数学建模 微分方程模型

人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特 征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微 分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它 甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。 从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简 单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。 1、MALTHUS模型 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在 人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r,我们把N(t)当作连续变 量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+ t时间内人口的增长量为N ( t Δt ) N ( t ) r Δt N ( t )

N ( t Δt ) N ( t ) r N( t ) Δt

令 t→0,则得到微分方程、dN rN dt

设t=0时人口为N0,即有Nt 0

N0

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为 N ( t ) N0 ert 如果r>0,上式则表明人口以指数规律无限增长。特别地，当t→ ,我们将会有 N(t) → , 这似乎不太可能。 这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的统计资料很好地吻合，但是 后来人们用它来与19世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异。人们还 发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数模型，而同一血统的法 国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。分析表明，以上这些现象的主 要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作 用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加 到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。因此，我们将对指 数模型关于净增长率是常数的基本假设进行修改，以得到与实际情况相符合的 某些结论。 这个修改后的关于人口增长问题的数学模型就是我们现在称之为逻辑斯蒂模 型(Logistic模型),这个数学模型与现有的人口增长数据能够充分吻合。 下面，我们就简单地介绍一下修改后的人口增长的数学模型，即Logistic模 型。

2、Logistic模型 荷兰生物数学家Verhulst引入常数Nm表示自然资源和环境条件所能容纳的最 大人口，并假定增长率等于 N r 1 N N m 即净增长率随着N(t)的增加而减少。当N(t) →Nm时，净增长率等于 零。这样，上面模型中的方程就变为 dN N r 1 N N dt m 仍给

出与Malthus模型相同的初始条件，即Nt 0

N0Nm0

则上面微分方程的解为N( t ) 1 ( Nm )e n N

易看出，当t→ 时，当N(t) →Nm。这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是Logistic模型的的图形。 你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。

捕鱼问题在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多， 会造成鱼量的急剧下降，势必影响日后鱼的总量。因此，我们希望在鱼的总量 保持稳定的前提下，达到最大捕鱼量或者最多的经济效益。 设时刻t鱼场中的鱼量为x(t),鱼场资源条件所限制的x的最大值为xm,类 似人口模型中的Logistic模型，我们得到在无捕捞情况下的关于x(t)的微分方 程 dx x 1 rx dt xm 其中r为鱼量的自然增长。假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比，捕捞率 为K,则在有捕捞的情况下，x(t)应满足 dx x rx 1 x Kx dt m

我并不去求解上面的方程以了解x(t)的性质。下面我们介绍一种方法，可 以利用上面的微分方程得到x(t)的平衡点，从而研究其稳定性。 对于方程 dx f(x) dt 我们把代数方程f(x)=0的的实根x0称为上面方程的平衡点。显然，x=x0是它的一 个解。另外，在点x0附近，有

f ( x ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )

所以，若f ’(x0)<0,则dx/dt与(x-x0)异号，故当x>x0时，dx/dt<0,从而当t增加时， x向x0方向减少；当x<x0时，dx/dt>0,从而当t增加时，x向x0方向增大。这样， 随着t的增加，有x(t)→x0,故x0是稳定的平衡点。反之，若f ’(x0)>0,则x0是稳定 的不平衡点。 我们不难求出方程的平衡点为 r K x0 xm r 若在上面的微分方程中，令 x f ( x ) rx 1 Kx x m 则易求得f ( x0 ) K r

根据上面关于平衡点的讨论易知，当K<r时，上面所求的x0即为平衡的稳定 点。换句话说，只要不是“竭泽而鱼”,K<r就是鱼业生产所必须遵守的基本条 件。 下面我们用图解法讨论在保持鱼量稳定的前提下，如何选取捕捞率K使捕 捞量最大。设f1( x ) rx( 1 x ), xm f 2 ( x ) Kx

由上图可知，f1(x)在原点处的切线为y=rx,从而，当K<r时，曲线f1(x)与 f2(x)必相交，其交点的横坐标为x0,也就是说，使渔场内捕鱼量保持稳定(K<r) 即意味着曲线f1(x)与f2(x)必相交。由此不难看出，在所有与抛物线相交的直线 中，选择过抛物线的顶点P*的直线将得到最大的捕捞量ym , 此时，稳定平衡 点x0=xm/2,因此我们可得到 r rx K , ym Kx0 m 2 4 故我们得到结论：控制捕捞率K=r/2,或者说，控制K使渔场内

渔量保持在最 大值xm的一半时，就可保持鱼量稳定的条件下使捕捞量最大。 下面我们还是在保持鱼场渔量稳定的前提下做进一步分析，如何使经济利 润最大。设鱼的单价为p,设开支与捕捞率成正比，比例系数为c,则在保持鱼 量稳定的条件下单位时间内捕捞利润是

Z pKx0 cK

请注意，上面我们所得到的式子x0 r K xm r

表示在K<r的条件下，渔场的稳定鱼量，从此式中，我们可以解出 x K r 1 0 x m x Z ( x0 ) r( px0 c ) 1 0 将此式代入上面的第一个式子中，得 x m 令Z’(x0)=0,容易求得使Z(x0)最大的x0为x0 xm c 2 2p

