向量在中学数学中的应用

向量法在中学数学解题中的应用

一、在代数解题中的应用

1、求函数的最值(值域)

利用向量的模的不等式a?b?a?b?a?b, a?b?ab,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．

例1求函数f(x)?3x?2?44?x2的最大值．

分析：观察其结构特征，由3x?44?x2联想到向量的数量积的坐标表示． 令p?(3,4),q?(x,4?x)，则f(x)?p?q?2，且p?5,q?2．故

????2??????????????f(x)?pq?2?12，当且仅当p与q同向，即

题得到解决．

2、证明条件等式和不等式

??34??0时取等号，从而问

2x4?x条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．

22222例2设(a?b)(m?n)?(am?bn)，其中mn?0．求证:

ab=． mn?分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令p?(a,b),

?q?(m,n)，则易知p与q的夹角为0或π，所以p∥q，an?bm?0，问题得证．

3、解方程(或方程组)

有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3求实数x,y,z使得它们同时满足方程：

????2x?3y?z?13和4x2?9y2?z2?2x?15y?3z?82．

分析：将两方程相加并配方得(2x)?(3y?3)?(z?2)?108，由此联想到向量模，令a?(2x,3y?3,z?2),b?(1,1,1)，则a?63,b???222??3，a?b?(2x)?1?(3y?3)?1

???(z?2)?1?18，又因为a?b?ab?18，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且

仅当

????2x3y?3z?2?0时等式成立，问题解决． ==

1114、解复数问题

因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．

例4已知复平面内正方形ABCD的两对角顶点A和C所对应的复数分别为2?3i和

4?4i，求另外两顶点B和D所对应的复数．

D?OAAD?分析：先求D，为此得求OD．因O同时将AC的模缩为????????????，而AD是AC依逆时针方向旋转

???????????????????，412倍，因此先求AC．而AC?OC?OA，故AC对应的复数是

???4?4i?(2?3i)?2?7i，于是AD对应的复数是(2?7i)???????????????????

1????95cos?sin????i

44?222?又OD?OA?AD，所以OD可求．同理可求OB，问题解决．

5、求参变数的范围

求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.

k2例5设a,b,c,d?R，且a?b?c?d?k(k?0),a?b?c?d?，试讨论

32222a,b,c,d的范围．

分析：由a?b?c?d联想到向量的模，令p?(a,b,c),q?(1,1,1)，则

??2222??p?q?a?b?c?k?d，p?a?b?c,q?3.由p?q?pq得

?222?????1k2k?d?3??d2，解得0?d?，由a,b,c,d对称性便可得a,b,c,d的范围．

23二、在三角解题中的应用

向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．

1、求值

3，求锐角?,?的值． 23分析：由已知得(1?cos?)cos??sin?sin???cos?，观察其结构特征,联想到

2????3向量的数量积，令a?(1?cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，则a?b??cos?，

2例6已知cos??cos??cos(???)???ab?2?2cos?．由a?b?ab得

????13?cos??2?2cos?，所以cos??，

22即???3，代入已知等式便可求得?的值．

2、证明恒等式

例7求证：cos(???)?cos?cos??sin?sin?

分析：由等式右边联想到向量的数量积，令a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)， 则a?1,b?1，且易知a与b的夹角为???，则a?b?abcos(???)?cos(???)，

????????????又a?b?cos?cos??sin?sin?，则问题得证．

三、在平面几何解题中的应用

利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．

例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.

分析：如图，AD,BE,CF分别为?ABC三边上的中线，若要证明

AD,BE,CF能作成一个三角形，只须证明AD?BE?CF?0．

证明：设AB=c, BC=a, CA=b,则a?b?c?0，而AD?AB?BD

???????????????????????????????????1???????????1??c?a，BE?BC?CE?a?b,

22??????????1?所以 CF?CA?AF?b?c．

2????????????1????于是 AD?BE?CF?a?b?c?(a?b?c)?0，即以AD,BE,CF为边可构成一个

2?三角形．

四、向量在解析几何中的应用

平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因

此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.

例9已知一个圆的直径两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，求此圆方程.

解：设P(x,y)为圆上异于A,B的点，由圆周角定理得AP⊥BP，若P(x,y)是与点A或B重合的点，则AP=0或BP=0，故都有AP?BP=0成立，从而

????????????????????(x?x1)(y?y1)?(x?x2)(y?y2)?0，此即为所求圆方程．

例10求过圆(x?5)2?(y?6)2?10上的点M(6,9)的切线方程．

解：如图,设N(x,y)是所求切线上的任意一点，则MN?(x?6,y?9)，

???O?M?(1,3),因为MN⊥O?M，

?????????

所以MN?O?M=0，即(x?6)?3(y9?)0?????????????????，此即为所求切线的方程(即使是N,M重合

时，仍有MN?O?M=0，因为此时MN=0)．

五、在立体几何解题中的应用

直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.

例11如图，在正方体ABCD?A求BC1E,F分别是棱A1D1,A1B1的中点，1B1C1D1中，和面EFBD所成的角．

z D 解：如图，建立空间直角坐标系D?xyz，设正方1 E C1 体棱长为2，则坐标为：B(2,2,0),D(0,0,0),

A 1 F B 1 E(1,0,2F),???(2C,11,2),，( 0,2,2)???),E? ?DB?(2,2,0DD C y

????(1, 0 BC1?(?2,0,．设2)n?(x,y,z)是平面 A B x EFBD的法向量，n?DB?0，n?DE?0，

?1得y??x,z??x，令x??2，得n?(?2,2,1)，设?为BC1和面EFBD所成的角，则

2????????

sin??cos?BC1,n??BC1?nBC1?n?22为所求． ???arcsin66综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．

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