电磁场与电磁波习题及答案.doc

1

麦克斯韦方程组的微分形式

uv uv uv

uv

是 ： . uuv uv

D ,

B ,

B 0

H J E

,

t

g

t

uv

gD

2 静电场的基本方程积分形式为：

uv uuv

uv uuv

g

?C Egdl

S D ds

?

3 理想导体（设为媒质

2）与空气（设为媒质 1）分界

面上，电磁场的边界条件为：

r

r

e n D S

3. r r 0

e n B

r r 0

e n E

r r r

e n H J S

4 线性且各向同性媒质的本构关系方程是：

uv

uv uv uuv uv uv

4. D

E ,B H ,J

E

5 电流连续性方程的微分形式为：

r

5.

gJ

t

2

6 电位满足的泊松方程为 ；

在两种完纯介质分界面上电位满足的边界

。

1 1 2

2 1

2 n

n

7 应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是 : 唯一性定理 。

8. 电场强度 E

的单位是 V/m ，电位移 D 的单位是 C/m2 。

9 ．静电场的两个基本方程的微分形式为

E 0

gD

；

10. 一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的

库仑力作用外还将受到安培力作用

uv

1. 在分析恒定磁场时，引入矢量磁位 A ，并令

uv

uv uv

）

的依据是（

B 0

B

A g

2. “某处的电位0 ，则该处的电场强度 E 0 ”

的说法是（错误的 ）。

3. 自由空间中的平行双线传输线， 导线半径为 a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为

（

C 1

）。

D

a )

ln( a

4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2

）。

5. N 个导体组成的系统的能量

W

1 N ，其中i

q i

i

2 i 1

是（除 i 个导体外的其他导体）产生的电位。

6. 为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电

流密度 J ，其国际单位为（ a/m2 ）

7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）

分布。

8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。

8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度 dB 随

该点到电流元距离变化的规律为（

1/r2

）。

10. 半径为 a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存

于 （整个空间 ）。

三、海水的电导率为 4S/m ，相对介电常数为 81，求频

率为 1MHz 时，位幅与导幅比值？

三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：

r r

E

e x E m cos t

r

r r

则位移电流密度为：

D 0 r

E m sin t

J d

t

e x

其振幅值为： J dm 0 r

E m

4.5 10 3 E m 传导电流的振幅值为： J cm

E m 4E m

因此：J dm

1.125 10 3

J

cm

四、自由空间中， 有一半径为 a 、带电荷量 q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布； （ 2）导体球的电容。

（15 分）

四、解：由高斯定理

uuv uuv

q uuv v

v q

?S DgdS q

得

D

4 r 2

D e r D e r 4 r 2

uuv

uuv

v r

空间的电场分布 D q E

e

0r 2 0

4

导体球的电位

UE gdl

uuv uuv

v q uuv q E gdr

a

e r 2 gdr a

a

4 0r 4 0a

导体球的电容 C

q

4

a

U

五、两块无限大接地导体板分别置于 x=0 和 x=a 处，

其间在 x=x0 处有一面密度为

C/m 2 的均匀电荷分

布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。 （20 分）

解：d 2

1

d 2

2

dx 2

0 x x 0

;

dx 2

x 0

x a 得：

1

x

C 1x

D 1

0 x x 0 ;

2 x C 2 x D 2

x 0 x a

1

x 和 2 x 满足得边界条件为

1

0,

2

a

0;

1 x

2 x 0

,

2

x

x

解得

C

x 0 a

D 0,

x 0 D 2

x 0

,

C 2 ,

1

0a

0 a

所以

1

x

a x

x

0≤ x ≤ x 0 ,

a

2

x

x 0 a x

x 0 ≤ x ≤ a

a

uuv

1

x

v d

1

x

v a x 0

0 x x 0

E 1

e x

dx

e x

a

uuv 2

x

v d 2

x

v x 0

x 0 x a

E 2

e x

dx

e x

a

六、有一平行金属板电容器，极板面积为

l × b ，板间

距离为 d ，用一块介质片（宽度为

b 、厚度为 d ，介电

常数为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。设极 板间外加电压为 U0，忽略边缘效应，求介质片所受的 静电力。