此时捕捞量为

x0 y Kx0 r 1 x0 x m 1 c xm c r 2 2 px 2 2 p m rxm rc 2 4 4 p 2 xm

§3.3 新产品的推销与广告 1. 新产品推销模型 一种新产品问世，经营者自然要关心产 品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。

模型 A

假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品

实际上起着宣传的作用，吸引着未来购买的消费者。设产品总数与时刻 t 的关

系为 x(t),再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t)满足微 分方程

dx kx dt设初始条件为

(3—17)

x (t ) |t 0 x0则易得上述微分方程的解为

(3—18)

x(t ) x0 e kt

(3—19)

此即著名的 Malthus 模型，下面我们针对模型结果(3—19)进行一下分 析和验证。

(1) 过与实际情况比较，发现(3—19)式结果与真实销售 量在初始阶段的增长情况比较相符。

(2)由(3—19)式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与

事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推

销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，

便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是 通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。 (3)令

t

从(3—19)式易得到

x (t )

,若针对

某种耐用品而讲，这显然与事实不符。事实上，x(t)往往是由 上界的。

针对模型 A 的上述(2)和(3)的缺陷，我们用下面的模型 B 来改进。

模型 B 设需求量的上界为 M,假设经营者可以通过其他方式推销产品，这样， 产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关，故

dx x( M x) dt比例系数仍记为 k,则 x(t)满足

dx kx( M x) dt再加上初始条件

(3—20)

x |t 0 x0利用分离变量方法易求得上述微分方程地解x (t ) Mx 0 x0 ( M x0 )e kMt

(3—21)

(3—22)

此即 Logistic 模

型。 t=0 时若 x0 0 ,则易从 当 (3—22) 式得到 x(t ) 0 。 另外，在(3—22)式中令 t ,易得到 x(t ) M (见图 3-3) 。这 样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由(3—20)式易看出，dx 0 ,即 dt

x(t ) 是关于时刻 t 的单调增

加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外， 对(3—20)式两端求导，得d 2x dx k ( M 2 x) dt 2 dtM d 2x 故令 2 0 ,得到 x(t0 ) 。如图 3-3,当 2 dt

t t0 时，

dx d 2x 得 2 0 ,即 单调增加，x(t)函数图象为上凹弧； dt dt

同理，当t t0

dx 时， 单调减少，x(t)函数图象为上凹 dt

弧。这说明，在销售量小于最大需求量的一半时，销售量 速度是不断增加的；销售量恰巧达到最大需求量的一半 时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降。实际情况 表明，产品销售情形与 Logistic 模型十分相近，尤其在 销售后期更加吻合。

广告模型 在当今这个信息社会中，广告在商品 推销中起着极其重要的作用。当生产者 生产出一批产品后，下一步便去思考如 何更快更多的卖出产品。由于广告的大 众性和快捷性，其在促销活动中大受经 营者的青睐。当然，经营者在利用广告 这一手段时自然要关心：广告与促销到 底有何关系，广告在不同时期的效果如 何？

模型 A

独家销售的广告模型

首先，做如下假设： (1) 商品的销售速度会因做广告而增加，但商品在市场上趋于饱

和时，销售速度将趋于极限值，这时销售速度将开始下降； (2) 自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售的速度的

变化率随商品的销售率的增加而减少； (3) 设 S(t)为 t 时刻商品的销售速度，M 表示销售速度的极

限； 0 为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度；A(t) 为 t 时刻的广告水平(以费用表示) 。

根据上面的假设，我们建立模型S (t ) dS P A(t ) 1 S (t ) dt M

(3—23)

其中 P 为响应系数，即 A(t)对 S(t)的影响力，P 为常数。 由假设(1),当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告，都无 法阻止销售速度下降，故选择如下广告策略： A A(t ) 0 0 t t

其中 A 为常数。

a 在[0, ]时间内，设用于广告的花费为

,则 A= ,代入

a

(3—23)式，有dS P a a S P dt M

令b

P a = , M

c=

Pa

则有dS bS c dt

(3—24)

解(3—24)式，得 S(t)= ke bt c b

(3—25)

其中为任意常数，给定初值 S(0)=S 0 ,则(3—25)式成为 S(t)= (1 e bt ) S 0 e btc b

(3—26)

当 t 时，由 A(t)

的表达式，则(3—23)式变为dS S dt

(3—27)

其解为 S(t)= ke t (3—28)

仍为任意常数。为保证销售速度 S(t)不间断，我们在

(3—26)式中取 t 而得到 S( ),将其作为(3—27)式的 初始值，故(3—28)式解为 S(t)=S( ) e ( t ) (3—29)

这样，联合(3—26)式与(3—29)式，我们得到 c (1 e bt ) S0e bt S(t)= b S ( )e ( t ) t 0 t

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