二元一次方程组集体备课

第七章 二元一次方程组

１．谁的包裹多

1.教学目标 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是

某个二元一次方程组的解.

2.教学重点 二元一次方程组的含义。

3.教学难点 判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识.

第一环节：情境引入 （一） 情境1

在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

（二）情境2

昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？

第二环节：新课讲解，练习提高 内容：二元一次方程概念的概括

提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：

①含有两个未知数；②所含未知数的项的次数是一次.

再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习： 1.下列方程有哪些是二元一次方程：

2（1）x?3y?9?0，（2）3x?2y?12?0，（3）3a?4b?7，

（4）3x?1y?1，（5）3x?x?2y??5，（6）

m?1m2?5n?1.（7）2xy+x=5

2.如果方程2x?3y2m?n?1是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ . （二）二元一次方程组概念的概括

师提请学生思考：上面的方程x-y=2，x+1=2(y-1) 中的x含义相同吗？y呢？（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同.）由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成

?x?y?2,，从而得出二元一次方程组的概念：像这样含有两个未知数的两个一次方程所???x?1?2y?1.?

1

组成的一组方程.如：??2x?3y?3,?x?3y?0; ??5x?3y?8,?x?y?8.

注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个量. 判断下列方程组是否是二元一次方程组：

?x2?y?1,?x?2y?1,?x?7y?3,（1）? （2）? （3）?

3x?5y?12;3y?5z?1;x?3y?5;???（4）??x?y2?x??5,?1,?2a?3b?1,?y （5）? （6）?

?2;?5ab?2b?3.?3x?8y?12;?（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念

1.x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？

2. x=5, y=3适合方程5x+3y =34吗？x=2, y=8呢？

3.你能找到一组值x, y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.

由学生回答上面3个问题，老师作出结论：

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解. 如x=6, y=2是方程x+y=8的一个解，记作??x?6,?y?2 ；同样，??x?5,?y?3也是方程x+y=8的一个

解，同时??x?5,?y?3 又是方程5x+3y=34的一个解.

二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 例如，??x?5,?y?3就是二元一次方程组??x?y?8,?5x?3y?34的解.

1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程x?3y?1的解？

?x?2,?y?3;?x?4,?y?1;?x?10,?y?3;?x??5,?y??2.（A）? （B）? （C）? （D）?

2.二元一次方程2x?3y?28的解有：

?x?_____,?x?5,?x?_____,?x??2.5,? ? ? ? 7?y?.y?_____.y?_______.y??2.????3?

2

3.二元一次方程组??x?2y?10,?y?2x?x?3,?y?6;的解是（ ）

（A）??x?4,?y?3; （B）? （C）??x?2,?y?4; （D）??x?4,?y?2.

4.以??x?1,?y?2为解的二元一次方程组是（ ）

（A）??x?y?3,?3x?y?1; （B）??x?y??1,?3x?y??5; （C）??x?2y??3,?3x?5y??5; （D）??x?y??1,?3x?y?5.

5.二元一次方程x?y?6的正整数解为 .

?x?1,?y?2?x?2y?m,?3x?y?n6.如果?是?的解，那么m＝ ，n＝ .

7.写出一个以??x?2,?y??3为解的二元一次方程组为 .

8．已知方程(a?3)xa?2?yb?1?5?0是关于x，y的二元一次方程，则a= b=

9．已知方程(m-2)x+my=1是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范围是 . 10．已知方程(k2?4)x2?(k?2)x?(k?6)y?k?8是关于x，y的二元一次方程。当k为何值时为一元一次方程？当k为何值时为二元一次方程？

第三环节：课堂小结

1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.

3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.

第四环节：布置作业 习题7.1

第七章 二元一次方程组

２．二元一次方程组的解法（一）

1.教学目标

1. 会用代入消元法解二元一次方程组.

2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 2.教学重点 用代入消元法解二元一次方程组.

3.教学难点 在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

3

引入

?x?y?2,（一节的实际问题） 1.解方程组??x?1?2(y?1);2.已知x?3y?6?0,用含x的代数式表示y为：用含y的代数式表示x为

新课

一、解下列方程组(1) ??3x?2y?14,?x?y?3; (2)??2x?3y?16,?x?4y?13.

