交通分析习题课（运筹学）

习 题

第二章 线性规划习题

2－1 某桥梁工地需集合料3万立方米，集合料含量为：粘土含量不大于0.8％，细沙含量在5％～8％之间，粗沙含量在60％～70％之间，砾石含量在20％～30％之间，现有材料数量及单价如下表所示。 33粘土 细砂 20000 15 粗砂 25000 12 砾石 10000 7 现有存储量（m） 2000 单价（元/ m） 4

问如何配料才能使集合料的总成本费用最低？（试列出数学模型）。 2—2 将下列线性规划问题化成标准型：

① maxS?4x1?5x2?x4

?4x1?x2?30?4x?3x?3x?x?801234??s.t.?4x2?4x3?x4??10

?3x3?4x4?8???x1,x2,x3,x4?0② minS?3x1?4x2?3x3?x4

?x1?x4?40?x?x?x?40123??s.t.?x1?x2?x4??40

?3x2?4x3?8???x1,x2?0,x3?0 2—3 用图解法求解下列线性规划问题：

maxS?2x1?5x2

?x1?4?x?3?s.t.?2

x?2x?82?1??x1,x2?0（答案：S??19，X???2,3?T。）

1

2—4 用单纯形法求解下列线性规划问题 ① minS?4x1?3x2?8x3

?x1?x3?2? s.t.?x2?2x3?5

?x,x,x?0?123

（答案：S??15，X??(0,5,0,)T。） ② maxS?x1?2x2?3x3?x4

?x1?2x2?3x3?15?2x?x?5x?20?3 s.t. ?12

x?2x?x?x?101234???x1,x2,x3,x4?0

（答案：S??15，X??(5/2,5/2,5/2,0)T。）

第三章 特殊类型的线性规划习题

3－1用表上作业法求解以下运输问题。

产地 销地 A 2 4 6 3 B 4 3 3 3 C 7 2 5 2 D 6 5 4 2 产 量 5 2 3 10 甲 乙 丙 销 量 3－2某市区交通愿望图有三个始点和三个终点，始点发生的出行交通量ai，终点吸引的交通量bj及始终点之间的旅行费用如下所示。问如何安排出行交通量fij才能使总的旅行费用为最小？

始点 终点 D1 5 10 9 20 D2 4 4 8 30 D3 2 7 4 50 ai 30 40 30 Σ100 O1 O2 O3 bj 3－3某运输公司有5辆汽车分别担负五条运输线的运输任务，由于车辆性能、路线等级及司机水平不同，不同车辆在不同运输线上所需的运输费用是不一样的，试问如何分配

2

这五辆汽车才能使总的运输费用最少？

车辆 运输线 R1 5 7 3 6 7 R2 6 4 4 7 9 R3 9 6 5 4 8 R4 3 3 3 9 10 R5 4 5 6 7 5 T1 T2 T3 T4 T5 3－4用隐枚举法求解下列规划问题： min S?4x1?3x2?2x3

?2x1?5x2?3x3?4?4x?x?3x?3?23 s.t ?1

x?x?123???x1,x2,x3?1或0 (答案：min S=2，x1=0，x2=0，x3=1)

3－5用分支定界法求解下列问题

max S＝－2x1＋x2

?x1?x2?0??3x?x?3?12s.t ?

x?2x?302?1??x1，x2?0，整数

(答案：max S＝6，x1＝3，x2=12)

3

第四章 图论习题

4-1 求下列各图的最小树

题4-1图

4-2 某市区六个居民点的分布如题图4-2图所示，现需沿道路在六个居民点之间辅设煤气管线，试求使管道总长度为最佳的最佳辅设方案。 （图中连线为现状道路网）

4-3 某地区七个城镇间的公路交通网如题图4-3图所示，试用标号法计算从A城到G城的最短路线。

（图中弧旁数据为公路长度）

题4-2图 题4-3图

4-4 在题4-4图中，用标号法计算A点到H点的最短路

4-5 在题4-5图中，求任一点至另一任意点之间的最短路线。

4

题4-4图 题4-5图 4-6 在题4-6图所示的网络中，弧旁的数据为(Cij,fij)：

① 确定所有的割集； ② 求最小割量； ③ 求出网络最大流。

4-7 某地区的公路交通网络如题图4-7图所示，弧旁数据为路段通行能力（即容量，百辆/小时），试求网络通行能力（即最大流）。

题4-6图 题4-7图

4-8 某矿区有两个堆料场x1、x2及三个货运码头y1，y2，y3，堆料场的原媒通过如题4-8图所示的交通网络运送到码头。试确定从堆料场到码头的最大运送能力。 4-9 某地区的公路交通网络如题4-9图所示，弧旁数据为(bij,cij)（bij为行驶费用，cij为容量）。试求该交通网络的最小费用最大流。

题4-8图 题4-9图

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第五章 排队论习题

5－1 某信号交叉口的车辆到达符合泊松分布，平均到达率为300辆/小时，信号交叉口的红灯时间为30秒，车辆遇到红灯时必须排队。试计算每个周期红灯期末车辆排队长度超过10辆的概率及没有车辆排队的概率。

