一元二次方程的根与系数的关系说课讲稿

一元二次方程的根与系数的关系

说 课 稿

四川省邻水中学实验学校 何志军

一. 设计理念：

一元二次方程根与系数的关系，体现“做数学”的理念，充分展现知识的形成过程，从而突破本节课教学设计中，我始终把对知识的学习与师生的共同活动与交流相结合，为学生提供自主学习的空间和活动机会，让学生动手、动口、动眼、动脑进行探索，鼓励学生主动探索，大胆地猜想，大胆地表述，在合作交流中获取的难点。在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接的引出根与系数的关系，但忽略了定理最初形成的过程（即：为何要检验两根之和，两根之积？）。因此我根据前面所学内容，从判断两个数是不是一元二次方程的两根入手，再引导学生观察并发现数字系数的一元二次方程的根与系数的关系。此时所得出的恰好是二次项系数为数字系数的方程，这种方程有这种规律，是不是对二次项系数不为数字系数的方程也同样有这种规律呢？于是引出下文，并推及到一元二次方程根与系数的关系的出现与证明。然后加入对数学家韦达的介绍，及我国古代数学家在根与系数关系上的贡献，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。

二．教材分析 1.教材的地位和作用

一元二次方程根与系数的关系是新人教版教材九年级数学（上）p40?42选学内容，学生是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。在旧教材中是一个基本知识点，称“韦达定理”，而新教材将它处理成为一个探究性的选学内容。它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，可以用来解决一元二次方程快速验根的问题，还可以解决其他一些相关的简单问题，是方程理论的重要组成部分。一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，也常与几何、二次函数等问题结合，利于数学问题的解决。

2．教学重点和难点：

重点：一元二次方程根与系数的关系和应用。 难点：探索一元二次方程根与系数的关系。

突破难点的关键：从解方程入手，由学生观察、动手操作并发现一元二次方程根与系数的关系，让学生主动探索和讨论交流，对求根公式再严格加以证明，证明的过程是一个再熟悉和再理解的过程。

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3.教学目标

〖知识目标〗 掌握一元二次方程根与系数的关系，并能简单应用。

〖能力目标〗 经历观察、归纳、猜想与验证一元二次方程根与系数的关系的过程，提高观察，猜想，归纳的能力。

〖情感目标〗(1).在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。(2).培养学生独立思考，与同伴合作交流的能力。

三．学生情况分析

学生的数学学习能力差异较大，多数已经会解一元二次方程；具备一定的归纳推理能力和团结协作意识。

四．教法学法分析

1. 为了体现“以学生为主体”的教育理念，采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系。从判断两数是否为一个一元二次方程两根入手，使学生观察所给两数与所给方程系数的有何种关系。极大地调动学习数学的欲望。

2.通过探究活动组织好学生与学生之间、老师与学生之间的合作交流，充分展示学生的思维过程。在教学过程中，当学生思维受阻或感到困惑时，教师给予必要的点拨，做到“点而不灌”。让学生参与一元二次方程根与系数的关系的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

3．充分体现教师的组织、引导作用，发挥学生的主体地位，通过提供问题情境，鼓励学生自主探索与合作交流相结合，引导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。

五．.教学设计 1.创设情境

首先让学生判定两个数是不是一元二次方程的两个根?这两对数不是随意的，两对数要作对比，一对数比较简单，都是整数，另一对数是无理数，让学生通过计算验证，增加悬念。这环节一是为了复习一元二次方程的根的检验，二来为抛出问题引入新的学习内容作准备。其次是让学生解三个一元二次方程。我知道，许多学生解了一元二次方程，可能是不会，也可能是懒惰，往往不对方程的根进行检验。于是我抛出几个连环的问题，制造认知矛盾，然后顺理成章地引入“一元二次方程根与系数关系”的探究学习。

2.探究学习

九年级学生已经具备一定的探究意识和能力。我将引导他们经历一元二次方程根与系数关系的形成过程，体验新的知识是从既有知识中自然地“长”出来的。探究的过程，我给学生设计了“做——看——猜想——验证”的模式。学生得出的“猜想”，只是让他们“验证”而不是证明，是因为许多科学上的理论都是通过不完全验证归纳产生的。

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3.知识应用

解决实际问题，是学习知识的最终目的，也是知识的生命所在，才能将新知识真正融入既有的知识体系。这里，我设置了两个典型例题和对应的“变式训练”。

两个典型例题：一个是运用一元二次方程ax2?bx?c?0（a?0）的根与系数的关系来验根，这对解一元二次方程来说非常重要，要求学生掌握。另一个是一种常见题型，可以不用根与系数的关系去解，但是用根与系数的关系的方法要简便一些，引导学生对比，培养选择最优化算法的意识。在“变式训练”中，我给出了两道习题与例题对应，这个变式的类型都比例题稍作变化，在于考查学生对知识的灵活运用。

4.学习总结

总结是学习的一个重要环节。总结是对知识的提炼，能很好地将知识融入已有知识的体系。总结时，我要引导学生大胆表述自己在本节课中的感悟。

5.作业安排

课后作业，我想让学生校本教材数学达标练，顾及学生的差异，分层次布置作业。一是作为本堂内容学习的巩固训练；二是学有余力的学生，使他们在探索中提高和发展。

六．板书设计

一元二次方程的根与系数的关系 一、（1）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根? ⑴x?8x?11?0 (4?5,4?5) ⑵2x?3x?1?0 (3,1) （2）用恰当方法解下列方程： ①x-5x＋6＝0， ②2x＋x-3＝0． ③1x2?3x?3?0 422二、设x1、x2是一元方程ax2+bx+c=0（a≠0）的四、例题略 两个根． ?b?b2?4ac，?b?b2?4acx1?x2?2a2a22（b2?4ac?0） b2?4ac+?b?b2?4ac 2a2a2aa∴x1?x2??b?22=?b?b?4ac?b?b?4ac??2b??b 2ax1?x2??b?4a 2b2?4ac?b?b?4ac ?2a2a22222=(?b)?(b?4ac)?b?b?4ac?c 224aa三、一元二次方程两根和与两根积与系数的关系 结论1．如ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2??bc x1·x2? aa结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是 x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 3

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