四川大学概率期末试卷1打印

设事件A与B不相容，A与C、B与C均互相独立，P（A）=0.6，P（B）=0.3，P（C）=0.4，则P(A?1、 2、 3、 4、 一、 1．

设随机变量ξ服从U（1，6），则方程x+ξx+1=0有实根的概率为（ ） 设X有分布函数F（x），令Y=2X-3，则Y 的分布函数为（ ）

（X，Y）服从二维正态分布N（3，2；9，4；1/3），则方差D（2X-3Y+4）=（ ）

2

BC)?

1??0设X与Y独立且服从同一分布，X~? ?，令Z=min{X，Y}，则Z服从的分布律为（ ）

1/21/2??单项选择题（3分/题）

把10本书随机地放入书架，则其中一套三卷书从左到右依顺序放在一起的概率为（ ）

A.8! B.10!2?8! C.10!2?7! D.10!7! 10!2、设A、B是两事件，B?A,P(A)?P(B),P(B)?0,则下式正确的是（ ）

A.P(BA)?1 B.P(BA)?1 C.P(AB)?1 D.P(AB)?1

3、设某电子元件寿命X服从指数分布e（1/2）（单位：千小时），X1，X2，……X50为来自总体X的容量为50的样本，有中心极限定理，其寿命之和Z??Xii?150近似服从（ ）分布。

A.N(2,4/50) B.N(10,0200) C.N(50,10)0 D.N(100,400)

4、已知随机变量

X~B(100,0.4)，由切比雪夫不等式，有P(X?40?20)?（ ）

A.0.84 B.0.94 C.0.86 D.0.96

1X?(X1?X2?X3)，则由抽样分布

35、设总体

X~N(1,3),X1,X2,X3为来自X的样本，记

定理，概率P(0?X?2)?（ ）

2?(1)?1 C.?(1) D.1??(1)

A.二、

2?2?(1) B.解答题

1、（9分）有甲、乙两箱产品，甲箱中有10件正品5件次品；乙箱中有8件正品7件次品；今随机地取出一箱，再从该箱中随机取出一件产品。求：（1）取到次品的概率，（2）若取出后发现是次品，求该次品是由甲箱取出的概率

??0,x?0???2、（12分）设随机变量X的分布函数为F(x)??Atgx,0?x?

3???1x??3?求：（1）A=？ （2）F（x）的密度f（x）；

（3）概率P(X??4) （4）若Y=eX，求FY（y）

3、（9分）某次高考成绩X（1） （2） （3）

~N(450,1002)

任取一名考生，求其高考成绩在600分以上的概率；

任取10名考生，用二项分布计算至少2名考生成绩超过600分的概率； 任取100名考生，用Poisson分布计算至少2名考生成绩超过600分的概率。

附正态分布表： x Ф（x） 1 0.8143 1.5 0.9332 2 0.9772 4、（16分）如图，设二维随机变量（X，Y）在G上服从均匀分布，求（1）写出（X，Y）的联合密

y 1 X+Y=1 G 0 度；（2）E（X），E（Y），D（X），D（Y），Cov（X，Y）；（3）ρ

x?1???f(x;?)???e??0x 1 （4）问XY；

X与Y是否独立？

5、（10分）设总体X有密度

x?0x?0 ，其中?未知，X1,X2......Xn是

?，并证明以??估计?是无偏的。 样本。求?的极大似然估计?6、（9分）某车床加工零件的直径（单位：cm）

11.32 11.45 11.38 11.36 11.50 11.40 11.45 11.54 （1）求零件直径平均直径的95%置信区间；

（2）检验能否认为这批零件的平均直径比11.50cm偏小？（α=0.05） （置信限精确到小数点后2位） 附：t分布表

X~N(?,?2),从一批加工的零件中任取8个，测得直径如下：

pn780.951.89461.85950.9752.36462.3060

7（5分）设X，Y独立同分布于U（0，2），令Z=X+Y，求Z的密度函数。

四川大学试卷（B卷） 概率论与数理统计

一、 填空（20/2）

1．

一盒中有16个球，其中10个木质球，6个玻璃球。木质球中有3个红球，7个白球；玻璃球中有2个红球，4个白球。今从盒中任取一球，记A=“取到白球”，B=“取到玻璃球”，则P(BA)?—————

D(X)?—————

2． 设随机变量X在[0，4]上均匀分布，则

(E(X))23．

设X有密度函数f(x)?122?e?(x?1)28,则E(2X?X)?—————

24． 设

X1,X2,?Xn是来自总体

X~N(?,?2)的样本，设统计量

Y?1?2?(Xi?1ni??)2，则Y服从——————分布。

1，则D（3X-2Y）35．

设X，Y是随机变量，已知方差D（X）=4，D（Y）=9，相关系数?XY= ——————

?6．

设随机变量X服从二项分布B（100，0.2），应用切比雪夫不等式，有P(X———————

?20?10)?—

7．

??c1?X~e()X,X,?X设1的样本，记2n是来自指数分布总体

?为?的无偏估计，则应有c=—————

?kX,k?1n?成k若要?8．

设总体X服从Γ（4，5），X1,X2,?Xn是来自总体X的样本，

1X?n9．

?Xi?1ni是样本均值，则由切比雪夫大数定律，X依概率收敛于

——————

设某商品价格X与销售量Y有关系2X+Y=1，则X与Y的相关系数

?XY?——————

10． 设（X，Y）有联合分布律

X Y1200.20.110.40.3，

则协方差cov（X，Y）=——————

二、（8分）

设随机变量X，Y相互独立，且都服从[1，3]上的均匀分布，再设A，B分别表示事件{X?a},{Y?a}，且P(A?B)?3，求a的值。 412三、（12分）设随机变量X有密度f(x)?（1） 计算概率P(X?3)；

?(1?x),x?R

3（2） 设Y?X?1,求Y的密度fY(y)；

（3） 写出X的分布函数。 四、（18分）设二维连续型随机变量（X，Y）有联合密度函数

?6y,(x,y)?Gf(x,y)??else，其中G由直线y=x，x轴，及x=1围成。 ?0（1） 求E（X），E（Y）；

（2） D（X），D（Y）； （3） Cov（X，Y），?XY。

五、某保险公司开办大病医疗保险，公司规定：每个健康人可投保300元，若10年内投保人因大病住院，由保险公司一次性赔付3万元。设共有2万名健康人参与投保，且经调查，一个健康人10年内得大病的概率为千分之五。利用中心极限定理计算这期间内该保险公司至少获利200万元的概率。 附：正态分布表（略，自己查书）

六、（8分）设有两总体X~N（15，36），Y~N（10，51），从中分别抽取两个容量为10，15的样本，求样本均值差的绝对值小于6的概率。正态分布表（略，自己查书）

七、（12分）设总体X有密度函数

x?1?2?,x?0?ef(x)??2??x，

?0else?其中θ为未知参数，

X1,X2,?Xn是来自总体X的容量为n的样本，

（1） 求θ的极大似然估计

??；

（2） 证明这个估计量是无偏的。

八、（10分）冷抽铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10根，测得折断力数据如下：（单位kg） 57.8，57.2，57.0，56.8，57.2，57.5,59.6,58.3,56.4,58.5

(1)求平均折断力的置信度为95%的置信区间(取小数点后2位); (2)能否认为这批铜丝的平均折断力大于57kg?(α=0.05) 附:t分布表(略,自己查书)

k九、（4分）设X1,X2,?Xn是来自总体X的简单随机样本，已知E(X)??k,k?1,2,3,4.证明：

1Z?当n充分大时，随机变量nn

?i?1nXi2近似服从正态分布，并指出其参数。

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