?2012x?3001y?5013,(3) ?(整体代入法)

2012x?4001y?6013.?二、总结：

1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”. 3.解上述方程组的步骤：

第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.

第五步：把方程组的解表示出来.

第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立. 4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.

三：布置作业 基础训练

1.已知3x?2y?6?0,用含x的代数式表示y为：

4

用含y的代数式表示x为 2.已知方程组??2x?y?m?1,?x?y?n?4的解是??x?1,?y?2.则m? ，n? .

3.已知代数式x2?px?q,当x??1时，它的值是－5；当x??2时，它的值是4,求p，q的值.

?3x?5y?2a,?2x?7y?a?184.方程组?的解互为相反数，求a的值.

5.已知??x??1,?x??2,都是方程ax?by?0?b?0?的解，求m的值. ?y?my?2;??6.若(2x－y)2与x?2y?5互为相反数，则(x－y)2005 = 。

?ax?by?2,?cx?3y??2.?x?1,?y??1.7.甲、乙两位同学一同解方程组?甲正确解出方程组的解为?而乙因为看错

了c，得解为??x?2,?y??6.试求a,b,c的值.

第七章 二元一次方程组

２．二元一次方程组的解法（二）

1.教学目标

1．会用加减消元法解二元一次方程组.

2.让学生在自主探索和合作交流中，进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.

3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.

4．通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法. 2.教学重点 用加减消元法解二元一次方程组.

3.教学难点 在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

?3x?5y?21第一环节：情境引入内容：巩固练习，在练习中发现新的解决方法?

2x?5y??11?学生可能的解答方案1： 解1：把②变形，得：x?把③代入①，得：3?解得：y?3.

把y?3代入②，得：x?2.

5y?112, ③

5y?112?5y?21,

5

所以方程组的解为?

?x?2?y?3.

学生可能的解答方案2： 解2：由②得5y?2x?11, ③

把5y当做整体将③代入①，得：3x??2x?11??21, 解得：x?2.

把x?2代入③，得：y?3. 所以方程组的解为??x?2?y?3.

（此种解法体现了整体的思想） 学生可能的解答方案3： 解3：根据等式的基本性质 方程①+方程②得：5x?10, 解得：x?2,

把x?2代入①，解得：y?3, 所以方程组的解为??x?2?y?3.

通过上面的练习，比较三种解法的优缺点。 引入方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. 第二环节：讲授新知 例 解下列二元一次方程组??2x?5y?7?2x?3y??1巩固练习??2x?3y?12?3x?4y?17

?2x?3y?12用加减消元法解，?

3x?4y?17?内容3：议一议

根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题： (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？ (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

6

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：

①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．

②加减消元，得到一个一元一次方程. ③解一元一次方程．

④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．

注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.

第三环节：巩固新知

1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.

2.只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.

⑵完成课本随堂练习 ⑶补充练习： ①选择：二元一次方程组??3x?2y?4?5x?2y?6的解是（ ）.

?x??1?x?1?x??1?x?1???A.? B. ?1 C. ?1 D. ?1 ?y??1?y???y???y?222???②x?y?2??2x?3y?5??0，求x,y的值.

2第四环节：课堂小结

内容1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.

2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等． 3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：

①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．②加减消元．③解一元一次方程． ④求另一个未知数的值，得方程组的解． 第五环节：布置作业 1.课本习题7.3

7

1.解下列二元一次方程组：

q?p??2,??2x?3y?2,?2a?b?9,?5s?2t?25,?7296⑴? ⑵?⑶? ⑷? ?2x?y?18;?3a?b?11;?3s?4t?15;?p?q?1;??7296?x?1y??1,?3a?2ba?5b2a?b?2?32⑸ ? ⑹???.

435x1??y?2?0;??242.已知方程x?y?1??x?y?3??0，则x,y的值分别是 .

?2x?3y?k,3.已知关于x,y的方程组?的解x,y的和为6，求k的值.

