排列&组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式

排列 A------和顺序有关

组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分

例如 把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法 "组合" 1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示.

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示.

c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

n!/(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列（Anm(n为下标，m为上标)）

Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n

组合（Cnm(n为下标，m为上标

)）

Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

2008-07-08 13:30

公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！-阶乘 ，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例：

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三

位数？

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝A（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法．

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？

解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴ 符合题意的不同排法共有9种．

点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲

的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了 封信；②是组合问题，共需握手 （次）．

（2）①是排列问题，共有 （种）不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有 种不同的商；②是组合问题，共有 种不同的积．

（4）①是排列问题，共有 种不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．

例４ 证明 ．

证明 左式

右式．

∴ 等式成立．

点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化．

例5 化简 ．

解法一 原式

解法二 原式

点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

例6 解方程：（1） ；（2） ．

解 （1）原方程

解得 ．

（2）原方程可变为

∵ ， ，

∴ 原方程可化为 ．

即 ，解得

第六章 排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

(一)加法原理乘法原理

说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.

例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=3(种)

(二)排列、排列数公式

说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶数共有( )

A.60个 B.48个 C.36个 D.24个 解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A2；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排

13法有A3;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A3，得

131A3A3A2＝36(个)

由此可知此题应选C.

例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为 15

3A3=9(种).

例四 例五可能有问题，等思考 1

三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )

A.140种 B.84种 C.70种 D.35种

解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C4·C5

21种；甲型2台乙型1台的取法有C4·C5种

根据加法原理可得总的取法有

C4·C5+C4·C5=40+30=70(种 )

可知此题应选C.

例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?

解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C8种；

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有1C5种；

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方

2式有C4种； 3222112

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2

2项工程的方式有C2种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C 8×C5×C4×C2= ×1=1680(种).

(四)二项式定理、二项展开式的性质

说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.

例6 在(x- )的展开式中，x的系数是( )

A.-27C10 B.27C10 C.-9C10 D.9C10 解 设(x- )的展开式中第γ+1项含x，

因Tγ+110664641063122=Cγ

10x10-γ(- )，10-γ=6,γ=4

444γ于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C10(- )=9C10

故此题应选D.

例7 (x-1)-(x-1)＋(x-1)-(x-1)+(x-1)的展开式中的x的系数等于 23５２

解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为

在(x-1)中含x的项是C6x(-1)=-20x，因此展开式中x的系数是-2 0.

(五)综合例题赏析

例8 若(2x+ )=a0+a1x+a2x +a3x+a4x，则(a0+a2+a4)-(a1+a3)的值为( ) 4234226333332

A.1 B.-1 C.0

D.2

解：A.

例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )

A.6种 B.12种 C.18

种 D.24种

解 分医生的方法有A2＝2种，分护士方法有C4=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。

应选B.

例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有( ).

A.140种 B.84种 C.70种 D.35种

解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

∵C4·+C5·C4=5×6+10×4=70.

∴应选C.

例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有( )

A.27种 B.48种 C.21种 D.24种

解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

∵C3·C 7+C3=3×7+3=24，

∴应选D. 11222122

例12 由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( ).

A.210个 B.300个

C.464个 D.600个

解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有A5·A 55=600个.

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

∴有 ×600=300个符合题设的六位数.

应选B.

例13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ).

A.70个 B.64个

C.58个 D.52个

解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C8=70个. 其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB1C1 )的有4组.

∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)

应选C.

例14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( ).

A.12对 B.24对

C.36对 D.48对

解：设正六棱锥为O—ABCDEF. 41

任取一侧棱OA(C6)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对. ∴共有C6×4=24对异面直线.

应选B.

例15 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为顶点的三角形共 个(以数字作答).

解：7点中任取3个则有C7=35组.

其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).

∴三角形个数为35-3=32个.

例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则 的值为 。

解 10个元素的集合的全部子集数有：

S＝C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C010=2 10=1024 其中，含3个元素的子集数有T=C10=120

故 =

例17 例17 在50件产品 n 中有4件是次品，从中

任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共 种(用数字作答).

解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”. ∴C4·C46+C4·C46=4186(种)

例18 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、 丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有

( ).

A.1260种 B.2025种 3241301234567891311

C.2520种 D.5040种

解：先从10人中选2个承担任务甲(C10)

再从剩余8人中选1人承担任务乙(C 8)

又从剩余7人中选1人承担任务乙(C 7)

∴有C10·C 8C 7=2520(种).

应选C.

例19 集合｛1，2，3｝子集总共有( ).

A.7个 B.8个 C.6个 D.5个

解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数

C3，由二个元素组成的子集数C3。

由3个元素组成的子集数C3。由加法原理可得集合子集的总个数是

C3+C3+C3+1=3+3+1+1＝8

故此题应选B.

例20 假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有( ).

A.C3C197种 B.C3C197 +C3C197

C.C200-C197 D.C200-C 3C197

解：5件中恰有二件为次品的抽法为C3C197，

5件中恰三件为次品的抽法为C3C197，

∴至少有两件次品的抽法为C3C197+C3C197. 2332322355514232332123312211112

应选B.

例21 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是( ).

A.C8C8 B.A2C8C8 C.A8A8

5315353

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d7sm.html