六、解：平行板电容器的电容为：

C

(l x)b bx 所以电容器内的电场能量为：

d

d

W e

1

CU 02 bU 02 [ 0 (l x) x]

2 2d

由

F i

W e

不变 可求得介质片受到的静电

g i

力为： F x

W e U 0 不变

b(0 )U 02 x

2d

1．旋度矢量的 恒等与零梯度矢量的 恒等与零。

2．在静电场中，导体表面的电荷密度

与导体外的电

位函数 满足 的关系式 。

3．极化介质体积内的束缚电荷密度与极化强度之间的关

系式为

。

4．若密绕的线圈匝数为

N ，则产生的磁通为单匝时的

倍，其自感为单匝的

倍。

5．如果将导波装置的两端短路，

使电磁波在两端来回反

射以产生振荡的装置称为 。

6．电介质的极性分子在无外电场作用下，

所有正、 负电

1

x

荷的作用中心不相重合，而形成电偶极子，但由于电偶x x

x

极矩方向不规则，电偶极矩的矢量和为零。在外电场作

用下，极性分子的电矩发生

________________ ，使电偶

极矩的矢量和不再为零，而产生

__________ 。

7．根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，

只要满

足给定的 _______ 条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的

解是 __________。

8．谐振腔品质因素

Q 定义为 _______________ 。

9 ． 在导电媒质中，电磁波的传 播速度（相速） 随

改变的现象，称为色散效应。

10．在求解静电场的边值问题时，常常在所研究的区域

之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，这种求解

方法称为

法。

11．若电介质的分界面上没有自由电荷，则电场和电位

移应满足的边界条件分别为

， 。

12．电磁波的恒定相位点推进的速度，称为

，

而包络波上某一恒定相位点推进的速度称为

。

13 在任何导波装置上传播的电磁波都可分为三种模式，

它们分别是

波、 波和 波

判断题

1．应用分离变量法求解电、 磁场问题时， 要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。 （）

2．一个点电荷

Q 放在球形高斯面中心处。如果此电荷

被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电

通量将会改变。 （）

L

3．在线性磁介质中，由

I

的关系可知，电感系数不

仅与导线的几何尺寸、材料特性有关，还与通过线圈的

电流有关。（

）

4．电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，

反射系数

与

透射系数 之间的关系为 1+ = 。（）

5．损耗媒质中的平面波， 其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。 （）

6. 均匀平面波中的电场能量与磁场能量相等。

（）

7 位移电流和传导电流都是电荷定向运动形成的。

（）

8．在时变电磁场中， 只有传导电流与位移电流之和才是

连续的。（）

9．若有两个带电导体球的直径，

与球间距离差不多， 它

们之间的静电力等于把每个球的电量集中于球心后所形

成的两个点电荷之间的静电力。 （）

第三套 1 ．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导

磁率为

，则磁感应强度 B

和磁场 H 满足的方程为：

。

2 ．设线性各向同性的均匀媒质中，

2

称为

方程。

3．时变电磁场中，数学表达式

S

E H 称为

。

4．在理想导体的表面， 的切向分量

等于零。

5．矢量场

A(r )

穿过闭合曲面

S 的通量的表达式为：

。

6．电磁波从一种媒质入射到理想

表面时，

电磁波将发生全反射。

7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的 积分等于

。

8．如果两个不等于零的矢量的

等于零，则此

两个矢量必然相互垂直。

9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向 三者符合

关系。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场

是无散场，因此，它可用 函数的旋度来表

示。

B

11．已知麦克斯韦第二方程为

E

t ，试说明其物理

意义，并写出方程的积分形式

11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。

其积分形式为： E dl

B dS

C

S

t

12．试简述唯一性定理，并说明其意义。

12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉

斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。 它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。

13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。

13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。

群速 v g 与相速 v p 的关系式为：

v g

v p dv p

1

v p d

14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 14．答：位移电流：

J d

D

位移电流产生磁效应代

t

表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。

三、计算题 （每小题 10 分，共 30 分）

15．按要求完成下列题目

（ 1）判断矢量函数

B 2

?