3x?2y?k?2?24. 当m为何整数时，方程组??2x?y?7,?ax?y?b?2x?my?8,?x?2y?3?x?by?a,?3x?y?8的解是正整数？并求出这时方程组的解.

5.已知方程组?和?有相同的解，求a,b的值.

?x?y?z?26,?6.解三元一次方程组： ?x?y?1,

?2x?y?z?18;?7.若2a7x?yb与?1713ab22x?3y是同类项，则x?__,y?___

参考答案：

7?x?7,a?4,s?5,p?108,x?,?????a?2,?1.⑴?⑵?⑶?⑷?⑸? 2⑹?y?4;b?1;t?0;q??48;b??1.?????y??1;???x?1,2.x??1,y?2. 3.k?14. 4.m?6,? 5.a?1,b?2. 6.x?10,y?9,z?7.

y?1.?第七章 二元一次方程组

３．鸡兔同笼

?

?

知识目标 1.在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能； 教学重点 根据等量关系列二元一次方程组解应用题.

第一环节：引入课题

内容1：例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

提问：（1）\上有三十五头\的意思是什么？\下有九十四足\呢？

（2）你能解决这个有趣的问题吗？

1.用一元一次方程求解

小结：一元一次方程解法优点： 思维便捷些.

8

一元一次方程解法不足：计算较复杂. 2.用二元一次方程求解：

小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单. 用二元一次方程组解答不足：计算复杂些.

内容2：随堂练习1

列方程解古算题：\今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？

第二环节：典型例题

内容1： 例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井

深各几何？ 内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤

根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：

1） 审清题意，设未知数;2） 弄清各个量之间的关系，找出等量关系; 3） 列出方程，联立方程，得二元一次方程组;4） 5） 作答.

解二元一次方程组;

内容3：随堂练习2

古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，不知人数不知银.只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？ 第三环节布置作业 习题7.4 1，2 一、填空题

1.已知甲库存粮x吨,乙库存粮y吨.若从甲库调出10吨给乙库,乙库的存粮数是甲库存粮数的2倍,则以上用等式表示为_______.

2.兄弟两人,弟弟五年后的年龄与哥哥五年前的年龄相等,3年后兄弟两人的年龄和是他们年龄之差的3倍,则兄弟两人今年的岁数分别是________.

3.两抵相距300千米,一艘船航行与两地之间.若顺流需15时,逆流需用20时,则船在静水中速度和水流速度分别是_______.

4.现有面值总和为570元的人民币50元和20元的共15张,问其中50元人民币和20元人民币分别有_____张. 二、选择题

5.一张试卷有25道题,做对一题得4分,做错一题扣1分,小明做了全部试题得70分,则他做对的题数是( ).(A)16 (B)17 (C)18 (D)19

6.某校150名学生参加数学考试,平均分55分,其中及格学生平均77分,不及格学生平均47分,则不及格的学生人数为( ) .(A)49 (B)101 (C)110 (D)40 三、解答题

7.某校办工厂有工人60名,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,能使生产出的螺栓和螺

母刚好配套? 8.六一儿童节,某动物园的成人门票8元,儿童门票半价(即每张4元),全天共售出门票3000张,共收入15600元,问这天售出成人票和儿童票多少张?

四、 探究升级

9．100元钱买15张邮票，其中有4元、8元、10元的三种，有几种买的方法？

答案:1.y?10?2(x?10). 2.17岁和7岁. 3.17.5千米/时, 2.5千米/时. 4.9张和6张. 5.D. 6.C. 7.25个和35个. 8.900张和2100张.

9

9.有三种:4元、8元、10元的邮票分别为6张、7张、2张，或7张、4张、4张 ，或8张、1

张、6张.

