凸函数的判别和应用

毕 业 论 文（设计）

论文（设计）题目： 凸函数的判别和应用

系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2004104509 姓 名： 林 庆 指导教师： 娄祖安 时 间： 2008年5月25日

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河 池 学 院

毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告

系别: 数学系 专业:数学与应用数学 论文 凸函数的判别和应用 题目 选题意义 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它在优化理论，判定函数极值，研究函数的图象和证明不等式等方面都有广泛的应用。在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，有的甚至不能解决，但用凸函数的知识去证明可使问题轻松地解决。所以研究凸函数有一定的实用价值。 学生姓名 林庆 学 号 2004104509 研究综述(前人的研究现状及进展情况) ??lder,Jensen和 Minkowski的工凸函数理论的奠基工作可以追溯到20世纪初前后 Ho作，但引起人们广泛重视的工作则是20世纪40——50年代 Von Neumann,Dantxig,Kuhn和Tucker等人关于对策论和数学规化的研究。此后，人们对凸函数进行了大量深入细致的研究，60年代中期产生了凸分析，凸函数的概念被按多种途径进行推广，提出了许多广义凸性的概念。其中影响较大，应用较广的有拟凸（严格拟凸，强拟凸）函数，（严格）伪凸函数等。此后，鉴于凸性和广义凸性在最优化中的应用，出现了一致不变凸函数，严格（半严格）不变凸函数，不变预凸函数等。目前，“非凸分析”或“非光滑分析”正在兴起并成为最优化理论的一个活跃方向。 研究的主要内容 以教学方向为主，从凸函数的定义出发，研究凸函数的判别方法。然后应用凸函数的性质去证明一些重要的不等式，如詹森不等式，柯西不等式等。最后研究凸函数在初等数学和高等数学中的一些应用。 2

拟采用的研究方法、步骤 研究方法：1文献资料查阅法；2讨论交流法；3网络查询法． 研究步骤：1拟定论文题目；2收集文献资料；3拟定论文提纲；4填写毕业论文开题报告；5撰写论文初稿；6审批论文初稿;7定稿打印． 研究工作进度安排 （1） 1月份，听毕业论文撰写指导讲座； （2） 1月上旬-2月下旬，选定毕业论文题目； （3） 2月下旬-3月上旬，收集整理相关资料及论文提纲； （4） 3月上旬-3月中旬，填写毕业论文开题报告； （5） 3月中旬-4月上旬，撰写论文初稿； （6） 4月上旬-4月下旬，审批论文初稿； （7） 4月下旬-6月上旬，修改、定稿打印、论文答辩． 参考文献目录 [1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）第三版［M］．北京：高等教育出版社，2001． [2]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京：高等教育出版社，1993． [3]李远新，刘长春．凸函数在证明不等式中的应用[J]．辽宁师专学报，1999，(2)． [4]张雄，李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003． [5]贾凤山．走向高考·数学[M]．北京：人民日报出版社，2006． [6]吉米多维奇．数学分析习题集题解（二）[M]．济南：山东科学技术出版社，1980． [7]朱志嘉．判定凸函数的几个充分条件及其应用[J]．中学教研（数学），1985，（02）． 指导教师意见 选题符合要求、进度安排合理、同意开题. 签字： 年 月 日 教研室主任意见 准备充分，同意开题. 签字： 年 月 日 3

毕业论文（设计）成绩评定表一

学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学

指导教师意见： 林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义，文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮助和实用价值. 该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出一般的情形. 该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文. 初评成绩： 签字： 年 月 日

