二项式定理在数列求和中的应用

二项式定理在数列求和中的应用

【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如

an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。

【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：

0n01n?112n?221,二项式定理： (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab

r其中Cn叫做二项式系数。

2,杨辉三角：

二，

重要组合恒等式:

r?1rr（1）,Cn?1?Cn?1?Cn

证明：

r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!

=

(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn（证 毕）

r!(n?r)!r!(n?r)!rrr?1?Cn?1?Cn(n?r)

（2），Cr?Cr?1?Cr?2?证明（数学归纳法）：

rr?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Crr?1?1，所以是正确的。

假设上式对n?k(k?r)正确 即Crr?Crr?1?Crr?2?那么就有Crr?Crr?1?Crr?2??Ckr?1?Ckr?1

?Ckr?1?Ckr?Ckr?1?Ckr 再有组合不等式（1）可得

Crr?Crr?1?Crr?2??1?Ckr?1?Ckr?Ckr?1

故综上所述 对于所有大于r的正整数n（2）式都是成立的。 三，

一元n次多项式根与系数的关系

an?1x?an?0 若x1,x2,x3xn是它的n个根则有一

对于多项式xn?a1xn?1?a2xn?2?下等式成立：

(?1)1a1?x1?x2??xn

?xn?1xn

(?1)2a2?x1x2?x1x3?(?1)iai??xk1xk2xki（所有i个不同的根的乘积的和）

(?1)n?a1a2a3an

四， 应用举例

为了方便应用，（2）式也可以写成Crr?Crr?1?Crr?2?当r=1，2，3，4的时候上式也就是： 1?2?3??1?Crr?n?1?Crr?n(n?r)

?n?

1?3?6?1n(n?1) 2!11?n(n?1)?n(n?1)(n?2) 2!3!?11n(n?1)(n?2)?n(n?1)(n?2)(n?3) 3!4!11n(n?1)(n?2)(n?3)?n(n?1)(n?2)(n?3)(n?4) 4!5! 1?4?10?

1?5?15?例一：求数列

2?an?n2 的前n项和。

1k(k?1)?k 所以 21?n(n?1)]?(1?2?3?2?n)

分析：因为k?2?12?22?32??n2?2[0?1?3?6?111?2?(n?1)n(n?1)?n(n?1)=n(n?1)(2n?1)

626例二：求数列an?n3的前n项和。 分析：因为k?6?311k(k?1)(k?2)?6?k(k?1)?k 所以 6213?23?33??n3 111?6?(n?2)(n?1)n(n?1)?6?(n?1)n(n?1)?n(n?1)24621n(n?1)[(n?1)(n?2)?4(n?1)?2]4

11?n(n?1)n(n?1)?[n(n?1)]242?例三：求数列an?n4的前n项和。 分析：因为k?24?所以：144111k(k?1)(k?2)(k?3)?36?k(k?1)(k?2)?14?k(k?1)?k 4!3!2!?24?34??n4=

1111(n?3)(n?2)(n?1)n(n?1)?36?(n?2)(n?1)n(n?1)?14?(n?1)n(n?1)?n(n?1)5!4!3!2!n(n?1)?(6n3?9n2?n?1) =

3024?五， 归纳总结

推论 若多项式

f(k)?k(k?1)(k?2)(k?a?1)他的根分别是

k1?0,k2?1,k3?2,他的展开式中ka?1ka?a?1，则

?a?1)??(a?1)a 2的系数是a1??(0?1?2?3?a2?k1k2?k1k3?同理

?ka?1ka k(1?k)2?(k展)?k(2?a开式)中ka?2的系数是：

f'(k?)a1'??(0?1?2??a?2)

规律总结：求数列an?na(a?5)的方法

步骤一：分拆通项

ka?a!?1k(k?1)(k?2)a!(k?a?1)?[(a?1)!?a1]1k(k?1)(k?2)(a?1)!(k?a?2)+(a1?a1?a2)(a?2)!'1k(k?1)(k?2)(a?2)!(k?a?3)+?k

步骤二：利用组合不等式（2）分组求和就可求出前n项和。

【参考文献】

1，华罗庚 《从杨辉三角谈起》 科学出版社

2，焦润霞 《浅谈对二项式定理的研究》 语数外学习（高中版高二年级）2007年04期 3，蒋书华 《盘点二项式定理八类应用 》 中学生数理化（高二版）2007年04期 4，戴丽萍 《有关二项式定理的高考试题综述》 中学数学 1995年 第02期

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