第六章1 基于MATLAB的科学计算—函数逼近1

数值分析—最佳逼近

━基于ＭＡＴＬＡＢ的实现与分析

§１ 引 言

所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个与给定的函数（定点）距离最短的函数（点）。

由于在函数空间中可以定义不同的距离，不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。 令?表示指定的一类简单的函数集合 １、函数最佳一致逼近： 基于的距离度量如下

d?f，P??maxf?x??P?x? （１）

x??a，b?逼近准则：

mind?f,P??minmaxf?x??P?x? （２）

P??P??x??a，b?２、函数最均方逼近： 基于的距离度量如下

d?f，P?????f?x??P?x??dx? （３）

b2a12逼近准则

mind?f,P??minP??P?????f?x??P?x??dx?b2a12 （４）

如果给定的是函数在若干点处的函数值：?xi，f?xi??，i?0，1，?，n，那么还有称为： ３、最小二乘逼近： 基于的距离度量如下

??d?f，P????f?xi??P?xi?? （５）

?i?0?n??12逼近准则

?mind?f,P??min?fx?Px???i??i??? （６） P???P??n12?i?0?４、插值逼近，其逼近准则为：

1，?，n （７） P?xi??f?xi?， P?x???，i?0，对于函数最佳逼近问题而言，用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不超过n次的多项式函数全体

?n?x??Pk?x?deg?Pk?x???k?n （８）

??即用多项式函数逼近给定的函数，其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的。

１、函数最佳一致逼近(Uniformity Optimal Approximation)

基于的距离度量如下

d?f，P??maxf?x??P?x? （１）

x??a，b?逼近准则：

mind?f,P??minmaxf?x??P?x? （２）

P??P??x??a，b?求一函数在给定区间?a,b?上的最佳逼近多项式，指定用于逼近多项式的次数，如次数不超过n次的多项式函数全体

?n?x??Pk?x?deg?Pk?x???k?n （3）

??关于函数最佳一致逼近，有著名的

定理１(Weierstrass) 任意给定闭区间?a，b?上的连续函数f?x?，必存在多项式函数序列Pn?x?，

n?0，1，?，使得

n???x??a，b?limmaxf?x??Pn?x??0 （４）

以及

定理２ 任意给定闭区间?a，b?上的连续函数f?x?，在次数不超过n次的多项式函数全体

?n?x??Pk?x?deg?Pk?x???k?n （5）

??中最佳一致逼近多项式函数Pn*?x?必存在。

定义１ 设g?x??C?a，b?，如果存在点集?xk,1?k?n?满足

a?x1?x2???xn?b （６）

使得函数g?x?在该点集上取值为

g?xk????1?maxg?x? （７）

ka?x?b或

g?xk????1?k?1maxg?x?

a?x?b则称点集?xk,1?k?n?是函数g?x?在区间?a，b?的一个交错点组。 例１ 考虑函数

???y?sin?5?x??

2??在区间??1,1?上的情况，容易验证

???k??y???sin?k???2??5????????1?maxsin?5?x?? （8）

?1?x?12??k即xk?，k??5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5，是该函数在区间??1,1?上的交错点组． 最佳一致逼近问题同时存在正偏差点和负偏差点. 通过具体求解下面的零次、一次最佳一致逼近来理解.

一、零次最佳一致逼近

设P0(x)?A（A为某常数）为f(x)的最佳一致逼近多项式.因为

f(x)?C[a,b]，因而有最大值M和最小值m，即有点x1和x2，使

y M m P0(x)=A k5f(x1)?m,f(x2)?M.显然，A?M?m，见右图. 2事实上，由于A?f(x1)??M?mM?m,A?f(x2)??，而对任何x?[a,b], 22a b x M?mM?mM?m?A?f(x)?，即为最小偏差，x1,x2为正、负偏差点. 222二、一次最佳一致逼近

设f(x)?C2[a,b]且f??(x)不变号.不妨设f??(x)?0，此时根据右图，

maxf(x)?(a0?a1x). 所求P1(x)即为平行于弦MN的直线，且满足E1?minaia?x?b由于f???0，f?必单调增加，而偏差点必在f(x)?P1(x)的最大、最小值点达到，因此，两端点和使f??P1??0的点都是偏差点.即有

?f(a)?(a0?a1a)?E1?f(b)?(a0?a1b),??f(a)?(a0?a1a)??E1?a0?a1x2?f(x2),?f?(x)?a.21?1)2) 3)由方程1)解出a1?f(a)?f(x2)a?x2f(b)?f(a)?a1.由方程2)解出a0?，其中x2由f?(x2)?a1求出.从而

b?a22P1(x)?a0?a1x为所求一次最佳一致逼近多项式，其几何意义如上图.所示.直线P1(x)?a0?a1x与弦MN平

行，且通过MQ的中点.