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毕业论文（设计）答辩记录

学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学

【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常??lder不等式和Cauchy不等式；第二是通过七个例子说明凸函数用不等式，如Jensen不等式,H o在初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理１通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型． 【答辩】： 1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？ 答：首先要求判别的函数是连续的函数，另外就是要给出函数定义域上具体的某个区间．因为同一个函数在不同的区间上可以具不同的凸性，如f(x)?sinx在(0,?)上是凹函数．在(?,2?)上是凸函数． 2、问：就论文第一页的定义１说明凸函数的几何意义． 答：凸函数的定义１为f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)，??（0，1），在定义域上取两点x1，x2，那么当??0时，?x1?(1??)x2表示点x2，当??1时，?x1?(1??)x2表示点x1，当?取遍(0,1)中的数时，x??x1?(1??)x2表示点x1到x2之间的线段．对应的函数值f(x)?f(?x1?(1??)x2)为区间[x1,x2]上曲线上的弧．同样，?f(x1)?(1??)f(x2)表示点f(x1)到点f(x2)之间的连线段（弦），那么f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)就表示曲线f(x)上两点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))的连线段都在f(x)的上方． 3、问：是不是每个函数都具有凸性？ 答：不一定，要对具体的函数进行分析．由定义１知，只要满足对?x1,x2?I，都有f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)这样的函数都具有凸性．如f(x)?sinx在(0,?)上是凹函数．在(?,2?)上是凸函数．但在(0,2?)上没有凸性可言． 签字： 年 月 日

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毕业论文（设计）成绩评定表二

学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004级 专业：数学与应用数学

专业答辩小组意见： 林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文结果正确，有自己的东西，有一定的价值，可续性较强，达到学士学位论文的要求. 成绩： 签字： 年 月 日 系答辩委员会意见： 总评成绩： 签字： 年 月 日

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凸函数的判别和应用

学生：林 庆

河池学院数学系， 数学与应用数学专业 2004级4班， 广西宜州 546300

指导教师：娄祖安

[摘 要] 有的甚至不在初等数学的证明里，有许多不等式的证明如果用初等数学的方法去解决会相当的困难，能解决．由于凸函数的定义本身就是一个不等式，再就是凸函数的性质方便实用，对不等式的证明起到非常重要的作用．鉴于此，本文主要给出了凸函数的三个定义及其三种判别方法，

??lder不等式和Cauchy然后应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式，如Jensen不等式，Ho不等式，用以解决一些不等式的证明，最后给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用． [关键词] 凸函数；不等式；判别；证明；应用

凸函数是一类非常特殊的函数，它在最优化理论，判别函数极值，研究图象和证明不等式等方面都有广泛的应用．这里给出凸函数的三个定义及三种判别方法，并应用凸函数的性质证明几个重要的常用不等式．然后从教学的角度出发，给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用．

1 凸函数的定义

由于凸函数的重要性，许多学者对此进行过深入的研究，并由此得出凸函数的多种不同定义．这里给出凸函数的三个常见定义．

定义1 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数??（0，1）总有

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)， （1） 则称f为I上的凸函数．反之，如果总有

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)． （2） 则称f为I上的凹函数．

如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．

定义2 f(x)在区间I上有定义．若对? x1，x2 ? I，有

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f(

x1?x211)?f(x1)+f(x2)． 222则称f为I上的凸函数．

定义3 f(x)在区间I上有定义，当且仅当曲线y?f(x)的切线恒保持在曲线以下，则称f(x)为I上的凸函数．

由于凸函数与凹函数是对偶的概念，前一个有什么结论，后一个亦有相应的结论．所以只需对函数判别凹凸，即可运用凸函数的有关性质．在判别函数凸性和解题过程中,可以根据具体的函数和题目选择合适的定义．

2 凸函数的判别方法

在解题的过程中，我们常常会碰到一些不等式的证明，而这些不等式的证明往往又与凸函数有关．要想运用凸函数的有关性质，首先就要判别该函数的凸性．所以掌握凸函数的一些基本判别方法，有利于提高解题速度．下面先从凸函数的定义出发，探讨判别凸函数的几种基本方法． 2．1 利用定义判别函数的凸性

有些基本的初等函数可以直接用定义去判别它的凸性．例如要判别f(x)?x2(x?0)的凸性．由定义1，对??(0,1),?x1,x2?0有

?f(x1)?(1??)f(x2)?f(?x1?(1??)x2) ??x12?(1??)x22?[?x1?(1??)x2]2 ?(???2)(x1?x2)2 ??(1??)(x1?x2)2?0， 即 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)． 所以f(x)?x2为(0,??)上的凸函数． 2．2 利用定理判别函数的凸性 下面给出判别函数凸性的三个定理．

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1?x2?x3，总有

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f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x1)f(x3)?f(x2) ． ??x2?x1x3?x1x3?x2这是斜率表达式．该定理的几何意义如图1所示：

