国庆专题讲义几何--3、4 五大模型与构造思想

第三、四讲 几何——五大模型与构造思

知识点拨

小升初必考知识点——五大模型

随着小升初考察难度的增加，几何问题变得越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各个学校都更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面，几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学所期望的．

几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12～14分(包含1道大题和2道左右的小题)．尤其重要的就是平面图形中的面积计算．几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积(三角形、四边形为主)、圆的面积以及二者的综合．其中直线形面积所涉及的五大模型近年来考的比较多，值得我们重点学习．

例题精讲

模型一、三角形的等积变化

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

等积变化拓展——鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

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CBC

【例 1】 (四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，?ABC的

面积是 平方厘米．

BD

【巩固】 图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的

长是BF 长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFAEFC

【巩固】 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘

米，求三角形ZCY的面积．

BDCDZAYCB

【巩固】 如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三

角形EBF的面积是多少平方厘米？

AEBFC

【例 2】 (第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、

三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．

BDAEC

【例 3】 如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形?BPC的面积是15，求阴影?BPD的面积．

APDB

【巩固】 在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰?AOB的面积为16，等腰?DOC的面积占长方形

面积的18%，那么阴影?AOC的面积是多少？

C

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DOCAB

【例 4】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA?AB，CB?BF，DC?CG，HD?DA，求

四边形ABCD的面积．

HDAE

CBGF

【巩固】 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，

若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是 ．

FBCADHGE【例 5】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

1BC，F是AC的2

AFBD

CE

模型二、任意四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3C

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

【例 6】 (人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，BE?2EC，CF?FD，求三角形AEG的

面积．

S4第 3 页 共 10 页

AGDFBEC

【例 7】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，

求三角形BDG的面积．

A

ED

FG

【例 8】 (清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积

为 ．

BCADBC

【例 9】 如图，在?ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若?AOM、?ABO和?BON的面积分别是3、2、1，则?MNC的面积是 ．

AMOCBN

模型三、相似三角形

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDBFGECADAEDEAF???ABACBCAG； ①

22②S△ADE：S△ABC?AF:AG．

BGC

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

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⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

【例 10】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几

倍？

CBOAD

【例 11】 (”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，

四边形ABCD的面积是16，BG:GC?3:1，则四边形EFGH的面积?________．

AFBGEHCD【例 12】 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部

分的面积是 ．

ABCGDHFE

【例 13】 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米．

ADEGHF模型四、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

AS2aS1OS3B22①S1:S3?a:b

22S:S:S:S?a:b:ab:ab； 1324②

BC

DS4bC

?a?b?． ③S的对应份数为

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2

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 14】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三

角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．

AGDFBHC

E【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，

则三角形1的面积为________．

123

【例 15】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影

部分的面积是 平方厘米．

AODB

CE

【巩固】 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，

阴影部分的面积是 平方厘米．

A9214BEDC

【例 16】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连

接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形

MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．

AQDFMGN

BEPC

【例 17】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的

中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平

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方厘米．

AEMBFNDC

模型五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DCFBDC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，

所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与

三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.

11【例 18】 如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE?AB，CF?BC，

34若矩形ABCD的面积为120，则?AEG与?CGF的面积之和为 ． AF与CE相交于G，

AEGBFCD

【例 19】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，

则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

AEFHBGIDC

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【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求

三角形ABC的面积． 【巩固】 如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积

的 倍．

ADGFHB【巩固】 如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求

△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCIC

E

【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?4:3，且三角形ABC的面积是74，

求角形GHI 的面积．

AFIBHGDE

【例 20】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部

分的面积．

ACDEB

【例 21】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交

于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

FCAGNMBDEFC

【巩固】 如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若?ABC的面积为

1，那么四边形CDMF的面积是_________．

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ADNBEMFC【例 22】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?

AGFB

DEC

【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，

那么四边形JKIH的面积是多少？

CFGKAIHBJDE

课后作业

练习1. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

AFBDEC

练习2. 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HAGDFBCE

练习3. 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．

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EDABC

练习4. 如图，?ABC中，AE?11AB，AD?AC，ED与BC平行，?EOD的面积是1平方厘米．那44么?AED的面积是 平方厘米．

AEODBC

练习5. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，

阴影部分的面积是 平方厘米．

A8162B练习6. 如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ???,求

△ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDDEC

C

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