【注】 n?0时，零次多项式逼近有两个偏差点；n?1时，一次逼近有三个偏差点，且偏差点正、负交替出现.切比雪夫发现了最佳一致逼近多项式存在的条件.

定理3（Chebyshev） n次多项式?n?x?是函数f?x??C?a，b?在?a，b?上的最佳一致逼近多项式当且仅当

?n?x??f?x?在?a，b?上有n?2个点组成的交错点组。

充分性证明：设?n?x??f?x?在?a，b?上有n?2个点组成的交错点组：

x0?x1?x2???xn?xn?1 （９）

不妨假设式如下情形

Pn?xk??f?xk????1?maxPn?x??f?x?

ka?x?b设Qn?x? 是异于?n?x?的一个n次多项式，且

maxPn?x??f?x??maxQn?x??f?x? （１０）

a?x?ba?x?b由于

Pn?xk??f?xk????1?maxPn?x??f?x? （１１）

ka?x?b所以

Qn?x0??f?x0??maxQn?x??f?x?a?x?b?maxPn?x??f?x??Pn?x0??f?x0? （１2）

a?x?b?Pn?x0??Qn?x0?进一步地

Qn?x1??f?x1???maxQn?x??f?x?a?x?b??maxPn?x??f?x??Pn?x1??f?x1? （１3）

a?x?bPn?x1??Qn?x1?一般地

ksign?Pn?xk??Qn?xk?????1?， k?0,1,2,?,n?1 （14）

这表明至多是n次的多项式Qn?x??Pn?x?至少有n?1个根，根据代数基本定理这是不可能的．

为了讨论函数的最佳一致逼近问题，需要了解在其中起重要作用的Chebyshev多项式及其性质．

§２ Chebyshev多项式及其若干性质：

首先介绍正交多项式(Orthogonal Polynomials)的基本概念. §２.1 正交多项式

【定义2】 若非负函数?(x)在[a,b]上满足条件 （1） 对一切n?0，?axn?(x)dx存在；

（2） 对非负连续函数f(x)，若?a?(x)f(x)dx?0，则在[a,b]上f(x)?0. 那么，称?(x)为[a,b]上的权函数.

【定义3】 给定f(x),g(x)?C[a,b],?(x)是(a,b)上的权函数，称

(f,g)???(x)f(x)g(x)dx

abbb为f与g在(a,b)上的内积.

内积的性质： (1) (f,g)?(g,f)；

(2) (kf,g)?(f,kg)?k(f,g)，k为常数； (3) (f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)； (4) 当f(x)?0时，(f,f)?0.

【定义4】 若f与g的内积(f,g)??a?(x)f(x)g(x)dx=0，则称f(x)与g(x)在区间[a,b]上带权?(x)正交. 【注】（1） 若函数序列{?0(x),?1(x),??n(x),?}满足

bi?j,?0, (?i,?j)???(x)?i(x)?j(x)dx??a?ai?0,i?j.b则称{?i}是[a,b]上关于权?(x)的正交函数序列(Orthogonal Set of Functions).

（2） 当正交函数序列的?i(x)是i（i?0,1,2,?）次多项式时，则称??i(x)?是[a,b]上关于权函数?(x)的正交多项式序列.

（3）正交多项式序列一定是线性无关序列. §２.2 切比雪夫多项式及其性质 n次Chebyshev多项式由下式定义：

????arccosx，x???1，1??Tn?x??cos?n??， n?0,1,2,? T0?x??cos?0??1

T1?x??cos??cos?arccos?x???x T2?x??cos?2???2cos2??1?2x2?1

一般地有

性质１ Chebyshev多项式的三项递推关系：

??T0?x??1，T1?x??x，??T ?Tn?2?x??2xTn?1?xn?x?，n?2，3，?简单的推导：

cos?n?1???cos?cosn??sin?sinn? cos?n?1???cos?cosn??sin?sinn?

?cos?n?1???cos?n?1???2cos?cosn??T?x??2xT?x??T

n?1nn?x?性质２ 在区间??1，1?上关于权函数??x??11?x2的正交性：

1?0，m?n?1?11?x2Tn?x?Tm?x?dx?????2，m?m?0 ??，m?n?0?11?11?x2Tn?x?Tm?x?dxx?cos??0??cosn?cosm?d??12??0?cos?n?m???cos?n?m???d? ?0，m???n??，m?n?0???2，m?n?0性质３ Chebyshev多项式的最高次幂的系数是2n?1．

15）16）17）1８）（

（ （ （

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