如果用AB,BC,AC表示f(x)曲线上的弦，那么它的几何意义即：kAB?kAC?kBC． 例如判别函数f(x)?ex的凸性，在其定义域(??,??)上，可取x1?x2?x3，则

f(x3)?f(x2)ex3?ex2f(x2)?f(x1)ex2?ex1??kAB，??kBC，从几何意义（如图2）

x2?x1x2?x1x3?x2x3?x2上明显有

f(x3)?f(x2)f(x2)?f(x1)??kBC?kAB?0．

x3?x2x2?x1所以f(x)?ex为(??,??)上的凸函数．

定理2 若f(x)在I上满足：

1x11x21x3f(x1)f(x2)?0 (?x1，x2，x3 ?I， 且x1?x2?x3)，

f(x3)则称f(x)为I上的凸函数．

注 此定理即是定理1中前一个不等式

f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x1)? 两边同乘

x2?x1x3?x1(x2?x1)(x3?x1)，并移项得

(x3?x2)f(x1)?(x1?x3)f(x2)?(x2?x1)f(x3)?0，

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1x1f(x1)即 1x2f(x2)?0．

1x3f(x3) 例如判别函数f(x)?x2的凸性，则可在其定义域(??,??)上任取x1,x2,x3，且

x1?x2?x3，由该定理得

(x3?x2)x12?(x1?x3)x22?(x2?x1)x32

?(x3?x2)x12?[(x1?x2)?(x2?x3)]x22?(x2?x1)x32 ?(x3?x2)(x12?x22)?(x2?x1)(x32?x22)

?(x3?x2)(x1?x2)(x1?x2)?(x2?x1)(x3?x2)(x3?x2) ?(x3?x2)(x1?x2)(x1?x2?x2?x3) ?(x3?x2)(x2?x1)(x3?x1)?0．

1x1f(x1)即 1x2f(x2)?0，所以f(x)?x2为(??,??)上的凸函数．

1x3f(x3)定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则f 为I上的凸函数的充要条件是

?，0x?I． f?(x) 例如 判别f(x)?ln(x2?1)的凸性．

?2x2?2 分析 由该定理求f(x)的二阶导数得 f?(x)?2，由于分母已经大于0，所

(x?1)2以该函数的凸性由分子决定．当分子?2x2?2?0，即 ?1?x?1时，有f?(x)?0．则

f(x)?ln(x2?1)为[?1,1]上的凸函数；从而在区间(??,?1)?(1,??)上为凹函数． 2．3 利用几何意义判别函数的凸性

在凸函数的定义1中，取 x??x1?(1??)x2，这表示x轴上由点x1到点x2的线段，而y??f(x1)?(1??)f(x2)，这表示由点A(x1,f(x1))到点B(x2,f(x2))，的线段（如图3所示）．于是定义1表示：凸函数图形上任意一段弧的所有点在该弧所对应的弦下面，

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至多在该弦上．而凹函数的几何意义为，凹函数图形上任意一段弧的所有点都在该弧所对应的弦上面，至多在该弦上（如图4所示）．

这样利用函数的几何意义，做出该函数某定义区间I内的图象，假如向下凸，便是凸函数，如果向上凸，便是凹函数．如此对一些基本初等函数的凸性便可快速判别了．如： （1）y?sin?，为（0，?）上的凹函数． （2）y?cos?，为（0，

?）上的凹函数． 2（3）y?ax（a?0且a?1），为(??,??)上的凸函数．

（4）y?ax2，当a?0时，为(??,??)上的凸函数；当a?0时，为(??,??)上的凸函数．

)上的凹函数；当0?a?1，为(0,??)上的凸函数．（5）y?logax，当a?1，为(0,??

