北航动力学习题5

5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物M1和质量为8kg的重物M2，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物M2的加速度a2及绳的拉力。 解：

取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力M1g,M2g。假设重物M2的加速度a2的方向竖直向下，则重物M1的加速度a1竖直向上，两个重物惯性力FI1,FI2为：

FI1?M1a1

FI2?M2a2 (1)

该系统有一个自由度，假设重物M2有一向下的虚位移?x2，则重物M1的虚位移?x1竖直向上。由动力学普遍方程有：

?W??M1g?x1?M2g?x2?FI1?x1?FI2?x2?0 （2）

根据运动学关系可知：

?x1?12?x2

a1?12a2 （3）

FI2

将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意?x2?0有：

a2?4M4M22?2M1?M1g?2.8(m/s)2δx1

FI1

M2g

M1g

δx2

方向竖直向下。取重物M2为研究对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：

M2g?T?M2a2

T

解得绳子的拉力T?56.1(N)。

本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。

M2g

a2

5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分 方程。

解：

该系统为保守系统，有一个自由度，取?为广义坐标。

系统的动能为：

12T?m[(l?R?)??]2

取??0为零势位，则系统的势能为：

V?mg[Rsin??(l?R?)cos?]

?L?L)??0?L?T?Vdt????拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：

整理得摆的运动微分方程为：

???R??2?gsin??0(l?R?)?

5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为

(s?4bsin?，式中s是以O为原点的弧坐标，?是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质

d点的运动规律。 解：

该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标S为广义坐标。系统的动能为：

1?2T?mS2

取S?0为零势位，系统的势能为：

V?mgh 由题可知

h?dhdS?sin??S4b，因此有：

h ?0ss4bds?S2

则拉格朗日函数：

8b

?2?mgS2mS28b d?L?L???gS?0， 代入拉格朗日方程： ()??0，整理得摆的运动微分方程为：S?dt?S?S4bL?T?V?1解得质点的运动规律为：S?Asin(12gbt??0)，其中

A,?0为积分常数。

5-13质量为m的质点沿半径为r的圆环运动，圆环以匀角速度?绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩M。

解：

1.求质点的运动微分方程

圆环（质量不计）以匀角速度?绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度?为

广义坐标。系统的动能为：

T?1

122m(r??)?m(?rsin?)22

取??0为零势位，系统的势能为：

V?mgr(1?cos?)

则拉格朗日函数：

L?T?V?122222mr(????sin?)?mgr(1?cos?)

d(

?L?L)??0???代入拉格朗日方程：dt?? ，整理得质点的运动微分方程为：

???(g??2cos?)sin??0?r

2.求维持圆环作匀速转动的力偶M

如果求力偶M，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速?转动”这一约束，将力偶M

视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度?和圆环绕轴AB的转角?为广义坐标，系统?代替?，则拉格朗日函数为： 的势能不变，动能表达式中以?

122?2sin2?)?mgr(1?cos?)L?T?V?mr(????2

力偶M为非有势力，它对应于广义坐标?和?的广义力计算如下：

取???0,???0，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为[?W]???0，因此力偶M对应于广义坐标?的广义力

Q?M?0；

[?W]???M???取???0,???0，在这组虚位移下力偶M所作的虚功为，因此力偶MQ?????对应于广义坐标的广义力

d?L?LM()??Q??0??代入拉格朗日方程dt???，整理可得： ???gsin??0?r

d?L?LM()??Q??M???代入拉格朗日方程dt??，整理可得：

22???mr2sin2??????M mrsin??

M[?W]???M；

???,????0，代入上式可得： 圆环绕铅垂轴AB匀速?转动，即：?

2M?mr???sin2?