第七章 二元一次方程组

４．增收节支

●教学重点1．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．

2．学会用图表分析较复杂的数量关系问题。 ●教学难点

将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。

第一环节：创设情境，导入新课

创设问题情景，引导学生思考，导入课题 1．开商店

小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春

装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？

2．购物

新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐

福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗？（最优化决策）

最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 第二环节：新课讲解 知识回顾：填一填

1. 某工厂去年的总产值是x万元, 今年的总产值比去年增加了20%, 则今年的总产值

是__________万元;

2. 若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是

__________万元; 3. 若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________________. (1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780 经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b

(其中:a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减) 例题探索

例1 ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，

总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？ 去 年 今 年

解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则 今年的总产值=（1+20%）x万元，

10

总产值/万元 x (1+20%) x 总支出/万元 利润/万元 200 780 y (1-10%) y

今年的总支出=（1—10%）y万元。 由题意得:

,?x?y?200??(1?20%)x?(1?10%)y?780.(1)(2)?x?2000,解得 ?y?1800.?答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元。

议一议：还可以设间接未知数吗？（根据学生情况和教学安排选用） 设今年的总产值为x万元，总支出为y元 去 年 今 年 总产值/万元 x1?20%总支出/万元 y1 ?10%利润/万元 200 780 x y 通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列方程时，应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法。 例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单

位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解：设每餐需要甲、乙两种原料各x, y克，则有下表： 其中含蛋白质量 其中含铁质量

甲原料x克 0.5x单位 乙原料y克 0.7 y单位 0.4 y单位 所配制的营养品 ３５单位 ４０单位 x单位 (1)(2)由上表可以得到的等式： ?0.5x?0.7y?35, ??x?0.4y?40.化简得：

5x?7y?350??

,(3)(4)

（1）×2得 10x+14y=700 (5) (5)－(4)得 10y=300

y=30

将y=30代入(3)得 x=28

答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。 第三环节：练习提高、合作学习；

1．育才学校去年有学生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走读学生减少了2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名?

设去年有寄宿学生x名,走读学生y名,则可列出方程组为 。 分析：找出等量关系.

去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名

今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００ ×（１＋４.４％）

题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２ × ３的表格来分析 寄宿学生 走读学生 学生总数 去年 今年 解：

11

?10x?4y?400.x （１＋６％）x y （１－２％）y ３１００ ３１００ × （１＋４.４％） ?x?y?3100, ?(1?6%)x?(1?2%)y?3100?(1?4.4%).?2．编题 有一个方程组：??x?y?3100,?(1?6%)x?(1?2%)y?3100?(1?4.4%).

你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？ 第四环节：问题解决；

解决问题一

小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？ 分析：找出等量关系.

题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２ × ３的表格来分析 上衣成本＋裤子成本＝５００元 上衣利润＋裤子利润＝１５７元

解：设上衣的成本价为ｘ元，裙子的成本价为ｙ元： 上衣 裤子 成本（元） 实际售价（元） 0.9?(1?50%)x0.9?(1?40%)y利润（元） 0.9?(1?50%)x?x 0.9?(1?40%)y?yx y 解：设上衣的成本价为x元，裙子的成本价为y元，则上衣利润 x 0.9? (1 ? 50 %)? x元， 裤子利润为0.9(1+40%)y-y元，依题意得

x+y=500，

0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%)y-y=１５７。 整理得:

x+y=500 ， ??① 35x+26y=１５７00. ?? ② ②－① ×26,得9x=２700, ∴x =３００.

把其代入①，得y=500－３００=２００

x=３００，

y=２００.

答：上衣成本３００元，裙子成本２００元。 解决问题二

新年来临爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。

你能帮助他吗？ 最优化决策：

聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通

12

用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 提示：书包单价92元，随身听单价360元。 2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×

810=361.6（元）

∵ 361.6<400

∴可以选择在人民商场购买。

在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，

共花现金360+2=362（元）。

因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。 因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。 基础训练

① 为了拓展销路，商店对某种照相机的售价了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价为多少元？ 1710元 ② 某种商品进价为a元，商店将价格提高30％作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折（即售价的80％）的价格开展促销活动.这时一件商品的售价为 （ C ） A. a元 B. 0.8a元 C. 1.04a元 D. 0.92a元

提高训练

③ 新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。

你能帮助他吗？ 最优化决策：

聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 提示：书包单价92元，随身听单价360元。 （2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×∵ 361.6<400 ∴可以选择在人民商场购买。

在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）。 因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买。 因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱。 拓展提升

④ 打广告（金帝美滋滋巧克力广告视频）

金帝美滋滋巧克力想电视台在黄金时段的2min 广告时间内， 计划插播长度为15s和30s

两种广告．据了解15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每1播次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，你能帮助决策 （1）两种广告的播放次数有几种安排方式吗？ （2）电视台选择哪种方式播放收益较大呢？

13

810=361.6（元）

解:设播长度为15s的广告x次,30s的广告Y次,收入为W,根据题 意 ?15x?30y?120,?