（6） y?x(n?N?，x?(0,??))，为(0,??)上的凹函数．

以上判别凸函数的三种方法中，方法2中的定理3由于形式简单，应用方便，成为判别函数凸性的首选方法．但在解题过程中，如对有些既难以求导又难以画出图象的函数，运用其它方法倒是不错的选择．所以灵活选用适当的方法，便能提高解题的速度．

1n３ 凸函数的应用

由于凸函数有许多重要的性质，所以它的应用极为广泛．其中在不等式的证明中，如能巧妙地应用凸函数的定义和性质，便能收到意想不到的效果．这里对凸函数的应用

??lder)主要是用定义去证明詹森(Jensen)不等式，然后用詹森不等式去证明赫尔德(Ho不等式，进而得出柯西(Cauchy)不等式．最后应用这些性质去证明一些常见的不等式，并通过例子说明凸函数在高等数学和初等数学里的一些应用．

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3．1 用凸函数证明Jensen不等式

Jensen不等式的形式：若f为[a,b]上的凸函数，则对任意

xi?[a,b],?i?0(i?1,2,?,n),??i?1，有f(??ixi)???if(xi)．

i?1i?1i?1nnn证明 应用数学归纳法，当n?2时，由定义1知命题成立；

设n?k时，命题成立，即对?x1,x2,?,xk?[a,b]及?i?0(i?1,2,...,k),??i?1，

i?1k都有 f(??ixi)???if(xi) ．

i?1i?1kk现设x1,x2,?,xk,xk?1?[a,b]及?i ?0 (i?1,2,?,k?1)， ??i?1，

i?1k?i令?i?， i?1,2,?,k， 则??i?1，由数学归纳法假设可推得

1??k?1i?1k?1f[?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1]?1x1??2x2????kxk??k?1xk?1]1??k?1?(1??k?1)f(?1x1??2x2????kxk)??k?1f(xk?1) ?(1??k?1)[?1f(x1)??2f(x2)????kf(xk)]??k?1f(xk?1)?k??2?(1??k?1)[1f(x1)?f(x2)???f(xk)]??k?1f(xk?1)1??k?11??k?11??k?1?f[(1??k?1)???if(xi).i?1k?1即当n?k?1时，命题也成立．

这就证明了对任何正整数n，Jensen不等式成立． 我们看到在以上的证明过程中，第一个不等号的上一步将

?1x1??2x2??????kxk整体

1??k?1看成凸函数定义1中的x1，xk?1看成x2，利用凸函数定义1得到第一个不等号，这是利用凸函数证明Jensen不等式最重要的一步．第二个不等号是根据归纳中的假设得到的，然后代换?i，整理便完成了证明．这里最巧妙的是令?i?所在．

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?i，这是完成证明的关键

1??k?1

??lder不等式 3．2 用凸函数证明Ho??lder不等式的形式:设ai,bi?0,(i?1,2,?,n)，有 Ho?aibi?(?a)(?b)，其中p?0,q?0，

pii?1i?1i?1nnn1pn1qqi11??1． pqnnpqqi??lder不等式两边p次方得(?aibi)p?(?aip)(?b)，分析 先将Ho从这个不等式

i?1i?1i?1联想到要找的凸函数为f(x)?xp，而这个不等式的形式与Jensen不等式的形式相似．难点是不容易看出该不等式的?i是什么．而从问题的已知条件

11p??1知q?，然后pqp?1从Jensen不等式的证明过程中?i的巧妙设法得到启发，将上面的不等式再变形为

(?i?1nbiq?bi?1nq?ai)??pi?1nbiqi?bi?1nq?a，这样?i??pii?1nbiqi?bi?1n．到此不等式的左边已经出现了

qi(?aibiq)p，为了消去biq中的q次方，可以令xi?aibi1?q，从而不等式的左边就是

i?1nn??lder不等式的证明． (?aibi)p．最后经过整理便可完成Hoi?1证明 令f(x)?xp,p?1,x?0，因为f?(x)?p(p?1)xp?2?0，由凸函数判别定理3知f(x)?xp,p?1,x?0在(0,??)上是凸函数．由Jensen不等式，得

