2013年东大自控真题答案

一、简述题（共 10 分，2 小题） 1、（5 分）影响系统稳态误差的因素有哪些？如何减小系统的稳态误差。 答：影响系统稳态误差的因素有系统的类型、开环增益和输入信号。 (1)增大开环增益可以减小稳态误差 (2)提高系统的型别可以减小稳态误差 2、（5 分）按照校正装置和系统不可变部分的连接方式，通常可分为哪三种基本校正方式， 其中哪种校正方式可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统性能的影响。

答：分为串联、反馈、前馈。其中反馈校正可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统的影响。 二、（共 20 分）求图 1 所示电路以ur为输入、为uc输出的传递函数。

图1 题二电路图

解：

ur s R0//

1sC0

=

?uc s R1+

1sC1

T s =? R0C0s+1 R1C1s+1

R0C1s

三、（共 20 分）已知控制系统结构图如图2所示，其中W1 s 的单位脉冲响应为10?10e?t。试分析内反馈τs的存在对系统稳定性以及系统稳态误差的影响。

图2题三系统结构图

解：由题意得：W1 s =

10s s+1

s+1s

当τs不存在时，其开环传递函数为：Wk1 s =

?

10s s+1

=

10s2 闭环系统特征方程为：s2+10=0。解得s=± 10j，所以可知系统临界稳定。

稳态误差：闭环特征根是一对虚根，响应有等幅震荡的正弦分量，不能用终值定理求解稳态误差。

1s2E(s)?R(s)?2R(s)

1?WK1(s)s?10阶跃输入：R(s)?1s，E(s)?2， ss?10e(t)?cos10t，ess?cos10t

斜坡输入：R(s)?11E(s)?，， s2s2?10e(t)?11sin10t，ess?sin10t 1010111sE(s)???，， 322ss(s?10)10s10(s?10)加速度输入：R(s)?e(t)?

11?cos10t，ess?0.1?0.1cos10t 1010s+1s

当τs存在时，其开环传递函数为：Wk2 s =

?

10s2+ 10τ+1 s

=

10 s+1

s2 s+10τ+1

其闭环特征方程：s3+10τs2+s2+10s+10=0,当τ>0时，系统稳定。 稳态误差ess=lims→0

1

10 s+1 s2?2 ss+10τ+1 =

10τ+110

，可知随着τ的增加，稳态误差会变大。

综上所述，前后对比可知，系统稳定但稳态误差增大了。 四、（共 20 分，2 小题）已知控制系统结构图如图 3 所示。 1、（10 分）试绘制系统的根轨迹，并确定使闭环系统稳定的K取值范围。 2、（10 分）若已知闭环系统的一个极点为-1，试确定该系统的闭环传递函数。

图3 题四系统结构图

解：1、Wk s =

K s?1 5

?2 s+2 s+5

5K s?1

s+2 2 s+5

=

系统极点：-2，-2，-5；零点：1；n-m=2 渐近线交点：σk=?

2+2+5+1

2

=?5，夹角φ=

?180 1+2n

2

=±90°

分离点与会合点：D s ?N′ s ?N s ?D′ s =0

∴ s+2 2 s+5 ? s?1 2 s+2 s+5 + s+2 2 =0 s+2 [ s+2 s+5 ? s?1 2s+10+s+2 ]=0

??1=?2，为两个开环极点

??2+???11=0

??=

?1± 1+442

=

?1±6.72

，??2=2.85(舍去)，??3=?3.85——分离点

由图可知s=0j时，闭环系统临界稳定，将其代入闭环特征方程 s+2 2 s+5 +5K s?1 =0,得K=4。 所以，0

2、将s=-1代入闭环特征方程得4-10K=0，所以K=0.4 所以闭环传递函数WB s =

0.4 s?1 s+222 s?1 1+ 2 s+2s+5=10 s3+9s2+26s+18

K τs+1 2

s3 4 s?1 s+5

五、（共 20 分）已知某单位负反馈系统的开环传递函数为：Wk s =

其中，K>0、τ>0，试用奈奎斯特判据判断闭环系统稳定时K和τ应满足的条件。 解：Wk jω =所以，P ω =

K jτω+1 2

jω 3?2Kτωω3=

?2Kτω+jK 1?τ2ω2

ω3K 1?τ2ω2

ω3 ，Q ω =，

ω=0时，P ω =∞,Q ω =∞,φ ω =?270° ω=∞时，P ω =0,Q ω =0,φ ω =?90°

系统的频率特性曲线在ω=0到0+会有一次负穿越，若系统稳定，还需要有一次正穿越 令Q ω =0得ω2=

1τ2

，即ω=?