? 是否是某区域的

y e x

xze y

磁通量密度？（ 2）如果是，求相应的电流分布。

解：（ 1）根据散度的表达式

B

x

B

y

B

z

将矢

B

x

y

z

量函数 B 代入，显然有 B 0 故：该矢量函数为某

区域的磁通量密度。

（ 2）电流分布为：

J 1

B

（2分）

?x ?y

?z

e

e

e

x y z

（2分）

y 2 xz 0

1

xe?x 2 y

z e?z

（1分）

16 ． 矢 量

A

?

? ? ，

2 e x e y

3 e z

B

? ? ? ，求（ 1） A B （2） A B

5e x 3e y e z

解： 1

? ? ? 2

AB103310

A B 7e x 2e y 4e z

17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式

为 E

e?x 3E 0 e?y 4E 0 e jkz

1. 试写出其时间表达

式； 2. 说明电磁波的传播方向；

解：（ 1）该电场的时间表达式为： E z,t

Re Ee j

t

E z t

e E 0 e E 0 cos t kz

,

?x 3 ?y 4

由于相位因子为

e jkz ，其等相位面在 xoy 平面，传播

方向为 z 轴方向。

18．均匀带电导体球，半径为

a ，带电量为 Q 。试求

球内任一点的电场球外任一点的电位移矢量

解：（ 1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导

体表面， 由高斯定理可知在球内处处有：

D dS 0

S

故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 E 0r

a

由于电荷均匀分布在 r

a 的导体球面上， 故在 r

a

的球面上的电位移矢量的大小处处相等，

方向为径向， 即 ? ，由高斯定理有

即

D D 0 e r D dS

Q

S

4 r 2 D 0

Q 整理可得：

?

Q

?

r a

D D 0e r 4 r 2

e

r

19．设无限长直导线与矩形回路共面， （ 1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（画×） ；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面， 求通过矩形回路中的磁通量。

解：建立如图坐标

通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即

为 e y

方向。在 xoz 平面上离直导线距离为 x 处的磁感

?

应强度可由下式求出： B dl 0 I 即： B ? 0 I

e y 2 x

c

通过矩形回路中的磁通量

d b a / 2

I

0 Ia

d

B dS

ln

dxdz

S

x d z a / 2

2 x

2

d b

20．解：（ 1）由于所求区域无源，电位函数满足拉普 拉斯方程设：电位函数为

x, y ，满足方程：

2

x,y

2

2 0 （ 2）利用分离变量法：

2

2

x

y

d 2 f

k x 2 f

x, y f x g y

dx

2

根据边界条件

d

2

g

2

g

dy 2 k y

k x 2

k y 2

x 0

x a y

0 ， x, y 的通解可写为：

n

n

y

x, y

A n sin x e

a

n

1

a

A n sin n U 0 y 0

x

再由边界条件：

n 1

a

求得 A

2U 0 1 cosn π

n A

n

n

槽内的电位分布为

2U 0

n n

y

x, y

1 cosn πsin x e a

1

n 1

n a

．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为

，则电位移矢量

D

和电场

E 满足的方程为：

。

2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为 ，媒质的介电常

数为 ，电荷体密度为 V

，电位所满足的方为

。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。

4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等

于零。

A r

dS

S 的

5．表达式

S

称为矢量场 A( r )