(??ixi)???ixip，

pi?1i?1nn今设u1,u2,?,un为非负实数且?ui?0，在上述表达式中以

i?1nui?ui?1n代替?i，得到

i (?uixi)?(?uix)(?ui)p?1．

ppii?1i?1i?1n11pq1?q由已知??1知q?，令ui?bi,xi?ai(bi)，不妨设?bi?0，代入上式便得

pqp?1i?1nnn??lder不等式： Ho

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?aibi?(?a)(?b)．

i?1i?1i?1nn1ppin1qqi3．3 用凸函数证明Cauchy不等式

Cauchy不等式的形式：若ai,bi?R,(i?1,2,?,n)，则(?aibi)??a2i?1i?1nn2i?bi?1n2i，其中等

号当且仅当ai与bi成比例时成立．

分析 Cauchy不等式最简单的证法是构造一个非负的二次函数，由其判别式不大于零获证．即f(t)??(ait?bi)?t2i?1n2n2?ai?1nn2i?2t?aibi??bi2，因为判别式

i?1i?12nnn ??(?2?aibi)?4(?ai)(?bi2)?0，

i?1i?1i?1即(?aibi)??a2i?1i?1nn2i?bi?1n2i??lder 不等式的形式相似，由．而Cauchy不等式的形式和Ho??lder不等式的证明过程得到启发，可设f(x)?x2，根据凸函数的性质去证明． Ho证明 设 f(x)?x2(x?R)，因为f?(x)?2?0，根据定理3知 f(x)?x2是

(??,??)上的凸函数，由Jensen不等式得

(??ixi)???ixi2．

2i?1i?1nn令?i?bi2?bi?1n2inai，xi?， 且?bi2?0，代入上式得

bii?1(?i?1nbi2?bi?1ni?1n2iai2nbi2a?)??n?(i)2， bibi?1?bi2ii?1化简得 (?aibi)??a2i?1n2i?bi?1n2i．

在高等代数和初等数学中，都会遇到许多不等式证明的问题，下面通过一些例子说明凸函数的定义和以上三个重要不等式在证明一些特殊不等式中的应用．在证明某些不等式的过程中，重要的是选取合适的凸函数，凸函数选好了，证明也就比较容易地得到

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解决了．

例1 证明（1）对任意实数a,b有e （2）(a?b21?(ea?eb)； 2x?yn1n)?(x?yn)（x,y?R?,n?1）． 22a?b2分析 观察（1）中的不等式e而（2）中的不等式(1?(ea?eb)的形式，很容易联想到指数函数ex，2x?yn1n)?(x?yn)，也容易联想到幂函数xn，再由凸函数的判别22方法2中的定理3，易知函数ex和xn都是某定义I上的凸函数．根据相关定义及定理，问题得到解决．

证明 （1）令f(x)?ex,x?R，因为f?(x)?0，所以由定理3知f(x)?ex为R上的凸函数．取??1，x1?a,x2?b，由凸函数的定义得 21111f(a?(1?)b)?f(a)?f(b)， 2222a?b2即 e1?(ea?eb)． 2 （2）令f(x)?xn，(x?0,n?1)，由f?(x)?0知f(x)为(0,??)上的凸函数．取

??1，对于x,y有 21111f(x?(1?)y)?f(x)?f(y)， 2222x?yn1n)?(x?yn)． 即 (22例2 证明 设ai?0,(i?1,2,?,n)，有

a1?a2???an ?a1a2?an??111n????a1a2annn22a12?a2???an．

na1?a2???an，不容易直接找到合适的凸函数，如

na?a???ann),这样形如xn的函数都不合适．取nx或者不等式两边n次方后有(12因此，

n分析 观察不等式na1a2?an?要对不等式进行一定的变形．不妨对不等式两边取对数，则有

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lnna1a2?an?lna1?a2???an，

n再运用Jensen不等式知道这是可行的．由于lnx是(0,??)上的凹函数，所以取

f(x)??lnx，则f(x)就是(0,??)上的凸函数，问题便迎刃而解．

证明 令f(x)??lnx(x?0)，由于f?(x)?数．由Jensen不等式知，

1?0，所以f(x)为(0,??)上的凸函x2a1?a2??an1??(lna1?lna2???lnan)，

nna?a??an1??(lna1a2?an)??ln(na1a2?an)． 即 ?ln12nna?a???an所以 na1a2?an?12．

n ?ln同理有：

111????aa2an1111?ln1??(ln?ln???ln)，

nna1a2an即 lnn111????a1a2ann111????a1a2an?lnna1a2?an．

所以

?na1a2?an．

对于最后一个不等式，由Cauchy不等式，取bi?1，由(?aibi)??a2i?1i?1nn2i2b?i得 i?1n2 (a1?a2???an)2?n(a12?a22???an)，