τ

1

将其代入P（ω）可得P ω =?2Kτ3 所以，?2Kτ3

12τ3 10

s 0.5s+1 0.1s+1

六、（共 20 分，2 小题）已知控制系统的开环传递函数为:Wk s =1、（10 分）绘制系统伯德图，并求相位裕度；

2、（10 分）如采用传递函数为Wc s =0.049s+1的串联超前校正装置，试绘制校正后系统 的伯德图，并求此时的相位裕度，同时讨论校正后系统的性能有何改进。 解：1、Wk1 s =

10

sss +1 +1 2100.37s+1

，截止频率ωc≈ 20=4.47

φ ω =?90°?arctan0.5ω?arctan0.1ω∴r1 ωc =180°+φ ωc =180°?180°=0°

2、Wk s =Wk1 s ?Wc s =则

10?0.37ωcωc?

ωc210 0.37s+1

sss +1 +1 0.049s+1 210

=1，∴ωc≈7.4

校正后：φ ω =?90°+arctan0.37ω?arctan0.5ω?arctan0.1ω?arctan0.49ω

∴r ωc =180°+φ ωc =28.6°

系统性能的改进：系统的相位裕度增大，频带增加，是系统更加稳定了，并且系统响应时间加快，同时稳态误差基本不变 七、（共 20 分）已知控制系统结构图如图 4 所示。为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定M和h应满足的关系式。 继电器特性描述函数：N A =

4MπA

1? 1?h ，A≥h。

A

2

图4 题七系统结构图

解：G s =s 0.8s+1 s+1 ，

由相角关系可得与虚轴相交频率?90°?arctan0.8ω?arctanω=?180° 所以，arctan0.8ω+arctanω=90°，得ω=将ω代入G s ，可得 G jω =3

d ? 1

又? 取得最大值时，有NA

NAdA

1

3

5 2

4

=0，得A= 2h

将其代入?

1πh，可得? N A 2M

πh2M

为使系统不产生自振，须有?

3

M

4h83π

八、（共 20 分）已知系统结构图如图5所示，采样周期T=1s。试求闭环系统脉冲传递函

数，并判断闭环系统的稳定性。

图5 题八系统结构图

解：Wk1 Z =

Ζ 1+Z

1?e?TsK

? sss+11?e?TsK

s?

s s+1? s+1 1

=

1

1?z?1 ?Z

K

s2 s+1 K1+ 1?z?1 ?Z 2

S

[ 1????1 2?1????1+1????1???1]

1????1+?????1???1

1

1

=

??(1???

?1

)??[??2???+??+1]???1

???1 1????1 21

1+?? 1?

=

?? 1????1 2

Kz?1 0.368+0.264Zz?1 = 1?0.368z?1 1+ K?1 z?1 所以，Wk Z =Z ?Wk1 Z =

s1

Kz?1 0.368+0.264z?1

1?z?1 1?0.368z?1 1+ K?1 z?1

则WB Z =

Wk Z 1+Wk Z

=

Kz?1 0.368+0.264z?1

1?z?1 1?0.368z?1 1+ K?1 z?1 +Kz?1 0.368+0.264z?1

闭环特征方程为 1?z?1 1?0.368z?1 1+ K?1 z?1 +Kz?1 0.368+0.264z?1 =0

z3+ 1.368K?2.368 z2? 1.104K+1.736 z+0.368 K?1 =0 双线性变换： 令：z?1?w 1?w3.472

2

2?2.84K ??3+ 6+0.84?? ??2+ 3.472+1.368?? ??+0.632???3.472=0

系统稳定的必要条件：0.632

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