?w?0.6x?y,?

?x?2,

?y?2.?

?x?2,?x?4,解得：? ?

y?3.y?2.??W=0.6x+ y =0.6x+(120-15x)÷ 30

=0.1x+4.

所以当x=4时,W取得最大值W=0.1×4+4=4.4万元.

第七章 二元一次方程组 ５．里程碑上的数

● 知识与技能目标

用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．

第一环节：复习提问内容：填空：

（1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 ；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 ．

（2）一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．

（3）有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ． 第二环节：情境引入内容：第234页的引入题 第三环节：合作学习内容：例1

两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．

学生先独立思考例1，在此基础上，教师根据学生思考情况组织交流与讨论． 第四环节：巩固练习

1．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？

2．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在

14

右边所得的数之和为8484．求这个两位数． 第五环节：

1．一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（ ）．

（A）971 （B）917 （C）719 （D）791

2．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得方程组 ，这个两位数是 .

3．某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．

4．有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72．求这两个两位数．

5．一个正整数，分别加上100与168，可得到两个完全平方数，求这个正整数． 参考答案：1．B.2．??x?y?7,?10x?y?45?10y?x; 16．3．火车长为200m，速度为20m/s.

4．这两个两位数分别为21和10. 5．156．

基础训练 ①甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数． 提高训练 ②某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零件300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？

拓展提升 ③一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？ 解： 设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得：

(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2)， xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2， xV1＝5V1， ∵V1≠0，∴x＝5. 答：乘客5分钟后发现掉了物品. 注：这里的辅助未知数是V1和V2.

15

第七章 二元一次方程组

6．二元一次方程与一次函数（一）

2．教学重点（1）二元一次方程和一次函数的关系；（2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系．

3．教学难点 数形结合和数学转化的思想意识． 第一环节: 设置问题情境，启发引导

?x?0,?x?5,?x?2,内容：1．方程x+y=5的解有多少个？?是这个方程的解吗？ ??y?5;y?0;y?3??? 2．点（0，5），（5，0），（2，3）在一次函数y＝?x?5的图像上吗？

3．在一次函数y=?x?5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗？

由此得到本节课的第一个知识点： 二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：

（1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上； （2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程． 第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系 内容：1．解方程组??x?y?5,?2x?y?1.

2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y=?x?5和y=2x?1,在同一直角坐标系

内分别作出这两个函数的图像． 3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？由此得到本节课的第2

个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法；

（1） 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；

（2） 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方

程组的解． （3） 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．

注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组． 第三环节 典型例题

y探究方程与函数的相互转化

?x?2y??2,例1 用作图像的方法解方程组?

2x?y?2.??y?ax?b,例2 如图，直线l1与l2的交点坐标是 ．?的解是 ?y?kx?c.l2-1-2l1x第四环节 反馈练习

1．已知一次函数y?kx?5与y?3x?b的图像的交点为p(2,?3),则k?____,b?_____． 2．已知一次函数y?2x?a与y??x?b的图像都经过点A（—2，0），且与y轴分别交于B，C两点，则s?ABC的面积为（ ）． （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

16

3．(1)求两条直线y?3x?2与y??2x?4和x轴所围成的三角形面积． (2)求两条直线y?3x?2与y??2x?4和y轴所围成的三角形面积．

?x?y?2,没有解，则一次函数y=2-x与y=1.5-x的图象必定（ ）??2x?2y?3.4.已知方程组 A.重合 B.平行 C.相交 D.无法判断5．如图，两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解？并求解 第五环节 作业布置