再两边乘上

1，然后开平方便得 2na1?a2???an?n22a12?a2???an．

n综上有

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a?a???an?a1a2?an?12?111n????a1a2annn22a12?a2???an．

n这是关于调和平均，几何平均，算术平均和平方平均的不等式．

下面看一个特例． 证明: 5099?99!． 分析 应用

na1a2?an?n(a1?a2???an1?2???99 有n1?2?3???n?，

nn即 n!?(取n?99即得证．

n?1)2)n=(n?1)n．

2n例3 在?ABC中，求证：(1) sinA?sinB?sinC?(2)tan233； 2ABC?tan2?tan2?1． 222x)?nisx0?证明 (1)令f(x)??sinx,x?(0,?)，则f?(1的凸函数，取??，由Jensen不等式得

3A?B?Cf(A)?f(B)?f(C)f()?，

33，所以f(x)??sinx是(0,?)上

即 ?sinA?siBn?3sCinA?B?C?3??sin??sin??．

33233． 2所以 sinA?sinB?sinC???x(2)令f(u)?u2,u?tan(x?(0,?)),u在(0,)上是凸函数，所以f(u)?u2是(0,)2221上的凸函数，取??，由Jensen不等式得：

3ABC??1A1B1Cf(222)?f()?f()?f()，

3323232ABC???2A2B2C22即 tan?tan?．tan?3tan2(2?)2?3ta n122236例4 (1)设a,b,c,d,e都是实数，且满足条件：a?b?c?d?e?8，

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a2?b2?c2?d2?e2?16，试确定e的取值范围；

(2)已知a,b?R,a?b?a2?b2?24求a?b的取值范围．

分析 这两个问题都是求取值范围的问题，观察第一个问题，看到有a2，b2，c2和

d2可想到设函数为f(x)?x2．要求e的取值范围，应该用凸函数的性质，可取??1，4平方后会出现16．再应用已知条件，可列出有关e的方程，进而可求e的取值范围．用同样的方法思考问题（2）就容易多了．

解 (1) 设f(x)?x2(x?R)，则f(x)是R上的凸函数，取?i?Jensen不等式得

a?b?c?d2a2?b2?c2?d2)? (， 441（i?1,2,3,4），由4又 a?b?c?d?8?e，a2?b2?c2?d2?16?e2，

8?e216?e216)?从而( ， 解此不等式得e的取值范围为：0?e?． 454(a?b)2(2) 由例2平方平均不等式知：a?b?，从而

222(a?b)2?24． a?b?2x2令a?b?x，则x??24，解此不等式得：?8?x?6，

2所以a?b的取值范围是：?8?a?b?6．

a?b2a2?b2)?在中学数学证明不等式中，基本不等式ab?(应用较多，这是例222的重要不等式取n?2时的情形．

例5 比较360与2+37的大小．

分析 由于60和7都开3次方，考虑把2也写成开3次方的形式，即 2=38，而(7?8)?237?860?，开3次方有360?2?3．所以想到用函数f(x)?22

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3x的凸性来求解

此题．

证明 因为2=38，360，37，令f(x)?3x，(x?0)，由凸函数判别方法3之（6）知f(x)?3x为(0,??)上的凹函数，所以 f(x1?x21)?f(x1)?f(x2)． 22取x1?7，x2?8，即得 360?2?37?83?7?38?2?37 ． 2注 此问题可归纳为：a,b,?1,?2均为正数，且?1??2?1，有

n?1a??2b??1na??2nb.

证明过程如下：

设f(x)?nx(x?0)，则由凸函数判别方法3之（6）知f(x)?nx(x?0)为(0,??)上的凹函数，则由凸函数的定义直接得n?1a??2b??1na??2nb.