5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴O1O2转动，轴O1O2又绕铅垂轴OC以匀角速度?转动。物体的质心G在垂直于O1O2的直线上，O3G?l。设O1O2和O3G是物体过O3点的惯量主轴，转动惯量为J1和J2，物体对另一过O3点的惯量主轴的转动惯量为J3，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。 解：

垂直于O1O2的平面

??

z’ O3

?

x’ ? θ G

z’

?绕轴O1O2的定轴转动，牵连运动是以角O1O2OC为动系，则物体的相对运动是以角速度θ

O3G为y?轴，以O1O2为x?轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度?a可表示成：

以该物体为研究对象，有一个自由度，取O3G和OC的夹角?为广义坐标。若以框架y’ y’

?和ω的矢量之和。为了方便起见，速度?绕OC轴的定轴转动，物体的绝对角速度?a是θ

?i???cos?j???sin?z??a?θ

???由于坐标系O3xyz的三个坐标轴为过O3点的三个惯量主轴，则系统的动能为：

T?12222[J1???J2(?cos?)?J3(?sin?)]

取??0为零势位，系统的势能为：

V?mgl(1?cos?)

则拉格朗日函数：

L?T?V?12

222[J1???J2(?cos?)?J3(?sin?)]?mgl(1?cos?)

代入拉格朗日方程：

?L?L)??0dt????? (d，

整理后，可得物体的运动微分方程为：

????(J?J)sin?cos???mglsin?J1?23

25-17重P1的楔块可沿水平面滑动，重P2的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水

平力F，如图所示。忽略摩擦，角?已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。 解：

取楔块A，B构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移x，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移s为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度vA，楔块B的速度vB，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：

系统的动能为：

T???vB?vA?vBr

12mAvA??2?xP22g212mBvB2vBr P12g12g??s?cos?)2?(s?sin?)2][(x

2vA

??(P1?P2)x1g?s??P2cos?x12g?P2s2

取过x轴的水平为零势面，系统的势能为：

则拉格朗日函数：

V?P2ssin?

L?T?V?12g??(P1?P2)x21g?s??P2cos?x12g??P2ssin?P2s2

将水平力F视为非有势力，它对应于广义坐标x和s的广义力计算如下：

取?x?0,?s?0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[?W]?x?F?x，因此力F对应于广

义坐标x的广义力

Qx?F；

F

取?x?0,?s?0，在这组虚位移下力F所作的虚功为[?W]?s?Fcos??s，因此力F对应

于广义坐标s的广义力

Qs?Fcos?F； )??L?x?Qx?FFd?代入拉格朗日方程dt?x(?L，整理可得：

??1212?sin(???)]2?[s?cos(???)???m1{[s?2?(m1?m2)s0l2]}?21242?2?m1l?12?m2s2

12?s?cos(???)?m1l?162?2m1l?

设s?0,??90时势能为零，系统的势能为：

V?m1gl2cos??(m1?m2)gssin??12k?2

拉格朗日函数L?T?V中不显含时间t，存在广义能量积分，即：

T?V?12??(m1?m2)sl2212?s?cos(???)?m1l?12162?2m1l?

?m1gcos??(m1?m2)gssin??k?2?常数

5-29半径为r、质量为m的圆柱，沿半径为R、质量为m0的空心圆柱内表面滚动而不滑动，

mr2如图所示。空心圆柱可绕自身的水平轴O转动。圆柱对各自轴线的转动惯量为2m0R。试求系统的首次积分。

2和

解：

以圆柱和圆筒构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取?,?为广义坐标。

系统的动能为：

111122222T?m0R???mvO1?(mr)?2222

其中：

?vO1?(R?r)?，

圆柱相对于圆筒作纯滚动，由圆柱轴心O1以及圆柱上与圆筒相接触的点的速度关系，可得：

代入动能有：

131222?2?m(R?r)R????T?(2m0?m)R???m(R?r)?442

设??0为零势位，系统的势能为：

??1r??R??][(R?r)?

V?mg(R?r)(1?cos?)，

拉格朗日函数：

L?T?V?131222?2?m(R?r)R?????mg(R?r)(1?cos?)(2m0?m)R???m(R?r)?442

拉格朗日函数中不显含广义坐标?和时间t，存在循环积分和广义能量积分，即：

?L?T12??R??]?p0??m0R???mR[(R?r)?2?????? T?V?11122??R??]2?m(R?r)2??2?mg(R?r)(1?cos?)?E0m0R???m[(R?r)?242

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d7vo.html