2016数理统计期末练习题1

数理统计期末练习题

数理统计期末练习题

1. 在总体N(7.6,4)中抽取容量为n的样本,如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95,则n至少为多少

2．设x1,?,xn是来自N(?,25)的样本,问n多大时才能使得P(|x??|?1)?0.95成立 3. 由正态总体N(100,4)抽取两个独立样本,样本均值分别为x,y,样本容量分别15,20,试求P(|x?y|?0.2). 5.设x1,?,x16是来自N(?,?2)的样本,经计算x?9,s2?5.32,试求P(|x??|?0.6). 6.设x1,?,xn是来自?(?,1)的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的??0,有?(|x|?c)??. (X?1)? 7. 设随机变量 X~F(n,n),证明??x1?x2?9．设x1,x2是来自N(0,?2)的样本,试求Y???x?x??服从分布. 2??12??(x1?x2)2?10.设总体为N(0,1),x1,x2为样本,试求常数k,使得???k?(x?x)2?(x?x)2??0.05. 212?1?11．设x1,?,xn是来自N(?1,?2)的样本,y1,?,ym是来自N(?2,?2)的样本,c,dc(x??1)?d(y??2)~t(n?m?2),其中s?c2?d2nm是任意两个不为0的常数,证明t?s??222(n?1)sx?(m?1)syn?m?222分别是两个样本方差. ,sx与sy_1n1n212．设x1,x2,?xn,xn?1是来自N(?,?)的样本,xn??xi,sn?(xi?xn)2,试求?ni?1n?1i?12常数c使得tc?cxn?1?xn服从t分布,并指出分布的自由度。 sn2213．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为s1,s2,试求p(S12?2).

2S21

数理统计期末练习题

14. 某厂生产的灯泡使用寿命X~N(2250,2502),现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于0.997,问至少应检查多少只灯泡？

15．设(x1?x17)是来自正态分布N(?,?)的一个样本,x与s2分别是样本均值与样本方差。求k,使得p(x???ks)?0.95, 21．设x1,?,xn是来自正态分布总体N_2_??,??21n的一个样本。s??xi?x?是样本?n?1i?12n2?sn???P?1.5?0.95的最小n值。 方差,试求满足?2????1. 设(X1, X2, …,Xn)为来自正态总体 N(?, ?2)的样本, ?2未知, 现要检验假设H0: ? = ?0, 则应选取的统计量是______; 当H0成立时, 该统计量服从______分布. 2. 在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小, 则只有增加______. 1. 设总体X～ N(?, ?2) , ?2已知, x1, x2, …, xn为取自X的样本观察值, 现在显著水平? = 0.05下接受了H0: ? = ?0. 若将? 改为0.01时, 下面结论中正确的是 (A) 必拒绝H0 (B) 必接受H0 (C) 犯第一类错误概率变大 (D) 犯第一类错误概率变小 2. 在假设检验中, H0表示原假设, H1为备选假设, 则称为犯第二类错误的是 (A) H1不真, 接受H1 (B) H0不真, 接受H1 (C) H0不真, 接受H0 (D) H0为真, 接受H1 3. 设(X1, X2, …,Xn)为来自正态总体 N(?, ?2)的样本, ?, ?2未知参数, 且 n1n2X??Xi, Q??(Xi?X)2 ni?1i?1则检验假设H0: ? = 0时, 应选取统计量为 (A) n(n?1)XXXX (B) n (C) n?1 (D) n2 QQQQ4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，Se为误差平方和，SA为效应平方和，则总有ST?Se?SA

1、设来自总体X的样本值为(?3,2,1,2,0)，则总体X的经验分布函数F5(x)在

x?0.8处的值为_____________。

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2、设来自总体B(1,?)的一个样本为X1,X2,?,Xn，X为样本均值。则Var(X)?___________。

23、设X1,?,Xm,Xm?1,...,X2m是来自总体N(0,?)的简单随机样本，则统

m计量T??Xi?1i?m?1i?2m服从的分布为__________。 Xi24、设X1,?,Xn为来自总体U(0,?)的样本，?为未知参数，则?的矩法估计量为____________________。 5、设X1,X2,?,Xn为来指数分布Exp(?)的简单随机样本，?为未知参数，则2??Xi服从自由度为_________的卡方分布。 i?1n6、设X1,X2,?,Xn为来自正态分布N(?,?2)的简单随机样本，?,?均未知，X,S2分别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设H0:???0VSH1:???02的检验统计量为t?n(X??0)，在显著性水平?下的拒绝域为S_______________________。 21、设X1,?,Xn是来自总体N(?,?)的简单随机样本， 统计量T?c?(Xi?1?Xi)2为?的无偏估计。则常数c为i?1n?121 2(n?1)3、设X1,X2,X3,X4是来自总体B(1,p)样本容量为4的样本，若对假设检验问题?4?H0:p?0.5，H1:p?0.75的拒绝域为W???xi?3?，该检验犯第一类错误的?i?1?概率为（ ）。

（A）1/2 （B）3/4 （C）5/16 （D）11/16

4、设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,总体X的方差?2未知，X,S2分别为样本均值和样本无偏方差，则下述结论正确的是（ ）。 （A）S是?的无偏估计量 （B）S是?的最大似然估计量 （C）S是?的相合估计量（D）S与X相互独立