穿过闭合曲面

。

6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波 将发生

。

7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的 积分等于 。

8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个

矢量必然相互

。

9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分

量为

。

10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场

是

场，因此，它可用磁矢位函数的旋

度来表示。

简述题

（每小题 5 分，共 20 分）

答： 磁通连续性原理 是指：磁感应强度沿任一闭合曲 面的积分等于零，或者是从闭合曲面 S 穿出去的通量 等于由 S 外流入 S 内的通量。

其数学表达式为：

B dS

S

12．答：当一个矢量场的两类源 ( 标量源和矢量源 ) 在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一

规律称为亥姆霍兹定理。 亥姆霍兹定理 告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等） ，需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。

13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电

场。 方程的微分形式：

B E

t

14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为 极化 。极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。

15．矢量函数 A

yx e x yze z

2 ?

? ，

试求（ 1）

A （2）

A

解： 1、 A A x A y A z （ 分）

x

y

z

3

2xy

y

（ 分）

2

e?x

e?y

e?z

2 、

A

x y

z (3

分）

yx 2 0

yz

? ? 2

（ 分）

e x z e z x

2

16．矢量

A

?

? ， B

e?x

，求

2e x 2e z e?y

（1） A

B （ 2）求出两矢量的夹角

?

?

? ?

分）

解： 1 A B 2e x 2e z

e x e y

(3

?x

?y

?z

（ 分）

e

e

2e

2

2根据AB

AB cos

?

? ? ? 2

A B 2e x

2e z e x

e y

cos

2 1

所

以

60

2 2 2

2

17．方程 给出一球族

解：（ 1）

u

e?x u

e?y u

e?z u

（ 分）

x y z

3

? ? ? （ 分）

e x 2x e y 2y e z 2z

2

? ?

?

?

（2） ?

u

所 n? e x 2 e y 4 e x

e y 2

n

u

4

16

5

18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点 r （ 1）求出

电力线方程；（ 2）画出电力线。

1

E

q

2 ?

qr

3 q 3 ?? ? 由力线

4 0 r e r

4 0 r 4 0 r e x x e y y e z z

方程得

x

y z 对上式积分得

dx

dy

dz

y C 1 x

式中， C 1 ,C 2 为任意常数。

z

-2

C 2 y

（ 2）电力线图 18-2 所示。

q

19．设点电荷位于 金属直角劈 上方，如图

1 所示，求

画出镜像电荷所在的位置直角劈任意一点 (x, y, z) 处的

电位表达式

q

q

图

图

解：（ 1）镜像电荷所在的位置如图

19-1 所示。（ 2）如

图 19-2 所示任一点

( x, y, z) 处的电位为

q

1

1

1 1 4 0 r 1 r 2

r 3

r 4

r 1

x 1 2 y 2 2 z 2 其中， r 2

x 1 2 y 2 2 z 2 r 3

x 1 2 y 2 2 z 2 r 4

x 1 2

y

2 2 z 2

20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：

E E 0 cos( t

e )

H H 0 cos( t

m )

写出电场强度和磁场强度的复数表达式

证 明 其 坡 印 廷 矢 量 的 平 均 值 为 ：

S

av

1

E 0 H 0 cos( e

m

)

2

解： 1 电场强度的复数表达式

E E 0 e j e （电场强

度的复数表达式

H

H 0 e

j m

（ 2）据 S av

1

Re E H * 得

2

S av

1

Re E 0 H 0 e

j (

e m

)

1

E 0 H 0 cos( e

m

)

2

2

21．设沿 z 方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到

理想导体，如图 2 所示，该电磁波电场只有

x 分量即

?x E 0 e j z 求出反射波电场的表达式；求出区域 1 媒

E e

质的波阻抗。

解：（ 1）设反射波电场

E r

? j z

e x E r e

区域 1 中的总电场为

E E

r e? ( E

e j z

E r e j z )

x

根据 z 0 导体表面电场的切向分量等于零的边界条

件得

E r

E 0

反射波电场的表达式为 E r

e x E 0 e j z

? （ 2）媒质 1 的波阻抗

因而得

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