2012年广州市普通高中毕业班综合测试文科数学(一)

2012广州市一模文科数学

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1

．函数y

D． 1,

A． , 1 B． , 1 C． 1,

2．已知复数a bi i 1 i （其中a,b R，i是虚数单位），则a b的值为

A． 2 B． 1 C．0 3．如果函数f x sin x

D．2

的最小正周期为，则 的值为 0 26

A．1 B．2 C．4 D．8

4．在△ABC中， ABC 60，AB 2，BC 3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的

概率为 A．

1112 B． C． D． 6323

5．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 ．．．

A

B

．C．8 D．12

正(主)视图

侧(左)视图

x y 2≥0,

6．在平面直角坐标系中，若不等式组 x y 2≥0,表示的

x≤t

俯视图

图1

平面区域的面积为4，则实数t的值为

A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知幂函数y m 5m 7x

2

m2 6

在区间 0, 上单调递增，则实数m的值为

2012广州市一模文科数学

A．3 B．2 C．2或3 D． 2或 3

8．已知两个非零向量a与b，定义a b absin ，其中 为a与b的夹角．若a= 3,4 ， b= 0,2 ，

则a b的值为

A． 8 B． 6 C．6 D．8 9．已知函数f x 2x 1，对于任意正数a，x1 x2 a是f x1 f x2 a成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．已知圆O：x2 y2 r2，点P a，b （ab 0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直

线为l1，直线l2的方程为ax by r2 0，那么

A．l1∥l2，且l2与圆O相离 B．l1 l2，且l2与圆O相切 C．l1∥l2，且l2与圆O相交 D．l1 l2，且l2与圆O相离

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

2

11．若函数f x lnx ax 1是偶函数，则实数a的值为．

12．已知集合A x≤x≤3，B xa≤x≤a 3，若A B，则实数a的取值范围为．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小

石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22， ，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1 1，第2个五角形数记作a2 5，第3个五角形数记作第4个五角形数记作a4 22， ，若按此规律继续下去，则a5 若an 145，则n ．

a3 12，

22 1 5 12

图2

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，

2012广州市一模文科数学

CP1

，则CD的长为cm． CD3

15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的

OP 3cm，弦CD过点P，且

参数方程分别为l：

x t 2, x 1 s,

（s为参数）和C： （t为参数）， 2

y t y 1 s

若l与C相交于A、B两点，则AB ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x) tan 3x

． 4

f 2，求cos2 的值． 34

（1）求f

的值； （2）若9

17．（本小题满分12分）

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考

试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分

成六段： 40,50 ， 50,60 ， ， 90,100 后得到如图4的

频率分布直方图．

（1）求图中实数a的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在 40,50 与 90,100 两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差

的绝对值不大于10的概率．

18．（本小题满分14分）

图4

如图5所示，在三棱锥P ABC中，AB BC 平面PAC 平面ABC，PD AC于点D，

AD 1，CD 3，PD 2．

（1）求三棱锥P ABC的体积； （2）证明△PBC为直角三角形．

19．（本小题满分14分）

A

D图5

已知等差数列 an 的公差d 0，它的前n项和为Sn，若S5 70，且a2，a7，a22成等比数列．

2012广州市一模文科数学

（1）求数列 an 的通项公式； （2）设数列

1 13

≤T 的前项和为，求证：． Tn nn

68 Sn

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x) x3 ax2 b a,b R ． （1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若对任意a 3,4 ，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围． 21．（本小题满分14分）

y2

1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，

已知椭圆x 4

2

的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T． （1）求曲线C的方程；

（2）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1 x2 1；

uuruur

（3）设 TAB与 POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且PAgPB≤15，求S12 S22

的取值范围．

2012广州市一模文科数学

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中

14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

11．0 12． 0,1 13．35，10 14

．

15

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f

tan 1分

34 9

tan 3分

1 tantan

34

tan

2 4分

3

tan 5分

44 34

（2）解法1：因为f

tan 6分

tan 2． 7分

2012广州市一模文科数学

所以

sin

2，即sin 2cos ． ① cos

2

2

因为sin cos 1， ② 由①、②解得cos

22

1

． 9分 5

所以cos2 2cos 1 11分

13

2 1 ． 12分

55

解法2：因为f

3

tan 5分

44 34

tan 6分

tan 2． 7分

所以cos2 cos sin 9分

2

2

cos2 sin2

10分 22

cos sin 1 tan2

11分 2

1 tan

1 43

． 12分 1 45

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以10 (0.005 0.01 0.02 a 0.025 0.01) 1． 1分 解得a 0.03． 2分 （2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1 10 (0.005 0.01) 0.85． 3分