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1、某种产品以往的废品率为5%，采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，这种产品的废品率是否有所降低，取显著水平??5%，则此，设题的原假设H0：______备择假设H1：______.犯第一类错误的概率为_______。 2、设总体x~N(?,?2)，方差?2未知，对假设H0：???0，H1：???0，进行假设检验，通常采取的统计量是________，服从_______分布，自由度是________。 3、设总体x~N(?,?2)，?和?2均未知。统计假设取为H0：???0H1：???0 若用t检验法进行假设检验，则在显著水平?之下，拒绝域是（B） A、|t|?t1??2(n?1) B、|t|?t1??2(n?1) C、|t|?t1??(n?1) D、|t|??t1??(n?1) 4、在假设检验中，原假设H0，备择选择H1，则称（ B ）为犯第二类错误 A、H0为真，接受H0 B、H0不真，接受H0 C、H0为真，拒绝H0 D、H0不真，拒绝H0 2、设X1,X2,..X.n,为取自总体X~N(?,?2)的样本，X为样本均值，2Sn1n??(Xi?X)2，则服从自由度为n?1的t分布的统计量为 ni?13、若总体X～N(?,?2)，其中?2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??减小，则?的置信区间. 4、在假设检验中，分别用?，?表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是（ ）. （A）?减小时?也减小； （B）?增大时?也增大； （C）?,?其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立. 6、设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,32)，而(X1,X2?,X9)和

(Y1,Y2?,Y9)是分别来自X和Y的样本，则U?_______.

X1???X9Y???Y2129服从的分布是

?都是总体未知参数?的估计，且??比??有效，则??与??的期望与方7、设??1与?112224

数理统计期末练习题

差满足_____________________.

?2已知，n为样本容量，8、设总体X~N(?,?2)，总体均值?的置信水平为1??的置信区间为(X??,X??)，则?的值为________. 9、设X1,X2,..,对于给定的显著性水平?，Xn为取自总体X~N(?,?2)的一个样本，

已知关于?2检验的拒绝域为?2≤?12??(n?1)，则相应的备择假设H1为________；一、填空题 1. 若X是离散型随机变量，分布律是P{X?x}?P(x;?)，（?是待估计参数），则似然函数 ，X是连续型随机变量，概率密度是f(x;?)，则似然函数是 。 ?，若 称??是?的无偏估计量。设??1,??2是未知参数?的两个2. 若未知参数?的估计量是??1较??2有效。 无偏估计量，若 则称?3. 对任意分布的总体，样本均值X是 的无偏估计量。样本方差S是 的无偏估计量。 4. 设总体X~P(?)，其中??0是未知参数，X1,?,Xn是X的一个样本，则?的矩估计量为 ，极大似然估计为 。 2

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1．假设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是取自总体X的简单随机样本，其

??aX?(2?3a)S2为λ的无偏估计，则a=。 均值、方差分别为X，S2，如果??为未知参数θ的两个无偏估计，且??与??不相关，D???4D??，如果2．已知??1、?12212??a???b??也是θ的无偏估计，且是??、??所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差?12312的，则a= ，b=。 ??(1?x)??1,0?x?1,3．设总体X的概率密度为f(x)??则θ的矩估计量为。 0,其它，?4．设X1,X2,...,Xn是取自总体X的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ2，其均值、方差分别为

X，S2，则当c= 时，(X)2?cS2是μ2的无偏估计。 5．设X1,X2,...,Xn是取自总体X的简单随机样本，且EX=μ，DX=σ，a数学期望等于σ2，则a= ，b= 。 解答题 2?Xi?1n2i?b(X)2的

?(??1)x?,0?x?1,1．设总体X的概率密度为f(x)??其中θ>-1是未知参数，X1,X2,…,Xn0,其它，?是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量。 ?2e?2(x??),x??,2．设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x)??其中θ>0是未知参数，其它，?0,x1,x2,…,xn是来自总体X的一组样本观测值，求θ的最大似然估计量。 3. 设总体X的概率分布为 X P 0 θ2 1 2θ(1-θ) 2 θ2 3 1-2θ 其中θ（0<θ<1/2）是未知参数，利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。

4．设某种元件的寿命X（单位：小时）服从双参数的指数分布，其概率密度为

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???1?x??,x??,其中θ，μ(>0) 为未知参数。 f(x;?,?)???e?其它，?0,自一批这种器件中随取n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为X1,X2,...,Xn，求θ，μ的最大似然估计量。

?e?(x??),x??,5．设总体X的概率密度为f(x;?)??θ为未知参数，X1,X2,...,Xn为取自其它，?0,??min{X,...,X}???X?1，?X的一个样本，证明：?21n1比较哪个更有效。 1是θ的两个无偏估计量，并n?6x?(??x),0?x??,6．设总体X的概率密度为f(x;?)???3θ为未知参数，?0,其它，?X1,X2,...,Xn为取自X的一个样本， ?；（1）求θ的矩估计量??；（2）求??的方差D?（3）讨论??的无偏性。 7．某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p，他在第X次射击时，首次击中目标。 （1）试写出X的分布律； （2）以此X为总体，从中抽取简单随机样本X1,X2,...,Xn，试求未知参数p的矩估计量和最大似然估计量。 8．设从均值为μ，方差为σ2的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为X和Y。试证：对于任意满足条件a+b=1的常数a和b，T?aX?bY是μ的无偏估计量，并确定a，b，使得方差DT达到最小。 12

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