5－2在某公路收费所处，车辆以泊松分布到达，平均到达率为30辆/小时，收费所收费的时间服从负指数分布，平均服务时间为1.5分钟，试求： ① 在收费所前没有车辆等待的概率。 ② 排队车辆的期望值。 ③ 收费所排队系统中的车辆数。 ④ 车辆在系统中花费的平均时间。 ⑤ 系统中车辆超过3辆的概率。

⑥ 当车辆在系统中花的平均时间超过7.5分钟时，需再增设一个收费所，问车辆平均到达率增大到多少时才需增设第二个收费所？

5－3 利用生灭过程求解以下排队系统各状态的概率。

2 S0 3

2 S1 4

S2 3 S3

2

5－4 汽车通过一检查站时进行验证。汽车按泊松分布到达检查站，平均间隔0.6分钟，验证时间平均为15秒（验证时间服从负指数分布）。请分析该排队系统，求该排队系统各状态对应的概率，以及队长、排队长、顾客逗留时间、顾客等待时间等运行指标。 5－5 某服务机构只有一个服务员，平均每小时有三个顾客到来，接待一个顾客可得16元，服务机构单位时间的成本为4u元，若顾客到达间隔时间和服务时间都是负指数分布，试问服务能力u多大时，收入最多？（服务机构内不能排队）。

（提示，收入E?3P0?16?4u，答案u?3)

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第六章 预测习题

6－1 某地区历年综合货运量（万吨/年）的调查结果见下表，试采用时间序列法预测该地区2010年综合货运量。

年份 1989 1990 1991 1992

6－2 某城市道路交通调查结果见下表，其中x代表机动车车头间距(m)，y为平均车速(Km/h)。请根据该调查资料建立平均车速与车头间距的一元线性回归方程，并预测当机动车车头间距为50米时的平均车速。

编号 x(m) y(Km/h)

6－3 某机非混行的城市道路，经调查后得到一组机动车平均车速y(Km/h)与机动车交通量x1（辆/h）、非机动车交通量x2（辆/h）数据，见下表。试建立机动车平均车速与机动车交通量、非机动车交通量的二元线性回归方程，并预测机动车交通量、非机动车交通量分别达到100、3000（辆/h）时的机动车平均车速。 编号 y x1 x2

6－4 公交车辆的车况随使用时间而变化。现将公交车辆的车况分为四个等级：S1—车况良好、S2—需要小修、S3—需要大修、S4—需要报废。根据经验，得到正常使用下车况转移概率表（见下表）。某公交公司第一年处于S1、S2、S3、S4四种状态的公交车辆数分别为100、150、50、20辆，试分别预测正常使用下第二年、第三年末该公司需要报废的公交车辆数。

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综合货运量（万吨/年） 3988 4327 4822 5818 年份 1993 1994 1995 1996 综合货运量 （万吨/年） 6352 7023 7745 8455 年份 1997 1998 1999 2000 综合货运量 （万吨/年） 9395 10201 10870 11816 1 30.60 33.40 2 34.31 37.85 3 38.00 42.17 4 42.72 47.83 5 44.90 51.50 1 17.3 80 3445 2 16.6 77 3250 3 15.4 101 3116 4 12.6 115 3685 5 77 2899 6 79 3372 7 91 3498 8 17.6 66 3336 9 16.6 99 3151 10 15.02 123 3324 18.27 17.44 16.06 S1 S2 S3 S4

S1 0.85 0.00 0.00 0.00 S2 0.13 0.75 0.00 0.00 S3 0.02 0.20 0.80 0.00 S4 0.00 0.05 0.20 1.00

第七章 决策习题

7－1 为改善某交叉口的交通状况，提出了三个方案：方案A：建设高标准立交桥，投资最大，收益也最大；方案B：建设简易立交桥，投资较少，收益也较少；方案C：改建原有设施，调整车流运行方式，加强交通管理，投资最少，收益也最少。预测未来该交叉口交通量的增长情况有三种：迅速增长、一般增长和缓慢增长。各方案相对于不同交通量增长情况的效益净现值如下表。

方案 状态 迅速增长 150 100 -50 一般增长 80 60 20 缓慢增长 -70 -30 40 A B C 试分别采用悲观准则、乐观准则、折衷准则、等可能性准则进行决策。

7－2 在上题中，经过分析，认为未来该交叉口交通量三种增长情况出现的概率分别为：迅速增长的概率为0.35，一般增长的概率为0.45，缓慢增长的概率为0.2。试分别采用最大可能准则和期望值准则选择合适的建设方案。

7－3 某物流中心拟建设一个货物中转仓库，有两个方案可以选择。一是投资10000万元，一次建成大仓库，货源好时年收益3000万元；货源差时年亏损600万元。二是先建小仓库，投资5000万元，货源好时年收益1200万元，货源差时每年仍能收益400万元；5年后若货源好则扩建成大型仓库，追加投资5000万，年收益3000万元。两个方案的经营期均为15年。预测前5年货源好的概率是0.65，若前5年货源好，则后10年货源好的概率是0.8；若前5年货源差，则后10年的货源肯定差。试用决策树法进行决策。

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