新第一章 索罗增长模型

第一章

索罗增长模型

关于索罗(Solow, RobertM., 1924—)生于美国的纽约， 1951年获得哈佛大学的经济 学博士学位。从1949年开始 在麻省理工学院任教，1996 年退休。因对经济增长理论 作出的杰出贡献而获得1987 年诺贝尔经济学奖。

序言：总体概要

索罗模型又称作新古典经济增长模型、外生经济增长模型，是在新古典经济学 框架内的经济增长模型，是Solow于1956年首次创立的，用来说明储蓄、资本积累 和增长之间的关系。自建立以来，这一模型一直是分析以上三个变量关系的主要 理论框架。 (一)模型变量 外生变量：储蓄率、人口增长率、技术进步率 内生变量：投资 模型的数学表达 其中，K——资本；L——劳动；A——技术发展水平；I——毛投资；S——储蓄；k— —有效劳动投入之上的资本密度；s——边际储蓄率；n——人口增长率；g——技术进 步率；δ——资本折旧率；y——有效劳动投入之上的人均国内生产总值。 (二)模型评价 在索罗模型中，较高的储蓄导致较快的经济增长，但是，这只是暂时的。储 蓄率的提高会加快经济的增长直到新的稳定状态为止。如果经济保持高储蓄率， 也就会保持大量的资本存量和高产出水平，但并不能永远保持高经济增长。 介于此，储蓄率即一国贫困和富有的关键因素(实际上，这只是其中的一个 因素) 经济增长的路径是稳定的。黄金律稳定状态，资本的边际产量—折旧率=人口 增长率 对该模型的批评评论 储蓄率不是常数，决定储蓄率和相应的投资取决于经济个体的决策，即家庭 和厂商效用最大化的权衡。

第一节

经济增长的现象

一、常见的变化生活水平在不同时间的巨大差异 中国 ：30年的变化 城市：变大、变高、变多、变好 农村：以前的砖窑土房边成楼上楼下，电灯电话 洋房洋车 增长问题的重要性 生活水平差异——福利差异：营养、居住环境、医疗、预期寿命， 长期经济增长速度的差异对福利的影响更大

坚信中国将在25年以后超过美国成为世界第一大经济体。 即2030年前后。一个伟大的民族终究会找到感觉，进而影 响整个世界。 “ 一旦一个人开始思考(经济增长)问题，他就不会再 考虑任何其他问题。”--——卢卡斯

二、对经济增长的理论解释 本章主要讨论传统的经济增长模型，索罗 模型。 所有增长问题研究的出发点 与索罗模型从根本上不同的理论，也需要通过 和索罗模型的比较才能得到理解。

索罗模型的主要结论： 实物资本的积累既不能解释人均产量随时间 的大

幅度增长，也不能解释不同地区间人均产量 的巨大差别。 对于真实收入差距的其他来源，该模型要么将 其看成外生的，从而在此模型中不予解释(如技 术进步),要么根本不予考虑( 资本的外部性)。 因此，索罗模型事实上并不能解释增长理论的 核心问题(否定性命题)。 为了解决增长理论的核心问题，我们必须超越 索罗模型。

三、现代经济增长理论扩展和修正了索罗模型。

第一类扩展将使通过引入个人的最优化，使储蓄 率成为内生变量。 拉姆齐模型 戴维德模型 其理论意义在于： (1)表明了索罗模型中关于增长理论的核心问题 的结论并不依赖于储蓄率不变的假定。 (2)通过引入个人决策，使人们可以考虑福利问 题。怎样的增长路径是最优的？消费与积累 动态最优化。

第二类扩展和修正更具根本性。这类理论对增长 理论核心问题所提供的答案不同于索罗模型。它们 偏离索罗模型的基本方式有两种： (1)使技术进步成为内生的。 增长的出现：经济当事人有意识投资于知识生产 的结果。 (2)索罗模型大大低估了资本的作用。 实物资本 、人力资本、资本积累正的外部性