由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640 0.85 544人． 5分 （3）解：成绩在 40,50 分数段内的人数为40 0.05 2人，分别记为A，B． 6分

成绩在 90,100 分数段内的人数为40 0.1 4人，分别记为C，D，E，F． 7分 若从数学成绩在 40,50 与 90,100 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有： A,B ， A,C ， A,D ， A,E ， A,F ， B,C ， B,D ， B,E ， B,F ， C,D ，

2012广州市一模文科数学

C,E ， C,F ， D,E ， D,F ， E,F 共15种． 9分

如果两名学生的数学成绩都在 40,50 分数段内或都在 90,100 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 40,50 分数段内，另一个成绩在 90,100 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：

A,B ， C,D ， C,E ， C,F ， D,E ， D,F ， E,F 共7种． 11分

所以所求概率为P M

7

． 12分 15

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC AC， PD 平面PAC，PD AC，

所以PD 平面ABC． 2分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB BC， 所以BE AC．

因为AB BC AC 4，

所以

BE

4分

所以△ABC

的面积S ABC 因为PD 2，

1

AC BE ． 5分 2

11

S ABC PD 2 7分 33所以三棱锥P ABC的体积VP ABC

（2）证法1：因为PD AC，所以△PCD为直角三角形．

因为PD 2，CD 3，

所以PCP

9分

连接BD，在Rt△BDE中，

o

因为 BED

90，BE ，DE 1，

所以

BD

A

E

10分

由（1）知PD 平面ABC，又BD 平面ABC， 所以PD BD．

在Rt△PBD中，因为 PDB 90，PD

2，BD ，

所以

PB

o

12分

2012广州市一模文科数学

在

PBC中，因为BC

PB

2

2

2

PC ，

所以BC PB PC． 13分 所以 PBC为直角三角形． 14分

o

证法2：连接BD，在Rt△BDE中，因为 BED 90，BE ，DE 1，

所以

BD

8分

P

在△BCD中，CD

3，BC

BD ，

222

所以BC BD CD，所以BC BD． 10分

由（1）知PD 平面ABC， 因为BC 平面ABC， 所以BC PD． 因为BD PD D，

A

E

所以BC 平面PBD． 12分 因为PB 平面PBD，所以BC PB．

所以 PBC为直角三角形． 14分 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列 an 是等差数列，

所以an a1 n 1 d，Sn na1

n n 1

d． 1分 2

S5 70, 5a1 10d 70,

依题意，有 2即 3分 2

a7 a2a22. a1 6d a1 d a1 21d .

解得a1 6，d 4． 5分 所以数列 an 的通项公式为an 4n 2（n N）． 6分

*

（2）证明：由（1）可得Sn 2n2 4n． 7分

所以

1111 11 2 ． 8分 Sn2n 4n2nn 24 nn 2

11111 L S1S2S3Sn 1Sn

所以Tn

2012广州市一模文科数学

1 1 1 11 4 3 4 21 1 1

4 4 31 5 1

n4

1

n1

1 11 1

9分

1n4n 2

1 111

1 4 2n 1n 2 3 8

1 11

． 10分

4 n 1n 2

因为Tn

331 11

T ，所以． 11分 0n 884 n 1n 2

因为Tn 1 Tn 所以Tn T1

1 11

0，所以数列 Tn 是递增数列． 12分

4 n 1n 3

1

． 13分 6

13

所以 Tn ． 14分

68

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：因为f(x) x ax b，所以f (x) 3x 2ax 3x x

3

2

2

2a

． 1分 3

当a 0时，f (x) 0，函数f(x)没有单调递增区间； 2分 当a 0时，令f (x) 0，得0 x 故f(x)的单调递增区间为 0,当a 0时，令f (x) 0，得

