相似三角形存在性问题

- -

- 总结 因动点产生的相似三角形问题

例1 2015年市宝山区嘉定区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A (2, m )．

（1）求k 与m 的值；

（2）此双曲线又经过点B (n , 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E 在射线CB 上运动，可以体验到，△ACE 与△ACD 相似，存在两种情况．

思路点拨

1．直线AD //BC ，与坐标轴的夹角为45°．

2．求△ABC 的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE 与△ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A (2, m )代入y ＝x ＋2，得m ＝4．所以点A 的坐标为(2, 4)．

将点A (2, 4)代入k y x

=

，得k ＝8． （2）将点B (n , 2)，代入8y x =，得n ＝4． 所以点B 的坐标为(4, 2)．

设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2．

所以点C 的坐标为(0,－2)．

由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离

和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB ＝22，BC ＝42，∠ABC ＝90°． 图2

- -

- 总结 所以S △ABC ＝12BA BC ?＝122422

??＝8． （3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD ＝22，AC ＝210．

由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ．

所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：

①如图3，当CE AD CA AC

=时，CE ＝AD ＝22． 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．

②如图4，当CE AC CA AD =时，21021022

=．解得CE ＝102．此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．

图3 图4

考点伸展

第（2）题我们在计算△ABC 的面积时，恰好△ABC 是直角三角形．

一般情况下，在坐标平面计算图形的面积，用割补法．

如图5，作△ABC 的外接矩形HCNM ，MN //y 轴．

由S 矩形HCNM ＝24，S △AHC ＝6，S △AMB ＝2，S △BCN ＝8，得S △ABC ＝8．

图5

- -

- 总结 例2 2014年市中考第24题

如图1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．

（1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；

（2）如图2，连接AQ 、CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；

（3）试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“1424”，拖动点P 运动，可以体验到，若△BPQ 可以两次成为直角三角形，与△ABC 相似．当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．PQ 的中点H 在

△ABC 的中位线EF 上．

思路点拨

1．△BPQ 与△ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．

2．作PD ⊥BC 于D ，动点P 、Q 的速度，暗含了BD ＝CQ ．

3．PQ 的中点H 在哪条中位线上？画两个不同时刻P 、Q 、H 的位置，一目了然．

满分解答

（1）Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10．

△BPQ 与△ABC 相似，存在两种情况：

① 如果BP BA BQ BC =，那么510848

t t =-．解得t ＝1． ② 如果BP BC BQ BA =，那么588410t t =-．解得3241

t =．

图3 图4

（2）作PD ⊥BC ，垂足为D ．

- -

- 总结 在Rt △BPD 中，BP ＝5t ，cos B ＝45

，所以BD ＝BP cos B ＝4t ，PD ＝3t ． 当AQ ⊥CP 时，△ACQ ∽△CDP ．

所以AC CD QC PD =，即68443t t t -=．解得78

t =．

图5 图6

（3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ．

由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点．

又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ．

因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点．

所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上．

例3 2012年市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444

b y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“1229”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

- -

- 总结 思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4

b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．

如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55

)．

图2 图3

（3）由2111(1)(1)()4444

b y x b x x x b =

-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．

当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b b =-．解得843b =±Q 为(1,23)． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

因此△OCQ ∽△QOA ．

当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA CO OA =，即1

4

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

- -

- 总结

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．

例5 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1

）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/d7b4.html