直线二级倒立摆控制课程设计指导书

直线两级倒立摆控制课程设计指导书

一、 课程设计目的

学习直线两级倒立摆的数学建模方法，运用现代控制理论知识设计控制器，应用Matlab进行仿真并与实际系统运行结果进行对比分析。通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。

二、 课程设计内容

1、 应用动力学知识建立直线两级倒立摆的数学模型（微分方程的形式），并转变成状态空间的

表达形式。

2、 运用现代控制理论知识，按设计要求设计状态反馈控制器。

3、 应用Matlab的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。

4、 将仿真设计所得的状态反馈设计参数应用于实际控制系统中，观察实际控制结果，对比仿真

结果与实际输出结果，修正设计值，使之满足设计要求。

三、 课程设计参数与要求

1、 控制对象示意图

2、 对象的参数

M 小车质量 1.32 Kg l1 摆杆1转动中心到 杆质心的距离 0.09m m1 摆杆1的质量 0.04 Kg l2 摆杆2转动中心到 杆质心的距离 0.27m m2 摆杆1的质量 0.132 Kg F 作用在系统上的外力 m3 质量块的质量 0.208 Kg X 小车的位移

θ1 摆杆1与垂直向上方向的夹角 θ2 摆杆2与垂直向上方向的夹角

注：θ1、θ2取逆时针方向为正方向

3、控制要求（系统开始运动到稳定运行时，以及接受扰动时） ※ 小车位置X 和摆杆角度的稳定时间小于5 秒； ※ 小车位置X 的波动幅度小于0.3m； ※ 摆杆角度θ1、θ2的波动幅度小于5度 ※ 稳态误差小于2% 。

1

摆杆2 θ2 θ1 质量块 摆杆1 F 小车 X 图1 直线两级倒立摆系统模型图

四、 课程设计所需提交的内容

1、 系统建模的详细推导过程和状态反馈控制器的设计过程。 2、 给出整个控制系统的Simulink仿真结构图。

3、 计算系统引入状态反馈前和引入状态反馈后的极点，并用Matlab绘图功能绘制极点图。 4、 应用Matlab绘图功能分别绘制系统在零输入状态（初始状态不为零）、扰动输入（扰动量持

续时间≤0.5s）时的系统响应曲线图（只需X、θ1、θ2的响应曲线，在每一输入状态下，此三个量的响应曲线在同一图中体现），并给出给响应曲线的动态响应指标值。

五、 倒立摆系统的实际操作步骤

1.将小车推到导轨正中间位置，并且使摆杆处于自由静止的下垂状态；

2.打开计算机和电控箱电源，运行两级倒立摆的Matlab应用程序，具体操作过程如下：

（1）在Simulink浏览器中找到路径：\\Googol Education Control\\Inverted Pendulum\\Linear

Inverted Pendulum,双击Linear 2-Stage IP LQR Control模块。 （2）选择菜单“Simulink/External”或者在工具栏上

式。接着点击菜单“Simulink/Connect to target”或者工具栏上（3）点击菜单“Simulink/Start”或者工具栏上按钮

中选择仿真模式为外部模按钮，连接模型。

，控制软件开始运行。

3. 用手轻轻的将摆杆提起到直立位置，当摆杆足够垂直时，控制程序会控制摆杆平衡，这时可

以轻轻的放手。 4．双击LQR Control模块，将你的仿真调试好的反馈矩阵数据输入相应的编译框，并按“Apply”或“OK”按钮，观测系统运行是否稳定，如不稳定则需修改反馈矩阵参数。

5．停止系统运行，在原控制模块图中分别对小车位置，摆杆角度添加扰动信号模块（脉冲信号和阶跃信号，幅值不超过0.05为宜），并修改示波器参数，使示波器显示的数据存放到工作空间中，重新编译连接后，再次运行控制程序。

6．观察记录下来的数据，并与仿真结果比较，得出系统的动态性能指标。

六、 附录：直线一级倒立摆的数学建模

m：摆杆质量 M：小车的质量 l：摆杆转动中心到摆杆质心的距离

X：小车的位置（水平向右为正） θ：摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）

以下是直线一级倒立摆系统的示意图：

摆杆 θ 小车

F X

应用拉格朗日动力学普遍方程进行推导：

2

即应用公式：

d?L?L()??Qi ?idt?q?qi其中：L?T?U ； T为系统的动能，U为系统的势能。qi为系统的广义坐标，Qi为除了有势力（保守力）在第i个广义坐标上引起的广义力以外的广义力。

首先计算系统的动能：

T?TM?Tm ，TM,Tm分别是小车和摆杆的动能

TM?1?2 Mx2221??d?x?lsin????d(lcos?)??1?2 注：J?1ml2为摆杆的转动惯量 Tm?m????????Jm?m32?dtdt2???????1?cos??1ml2??2?1ml2??2?2?mlx??mx226

1?cos??2ml2??2?2?mlx???mx23?故系统的总动能为：T?112?cos??2ml2??2 ?2?mx??mlx??Mx223系统的势能（以摆杆垂直向上的位置为零势能位置）为：

U??mgl(1?cos?)

所以：L?112?cos??2ml2??2?mgl(1?cos?) ?2?mx??mlx??Mx223取广义坐标为x,?

d?L?L()??0，等式右侧为零是因为除有势力以外，在广???dt??4???mglsin??0????（1） ??ml2?x义坐标?上无其他外力，整理可得：?mlcos??3对广义坐标? 应用拉格朗日方程即：

由于系统稳定工作状态为摆杆垂直向上时，实际工作状态在平衡状态附近运动，此时有??0成立，

???故（1）式可线性化为：?3g3?)取为系统的状态?取为系统的输入量，(x,x?；若将??,?,?x???x4l4l?;u???;x3??;x4???，则可得系统的状态空间表达为：量，x,?为系统输出量。即：x1?x;x2?x x?1??0?x??x?2??0????x?3??0???0?4???x?

3

1000003g04l0??x??0??x1?1???0??x??1??y??1000??x?1?2???2? u,?????1??x??0?y0010??x3???3??3??2????0??x4????x4???4l?若将外力F作为系统的输入量，其他条件不变，则状态空间表达建立过程如下： 对广义坐标x应用拉格朗日方程，即

d?L?L()??F ?dt?x?x??cos??F????（2） ??ml?可得方程为：(M?m)?x3???3g(M?m)????F??(4M?m)l(4M?m)l

与方程（1）联立，并在平衡位置附近线性化可得：?3mg4????x??F?4M?m4M?m?系统的状态空间表达为：

???010?x1??x????003mg2?x?????3?004M0?m??x??4????003g(M?m)(4M?m)l

0?0??x?0?1???41??x??2?????4M?m??u,??y1???10??x??3?????0???x4??3??y2??0??(4M?m)l???4

?000??x1?010??x?2??? ?x3??x?4?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d8n7.html