圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： ??.

1?ecos? 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

ep

1+ecos?则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

ep（2 ）若??

1-esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

ep（3）??

1+esin?当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

10例1.确定方程??表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

5?3cos?310?253 解法一：???331?cos?1?cos?55引论（1）若 ??极坐标处理二次曲线问题教案

310?e?，P?

5325?c3?3??a?ca?????a5?5?8??2?????b?10?5a?c?10?c?15???38?3?3?c

?b?(2521525)?()? 88231525?方程表示椭圆的离心率e?，焦距，长轴长，短轴长5

544解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需

令??0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，

简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，

epep2ab2a2b2?c?1、椭圆中，p?，MN?. ??cc1?ecos?1?ecos(???)a2?c2cos2?2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）

epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN?； ??1?ecos?1?ecos(???)a2?c2cos2?epep2ab2??若M、N在双曲线不同支上，MN??.

1?ecos?1?ecos?c2cos2??a23、抛物线中，MN?pp2p??

1?cos?1?cos(???)sin2??x2y2例1过双曲线-?1的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与

345｜AB｜A、B两点，求

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

??52?3cos?极坐标处理二次曲线问题教案

即得

所以 A(?,?),B(?,???)1233又由 AB?|?1??2| 得

?|52?3cos?3?52?3cos(??)3?|?807注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。 点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都

?1??2对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正是 ;

?1??2对于两个端点分别在双曲线左、值, 所以弦长也是 ;右支上的弦,

-??1??2?或 其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 -

为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用 ?1??2变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A,B两点，求AB

｜AB｜求

?6?解： ?11?2cos?

A(?1,??),B(?2,?)66??AB?|?1??2|?|122?|?|???|1?2cos（??）1?2cos(?)2?62?6661附录直角坐标系中的焦半径公式

设P（x,y）是圆锥曲线上的点，

1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1?a?ex，PF2?a?ex； 2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，

当点P在双曲线右支上时，PF1?ex?a，PF2?ex?a；

极坐标处理二次曲线问题教案

当点P在双曲线左支上时，PF1??a?ex，PF2?a?ex； 3、若F是抛物线的焦点，PF?x?利用弦长求面积

p. 2高考题（08年海南卷）过椭圆

x2y2??1的焦点F54作一条斜率为2的?4直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求?AOB的面积． 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|?122ep求弦长，然后221?ecos?利用公式S?AOB?|AB||OF|sin?AFO直接得出答案。 变式(2005

FMx2年全国高考理科)已知点F为椭圆?y2?1的左焦点.过点

2的直线l1与椭圆交于P、Q两点，过F且与l1垂直的直线l2交椭圆于、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.

解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：

22?? 21?cos?2设直线l1的倾斜角?，则直线l2的倾斜角为??900，由极坐标系中焦点弦长公式知： |PQ|?211?cos2?2，|MN|?211?cos2(??900)2?211?sin2?2 用他们来表示四边形的面积

111|PQ|?|MN|? ?11112?sin2??cos2??sin22?242161即求的最大值与最小值

11?sin22?216S?由三角知识易知：当sin2???1时，面积取得最小值面积取得最大值2

利用弦长公式解决常量问题

极坐标处理二次曲线问题教案

16?时，；当sin2?09x2y2?2?1(a?b?0)2例一．过椭圆ab的左焦点F，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A、B两点，若FA?2FB，求椭圆的离心率.

简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。 设椭圆的极坐标方程为??epepep则FA?,FB?1?ecos?1?ecos6001?ecos2400，

∴

epep，解得e?2；

?2?3ee1?1?22变式求过椭圆??2?的左焦点，且倾斜角为的弦长AB和左焦

3?cos?4点到左准线的距离。

23解：先将方程??化为标准形式：?? 11?cos?321则离心率e?，ep?，

33?p?2

所以左焦点到左准线的距为2。 设A(?1,),B(?2,5?)，代入极坐标方程，则弦长

442224 AB??1??2????5?173?cos3?cos44?（3）定值问题

例1. 抛物线y2?2px(p?0)的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证

明：?定值。

解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为??p，设A(a,?),B(b,???)

1?cos?1a1b将A,B两点代入极坐标方程，得a?pp,b? 1?cos?1?cos(???)极坐标处理二次曲线问题教案

则?=

1a11?cos?1?cos(???)2=（定值） ?bppp点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有

112?? MFNFep例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证值。

11为定?ABCDep，

1?ecos?证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为??3??????又设A??1,?1?,B??2,?+??,C??3,+??,D??4,+??则代入可得

22????|AB|?2ep2ep|AB|?，则 22221?ecos?1?esin?112-e2 ?=ABCD2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。

推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。

推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。

x2y2?1，点F是其左焦例三(2007重庆理改编)中心在原点O的椭圆?3627点，在椭圆上任取三个不同点

0∠P1FP2?∠P2FP3?∠P3FP1?120．

P1,P2,P3使

证明：

111为定值，并求此定值． ??FP1FP2FP3解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：

9，设点P1对应的极角为?，则点P2与P3对应的极角分别

2?cos?9为??1200、??1200，P1、P2与P3的极径就分别是|FP1|? 、

2?cos???|FP2|?

92?cos(??1200)与|FP3|?

92?cos(??1200)，因此

极坐标处理二次曲线问题教案

2?cos?2?cos(??1200)2?cos(??1200)111??，而在三???999FPFP1FP32角函数的学习中，我们知道cos??cos(??1200)?cos(??1200)?0，因此

1112???为定值 FP1FP2FP33点睛：极坐标分别表示|FP1|、|FP2|与|FP3|，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点． 推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？

推广2 设PP12P3?Pn是椭圆上的n个点，且FP1,FP2,FP3?FPN圆周角等分则?i=1n1OPi2也为定值

作业 （2003

22xy年希望杯竞赛题）经过椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点F1作倾斜角ab为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，|AF1|?2|BF1|． （1）求椭圆的离心率e； （2）若|AB|?

15，求椭圆方程 4

极坐标处理二次曲线问题教案

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