例6 （1）比较3?7与4?6的大小； （2）比较1111??与的大小． 3856分析 对这类问题，可由凸函数的判别方法2的定理1来解．设凸函数f(x)的定义域I上四点a1，b1，a2，b2满足：a1?b1?b2?a2且a1?a2?b1?b2，应用kAB?kAC?kBC，则有

f(b1)?f(a1)f(a2)?f(b2) ?b1?a1a2?b2因b1?a1?a2?b2，所以f(a1)?f(a2)?f(b1)?f(b2)（简括为“两端大于中间”）；假如是凹函数，则只需改变不等号的方向，有f(a1)?f(a2)?f(b1)?f(b2)（简括为“两端小于中间”）．有了这两个结论，对这两个问题就比较容易解决了．

解 (1) 设f(x)?x (x?0)为凹函数，则马上有：3?7?4?6． (2) 设f(x)?11111??? (x?0)为凸函数，则也有：． 3856x 19

注 对于正数a1,a2,b1,b2满足a1?a2?b1?b2且a1?b1?b2?a2，则有以下不等式成立：

(1)(3)b1?b2?a1?a2 ； (2) nb1?nb2?na1?na2 ； 1111． ???b1b2a1a2例7 已知P为△ABC内的一点，BC?a，CA?b，AB?c，点P到△ABC的三边

abc(a?b?c)2（第22届IMO试BC,CA,AB距离分别为d1，d2，d3，求证：???d1d2d32S?ABC题）．

abc(a?b?c)2分析 要证明的不等式 ?? 是面积与边的关系，可考虑把面?d1d2d32S?ABC积变成边的关系，由题意可把大的三角形变成三个小的三角形，而d1，d2，d3分别是三个小三角形的高，所以

1112S?ABC?2?(ad1?bd2?cd3)?ad1?bd2?cd3，

222则所证不等式变为：(abc??)(ad1?bd2?cd3)?(a?b?c)2，这形式和Cauchy不等d1d2d3式相似，可考虑用Cauchy不等式去证明．

证明 因为2S?ABC?ad1?bd2?cd3，则所证不等式变为

(abc??)(ad1?bd2?cd3)?(a?b?c)2 d1d2d3nnn2由Cauchy不等式：?ai?bi?(?aibi)，取a1?i?1i?1i?1111,a2?,a3?；b1?ad1， d1d2d3b2?bd2,b3?cd3，则

(abcabc??)(ad1?bd2?cd3)?(?ad1??bd2??cd3)2?(a?b?c)2． d1d2d3d1d2d3即知命题不等式成立．

在这个例题的证明过程中，虽然没有直接用到凸函数的知识，但在前面我们已经用凸函数的知识去证明了Cauchy不等式，所以在这里给出Cauchy不等式的一个应用，间

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接地说明了凸函数的重要性．

4 结束语

凸函数在高等数学和初等数学方面的应用的例子还有很多．其实，初等数学和高等数学的知识及一些常用方法是相互联系，相辅相成的．高等数学在运算和推理过程中常常会得到一些形式十分初等且浅显易懂的结论．有些问题仅仅依靠初等数学的方法解决往往是十分困难的，甚至根本不可能，如果借用高等数学的方法来解决显得更加简单明了．凸函数在这方面起到一个很好的示范作用．

参考文献：

[1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）第三版［M］．北京：高等教育出版社，2001． [2]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［M］．北京：高等教育出版社，1993． [3]李远新，刘长春．凸函数在证明不等式中的应用[J]．辽宁师专学报，1999，(2)． [4]张雄，李得虎．数学方法论与解题研究[M]．北京：高等教育出版社，2003． [5]贾凤山．走向高考·数学[M]．北京：人民日报出版社，2006．

[6]吉米多维奇．数学分析习题集题解（二）[M]．济南：山东科学技术出版社，1980． [7]朱志嘉．判定凸函数的几个充分条件及其应用[J]．中学教研（数学），1985，（02）．

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Distinction and Application of the Convex Function

LIN Qing

(Department of Mathematics，Hechi University，Yizhou Guangxi 546300，China)

[Abstract] In elementary mathematics proof，if solved with the elementary mathematics in many inequality proof would be difficulty situation，even can not solve it．Because the convex function define is an inequality by itself, and the convex function nature is convenience and practical，that it has very important to proof inequality ．In view of this，this article main give the convex function three define and three distinction methods， then to apply convex function nature to proved several important commonly inequalities，such

??lder inequality and Cauchy inequality ,to solve some inequality as Jensen inequality , Hoproof ,finally introduce the convex function in the higher mathematics and elementary mathematics some applications．

[Key words] convex function； inequality； distinction； proof； using

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