1．已知函数y?2x?1与y?3x?2的图象交于点P，则点P的坐标为（ ）．(A)（－7，－3） (B)（3，－7）(C)（－3，－7）(D)（－3，7） 2．已知直线y??12x?b与直线y?x相交于点?2,m?，则b,m的值分别

12,2 (D) ?12,3

为（ ）．(A) 2，3 (B) 3，2 (C) ?3．如图，直线y??43x?8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一

点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B?处，则直线AM的解析式为 ．

4．已知：一次函数y?kx?b的图象与正比例函数y?13x的图象交于点A，并且与y轴交于点

B（0，－4），△AOB的面积为6，求一次函数的解析式．

5．如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将?ABC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB=8，AB=4． （1）求AC所在直线的函数关系式；

（2）求点E的坐标和?ACE的面积；

（3）求点D的坐标，并判断点（8，?4）是否在直线OD上，说明理由．

6．二元一次方程与一次函数（二）

教学重点 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 教学难点 建立数形结合的思想． 第一环节 复习引入

内容：(1)二元一次方程组与一次函数有何联系?(2) 二元一次方程组有哪些解法？ 第二环节 设计实际问题情境，导入新课

内容：教材议一议

A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？ 第三环节 典型例题，探究一次函数解析式的确定

内容：例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．

17

（1） 写出y与x之间的函数表达式； （2） 旅客最多可免费携带多少千克的行李？

（旅客最多可免费携带30千克的行李）．

例2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.

（1） 分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式； （2） 若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户

十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？ 解：（1）当０≤x≤15时，设y?k1x，根据题意得 27?15k1，解得k1?95y（元） 39 27 O 12x（吨）

所以当０≤x≤15时，y?95x；

当x＞15时，设y?k2x?b，根据题意，可得方程组

12??27?15k2?b,12?k2?,y?x?9． 解这个方程组，得?所以当x＞15时，?5539?20k?b.2???b??9.（２）当x＝10时，代入y?第四环节 练习与提高

95x中，得y=18．当y=51时，代入y?125x?9中，得x=25．

１. 图中的两条直线l1，l2的交点坐标可以看做方程组 的解答案：

?x?y?4, ??2x?y??1.y 4 3 2 1 o 1 l12. 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂 物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量 为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3 千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关 系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度． 答案：y?0.5x?14.5 当x＝４是，y＝16.5 第五环节 课堂小结

l22 3 4 x 一、函数与方程之间的关系．

二、在解决实际问题时从不同角度思考问题，就会得到不一样的方法，从而拓展自己的思维． 三、掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y?kx?b(k?0)； 2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组； 3．解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式. 第六环节 布置作业 习题7·8

１．小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学

18

校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：

（1）小文走了多远才返回家拿书？

（2）求线段AB所在直线的函数解析式；

（3）当x?8分时，求小文与家的距离．

２．A，B两地相距50km，甲于某日下午13：00骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地。如图，折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的里程s与该日下午时间

t之间的关系．

（1）甲出发多少小时，乙才开始出发？

（2）乙行驶多少小时就追上了甲，这时两人离B地还有多少千米？

3．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用一吨水生产的饮料利润y（元）

是一吨水的价格x（元）的一次函数，根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，一吨水生产出的饮料的利润是多少？ 一吨水的价格x/元 用一吨水生产的饮料所获利润y/元 方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；

方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装工工资等其他费用合计3000元．设学校需要电脑x台，方案1与方案2的费用分别为y1，y2元． （1）分别写出y1，y2的函数解析式；

（2）当学校添置多少台电脑时，两种方案的费用相同？

（3）若我们学校需要添置台电脑50台，你认为采用哪一种方案较省钱？说说你的理由． 5．如图①，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，

到D停止；点Q从D出发，沿D、C、B、A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(秒)的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(秒)的函数关系图象．(1)参照图②，求a、b及图②中c的值；(2)求d的值；

5.解：（1） a＝6 b＝2 c＝17（2）5 +

16d4 6 198 200 ４．我们学校准备添置一批电脑，有两个方案可供选择：

+1+

10d=22 d＝1

19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d7np.html