第二节

假定

一、投入与产出 索罗模型包含四个变量： 产量(Y)、资本(K)、劳动(L)、知识(劳动有效 性)(A) 。在任一时间中，经济中有一定量的资本、 劳动和知识，它们被结合起来生产产品。 生产函数 ：Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 两个特点 (1)时间通过K,L,A进入生产函数 (2)A与L以相乘的形式进入 AL 有效劳动

二、关于生产函数的假设 (1)规模报酬不变： F(cK,cAL)=cF(K,AL),对于c≥0 含义(两个假设):

(整体)经济足够大，专业化收益被穷尽； 其他投入品(除资本、劳动、与知识，如自然资源) 相对不重要。在自然资源有限的情况下，规模报酬递减。

规模报酬不变允许我们用紧凑形式： 令c=1/AL, 则有： F(K/AL,AL/AL) = F(K/AL,1) =1/AL*F(K,AL)=Y/AL 定义：有效劳动的人均资本k=K/AL, 有效劳动人均产量y=Y/AL, 则有 y = f(k)(生产函数的密集形式) 含义：每单位有效劳动的平均产量仅仅取决 于单位有效劳动的平均资本。

(2)边际产出递减 f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0,f’(k)是资本 的边际产品。 【证明】 Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数： 资本的边际产品为： Y ALf ' (k ) 1 f ' (k )

K

AL

有效劳动的边际产品为： Y K f (k ) ALf ' (k )[ ] f (k ) kf ' (k ) 2 ( AL) ( AL)

(3)稻田条件：

f(k)

lim k o f ' ( k )

lim k f '

(k ) 0k

资本存量足够小时，资本的边际产品很大 资本存量足够大时，资本的边际产品很小

三、一个特殊的生产函数：柯布-道格拉斯F ( K , AL) K ( AL) 1

0 1

这一生产函数易于应用，并且是对实际生产函数的一个好 的初步近似。 规模报酬不变： 生产函数的密集型式 f(k)=kα f’(k)=αkα-1 f’’(k)=α(α -1)kα-2 (小于0)

四、生产投入品的变动 劳动、知识、资本如何随着时间变动？ 该模型中，时间是连续的(而非离散的)。 资本、劳动和知识的初始水平被看做既定。 劳动和知识以不变的速度增长： (1)劳动力的增长：(t ) / L(t ) [ dL(t ) / dt] / L(t ) n L (2)知识的增长：A(t ) / A(t ) [dA(t ) / dt ] / A(t ) g

(解释：一个变量上面加一点表示其对时间的导数)

其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为 外生参数，表示不变增长速度。

索罗模型是一个高度简化(假设)的模型： 1. 一种产品 2.没有政府 3.没有就业波动 4. 三种投入品的生产函数 5. 储蓄率、折旧率、人口增长率、技术进步率 不变 不足：忽视了现实世界的许多明显特征，其中部 分特征对于增长是重要的。

经济模型的目的不是接近现实？。 我们已经拥有的一个完全现实的模型—— 这个 世界本身。但是这一模型太复杂，复杂的我们难 以理解。 其实： 一个模型的目的在于为理解这个世界的 特定特征(而非全部特征)提供见解。 如果一个简化性假定使得一个模型对所探讨的问 题给出了不正确的答案，那么缺乏现实性可能是 一个缺点、一个重要原因。(即使在这种情况下， 这种简化也可能是一个有用的参照点，因为它在 一个理想情境中明确展示了这个世界的这些特征 的后果)。

但是，如果这种简化并未使得该模型对所 探讨的问题给出不正确的答案，那么，缺乏现 实性可能是个优点：这种简化使得问题更易于 理解。(自己)更有利于我们分析问题。

第三节 索罗模型的动态学

在前面描述的模型中，劳动与知识的变动 是外生的。为描述该经济的行为，我们必须分 析第三个投入品即资本的行为。

一、k的动态学 (1)k(t)的动态方程 K (t ) 已知 k (t )

A(t ) L (t )

先做变换，两边取自然对数

ln k (t ) ln K (t ) ln A(t ) ln L(t )对t求导数，得：

k (t ) K (t ) A(t ) L(t ) k (t ) K (t ) A(t ) L(t )

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