2a． 3

2

a ； 3分 3 2a

x 0． 3

故f(x)的单调递增区间为

2

a,0 ． 4分 3

综上所述，当a 0时，函数f(x)没有单调递增区间；

当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为 0,

2 a ； 3

当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为

2

a,0 ． 5分 3

2012广州市一模文科数学

（2）解：，由（1）知，a 3,4 时，f(x)的单调递增区间为 0,

2 2

单调递减区间为 ,0 和 a, ． a ，3 3

6分

所以函数f(x)在x 0处取得极小值f 0 b， 7分

2a

函数f(x)在x 处取得极大值

3

2a 4af b． 8分

327

3

由于对任意a 3,4 ，函数f(x)在R上都有三个零点，

f

所以

f

0 0,

b 0, 3即 10分 4a 2a 0. b 0.

27 3

4a3

b 0． 11分 解得 27

4a3 4a34 33

因为对任意a 3,4 ，b 恒成立，所以b 4． 13分

272727 max

所以实数b的取值范围是 4,0 ． 14分

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得A( 1,0)，B(1,0)． 1分

y2

设双曲线C的方程为x 2 1 b 0 ，

b

2

b 2．

1

y2

1．所以双曲线C的方程为x 3分 4

2

（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi 0，yi 0，i 1,2），直线AP的斜率为k（k 0），

则直线AP的方程为y k(x 1)， 4分

2012广州市一模文科数学

y k x 1 ,

联立方程组 5分 y22

1. x

4

2222

整理，得4 kx 2kx k 4 0，

4 k24 k2

解得x 1或x ．所以x2 ． 6分 22

4 k4 k4 k2

同理可得，x1 ． 7分

4 k2

所以x1 x2 1． 8分

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi 0，yi 0，i 1,2）， 则kAP

y1y2

，kAT ． 4分 x1 1x2 1y12y22y1y2

，即． 5分 kAT，所以22

x1 1x2 1 x1 1 x2 1

2

1

因为kAP

y12y222

1，x2 1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x 44

2222

即y1 4x1 1，y2 41 x2． 6分

所以

4 x12 1

x1 1

2

4 1 x22

x2 1

2

，即

x1 11 x2

． 7分

x1 1x2 1

所以x1 x2 1． 8分 证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y

y1

(x 1)， 4分 x1 1

y1 y x 1 , x 1 1

联立方程组 5分

2

x2 y 1. 4

222222

4(x 1) yx 2yx y 4(x 1) 0， 整理，得 1 111 1

4(x1 1)2 y12

解得x 1或x ． 6分 22

4(x1 1) y1

2012广州市一模文科数学

114(x1 1)2 y12

将y 4x 4代入x ，得，即． x x 2

x1x14(x1 1)2 y12

2

1

21

所以x1 x2 1． 8分 （3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi 0，yi 0，i 1,2），

则PA 1 x1, y1 ，PB 1 x1, y1 ．

因为PA PB 15，所以 1 x1 1 x1 y12 15，即x12 y12 16． 9分

y12

1，所以x12 4x12 4 16，即x12 4． 因为点P在双曲线上，则x 4

21

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1 x1 2． 10分

111

|AB||y2| |y2|，S2 |OB||y1| |y1|， 222

122222222

所以S1 S2 y2 y1 4 4x2 x1 1 5 x1 4x2． 11分

4

因为S1

由（2）知，x1 x2 1，即x2 设t x12，则1 t 4，

1． x1

S12 S22 5 t

设f t 5 t

4． t

44 2 t 2 t ，则f t 1 2 ， 2ttt

当1 t 2时，f t 0，当2 t 4时，f t 0， 所以函数f t 在 1,2 上单调递增，在 2,4 上单调递减． 因为f 2 1，f 1 f 4 0，

22

所以当t 4，即x1 2时，S1 S222

当t

2，即x1S1 S2

min

f 4 0． 12分

max

f 2 1． 13分

所以S12 S22的取值范围为 0,1 ． 14分

2222

说明：由S1 S2 5 x1 4x2 5 4x1x2 1，得S1 S2

22

max

1，给1分．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d7re.html