛顿始终不渝努力改进,完善自己的微积分学说,先后写成了三篇微积分论文,它们分别是:

(1)《运用无限多项方程的分析》(De Analysi per Aequationes Numero Terminorum lnfinitas，简称《分析学》，完成于1669年)；

(2)《流数法与无穷级数》(Methodus Fluxionum et Serierum lnfinitarum，简称《流数法》，完成于1671年)；

(3)《曲线求积术》(Tractatus de Quadratura Curvarum，简称《求积术》，完成于1691年)。

这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释.

2.3《原理》与微积分

牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中.因此《原理》也成为数学史上的划时代著作.

《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬,这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议.实际上,在牛顿的时代,建立微积分严格基础的时机尚不成熟,在这样的条件下,牛顿在大胆创造新算法的同时,坚持对微积分基础给出不同解释,说明了他对微积分基础所存在的困难的深邃洞察和谨慎态度.

《原理》被爱因斯坦盛赞为\无比辉煌的演绎成就\全书从三条基本的力学定律出发,运用微积分工具,严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律,万有引力定律等在内的一系列结论,并且还将微积分应用于流体运动,声,光,潮汐,彗星乃至宇宙体系,充分显示了这一新数学工具的威力.

3.莱布尼茨的微积分

莱布尼茨(1646——1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭,早年在莱比锡大学学习法律,同时开始接触伽利略,开普勒,笛卡儿,帕斯卡以及巴罗等人的科学思.1667年获阿尔持多夫大学法学博士学位,次年开始为缅因茨选帝侯服务,不久被派往巴黎任大使.莱布尼茨在巴黎居留了四年[1672—1676),这四年对他整个科学生涯的意义,可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比,莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础.

3.1特征三角形

莱布尼茨在巴黎与荷兰效学家,物理学家惠更斯的结识、交往,激发了他对数学的兴趣.他通过卡瓦列里,帕斯卡,巴罗等人的著作,了解并开始研究求曲线的切线以及求面积,体积等微积分问题.

与牛顿流数论的运动学背景不同,莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考,尤其是特征三角形的研究.特征三角形,也称\微分三角形\在巴罗的著作中已经出现.帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形.莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形.

3.2分析微积分的建立与发表

早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论，例如他考察了平方数序列：

0,1,4,9,16,25,36，… 及其一阶差 1,3,5,7,9,11,… 与二阶差 2,2,2,2,2,…

当时他注意到如果原来的序列是从0开始，那么一阶差的和就是原序列的最后一项，并且这里序列的求和运算与求差运算存在着互逆的关系．

1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(简称《新方法》)，刊登在《教师学报》(Acta Eruditorum)上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx,dy．

《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式.

1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》．这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系．莱布尼茨分析道：“研究不定求积或其不可能性的方法，对我来说不过是我称之为反切线方法的更广泛的问题的特殊情形(并且事实上是比较容易的情形)，而这种反切线方法包括了整个超越几何的绝大部分。

4.牛顿与莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人．就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的．他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线(微分)运算．应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿与莱布尼茨的工作．

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