音乐中的数学

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孙佳琛（04012605）

（东南大学 信息科学与工程学院）

摘要：当我们沉浸在美妙的音乐中时,你是否曾想到音乐与数学有着密切的联系。在计算机和信息技术飞速发展的今天，音乐和数学的联系更加密切, 在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面, 都需要数学。本文将围绕数学与音乐的历史渊源、数学与节拍的联系、数学与音乐的融合、大自然音乐中的数学等展开论述。

Abstract：When we are immersed in the wonderful music,did you ever think that music and mathematics are closely linked.With the rapid development of computer and information technology,music and math are more closely linked inmusic theory’music composition,music synthesis,electronic music production and so on.This article will focus on the history between Mathematics and music,contact with mathematics and beat, fusion of mathematics and music, Mathematics in the natural music.

关键词：音乐、数学、历史、节拍、融合

Keyword：Music,Mathematics,History,Beat,Fusion.

一、 引言

《梁祝》优美动听的旋律，《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野中昆虫啁啾的鸣叫??这些美妙而看似普通的音乐实际上都与数学有着密不可分的联系。

从古至今，无论是在音符的音调上，亦或是在音乐的节拍上，都存在着十分巧妙的数学联系。

同样在音乐界，有一些数学素养很好的音乐家也为音乐的发展做出了重要的贡献。

二、 数学与音乐的历史渊源

人们对数学与音乐之间联系的研究和认识可以说源远流长。

这最早可以追溯到公元前六世纪，当时毕达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来。故事可以追溯到这里，有一天，毕达哥拉斯经过一家铁匠铺，被里面传出的高高低低、富有节奏的打铁声所吸引，于是他走进铺子，细心观察，发现音响的和谐与发声体体积的比例有关。回家后，他又在琴弦上做了很多次试验，寻找琴弦发声协调动听的规律，最终发现了音乐数。同时他还进一步发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1∶2产生八度，2∶3产生五度，3∶4产生四度等。继而发现弦的每一和谐组合都可表示

音乐中的数学

成整数比，按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶。例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C。由此他认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”于是,毕达哥拉斯音阶(thePythagorean Scale) 和调音理论诞生了，而且在西方音乐界占据了统治地位。

虽然托勒密(C. Ptolemy，约100 —165 年) 对毕达哥拉斯音阶的缺点进行了改造，得出了较为理想的纯律音阶(the Just Scale) 及相应的调音理论，但是毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶(the temperedScale) 及相应的调音理论出现才被彻底动摇。

而在我国，最早产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期《管子·地员篇》和《吕氏春秋·音律篇》中分别有述；明代朱载 (1536 - 1610) 在其音乐著作《律学新说》对十二平均律的计算方法作了概述，在《律吕精义·内篇》中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确，与当今的十二平均律完全相同，这在世界上属于首次。由此可见，在古代，音乐的发展就与数学紧密地联系在了一起。从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展，人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深，感觉的音乐中处处闪现着理性的数学。

三、 数学与节拍的联系

乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方。在乐谱中，我们可以找到拍号、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里，不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起。对一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符。

因此一段看似没有规律的乐曲，其实潜在却符合严密的数学规律。我们不禁要问，数学中存在着类似平移变换的规律，在音乐中是否也存在呢？我们可以通过两个音乐小节来寻找答案。显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去，就出现了音乐中的平移，这实际上就是音乐中的反复。把两个音节移到直角坐标系中，那么就表现数学中的平移。 我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感，可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的，并在主题处得到升华，而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的。比如西方乐曲 《When the Saints Go Marching In》的主题，显然 ，这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的。

当然，音乐中不仅仅只出现平移变换，可能会出现其他的变换及其组合，比如反射变换等等。 通过以上分析可知,一首乐曲就有可能是对一些基本曲段进行各种数学变换的结果。 更另人惊奇的是十九世纪的一位著名的数学家——约瑟夫·傅里叶 (Joseph Fourier)，正是他的努力使人们对乐声性质的认识达到了顶峰。他证明了所有的乐声， 不管是器乐还是声乐，都可以用数学式来表达和描述,而且证明了这些数学式是简单的周期正弦函数的和。

四、 数学与音乐的融合

音乐中出现数学、数学中存在音乐并不是一种偶然，而是数学和音乐融和贯通于一体的一种体现。我们知道音乐通过演奏出一串串音符而把人的喜怒哀乐或对大自然、人生的态度等表现出来，即音乐抒发人们的情感， 是对人们自己内心世界的反映和对客观世界的感触，

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因而它是用来描述客观世界的，只不过是以一种感性的或者说是更具有个人主体色彩的方式来进行。而数学是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，使人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识，并通过一些简洁、优美、和谐的公式来表现大自然。因此可以说数学和音乐都是用来描述世界的，只是描述方式有所不同，但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务，于是它们之间存在着内在的联系应该是一件自然而然的事。

我们也可以做一些尝试来验证这样的结论。由一段三角函数图像出发，我们只要对它进行适当的分段，形成适当的小节，并在曲线上选取适当的点作为音符的位置所在，那么就可以作出一节节的乐曲。由此可见，我们不仅能像匈牙利作曲家贝拉.巴托克那样利用黄金分割来作曲，而且也可以从纯粹的函数图像出发来作曲。最典型的代表人物就是20 世纪20 年代的哥伦比亚大学的数学和音乐教授约瑟夫·希林格(JosephSchillinger)，他曾经把纽约时报的一条起伏不定的商务曲线描述在坐标纸上，然后把这条曲线的各个基本段按照适当的、和谐的比例和间隔转变为乐曲，最后在乐器上进行演奏，结果发现这竟然是一首曲调优美、与巴赫的音乐作品极为相似的乐曲。这位教授甚至认为，根据一套准则，所有的音乐杰作都可以转变为数学公式。他的学生乔治·格什温(George Gershwin) 更是推陈出新，创建了一套用数学作曲的系统, 据说著名歌剧《波吉与贝丝》(Porgy and Bess) 就是他使用这样的一套系统创作的。

因此，某些音乐家拥有很高的数学天赋，又或者数学家对音乐有自己独到的理解，也都不是奇怪的偶然，而是数学与音乐融会贯通的必然。

五、 大自然音乐中的数学

以上说到的都是乐曲或声乐与数学的影响，都是人类创造出来的艺术作品，都不是天然的。也许你还有理由质疑它们之间太过匹配的巧合，但当大自然中的音乐与数学再次发生这样的联系时，你也不得不相信这样的真理了。

大自然中的音乐与数学的联系更加神奇，通常不为大家所知。 例如蟋蟀鸣叫可以说是大自然之音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率与气温有着很大的关系，我们可以用一个一次函数来表示：C =4 t–160。其中 C代表蟋蟀每分钟叫的次数，t 代表温度。按照这一公式，我们只要知道蟋蟀每分钟叫的次数，不用温度计就可以知道天气的温度了。

六、 结语

在平时学习数学的过程中，我们常常对着曲线、方程无从下手，觉得数学越学越枯燥无趣。而其实，数学在生活的方方面面都发挥着它的作用，处处展现着它深刻而正确的规律。因此，我们不应该把数学仅仅看成是一门单调的工具学科，而应该细细体会它的奇妙之处，不仅仅局限于课堂所学，而是朝着自己喜欢的方向思考探索，这样才能真正学到知识，真正学好数学。当然，有志于音乐事业的同学更应该学好数学，就如同本文所说，在将来的音乐事业中，数学将起着非常重要的作用。

参考文献：

【1】 余开基.音乐文化趣谈.长沙:湖南人民出版社，1997. 【2】 《数学通报》.2009.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d8hd.html