2.2.3独立重复试验与二项分布

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1.有10门炮同时各向目标各发一 有 门炮同时各向目标各发一 枚炮弹,如果每门炮的命中率都是 枚炮弹 如果每门炮的命中率都是 0.1,则目标被击中的概率约是 D 则目标被击中的概率约是 ( ) A 0.55 B 0.45 C 0.75 D 0.65

1 0.9

10

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2、假使在即将到来的2008年北京奥运会上，我国 假使在即将到来的2008年北京奥运会上， 2008年北京奥运会上 乒乓球健儿克服规则上的种种困难， 乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断 开拓创新，在乒乓球团体比赛项目中， 开拓创新，在乒乓球团体比赛项目中，我们的中 国女队夺冠的概率是0.9, 0.9,中国男队夺冠的概率是 国女队夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是 0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是多少 那么男女两队双双夺冠的概率是多少? 0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是多少? 变式一 只有女队夺冠的概率有多大？ 只有女队夺冠的概率有多大？ 恰有一队夺冠的概率有多大？ 变式二 恰有一队夺冠的概率有多大？ 至少有一队夺冠的概率有多大 有一队夺冠的概率有多大？ 变式三 至少有一队夺冠的概率有多大？

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3.一个元件能正常工作的概率 称为该元件的可靠性 3.一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 一个元件能正常工作的概率 称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0< <1),且各元件能 靠性。今设所用元件的可靠性都为 (0<r<1), (0< <1) 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。(1) 1 2(2) 1 2

P1=r21 (3) 1 2 2(4)

P2=1-(1-r)2 - -1 1 2 2

P3

=1-(1-r2)2 - -(5)

JA JB JC

P4=[1-(1-r)2]2 - -

p5 = 1 (1 r )

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2.2.3独立重复试验与 独立重复试验与 二项分布

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复习引入前面我们学习了互斥事件、 条件概率、 前面我们学习了 互斥事件、 条件概率、相互独 互斥事件 立事件的意义 的意义， 立事件的意义， 这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型， 用公式去求概率简便 简便. 考虑的一些模型 ，吻合模型用公式去求概率简便 . 互斥时) ⑴ P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) = P ( A) 相互独立时) ⑶ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢 求概率还有什么模型呢？ 那么求概率还有什么模型呢？

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分析下面的试验，它们有什么共同特点？ 分析下面的试验，它们有什么共同特点？投掷一个骰子投掷5次 投掷一个骰子投掷 次; 某人射击1次 击中目标的概率是0.8,他射击10 某人射击 次，击中目标的概率是 ，他射

击 次; 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛， 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规 共同特点是: 多次重复地做同一个试验. 共同特点是 多次重复地做同一个试验 胜制( 局内谁先赢3局就算胜出并停止 定5局3胜制(即5局内谁先赢 局就算胜出并停止 局 胜制 局内谁先赢 比赛) 比赛); 一个盒子中装有5个球 个球( 个红球和 个黑球), 个红球和2个黑球 一个盒子中装有 个球(3个红球和 个黑球), 有放回地依次从中抽取5个球 个球; 有放回地依次从中抽取 个球 生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种 生产一种零件，出现次品的概率是 生产这种 零件4件 零件 件.

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基本概念 1.独立重复试验定义： 独立重复试验定义： 独立重复试验定义 一般地，在相同条件下重复做的n 一般地，在相同条件下重复做的n次试验 称为n 称为n次独立重复试验 注：独立重复试验的基本特征： 独立重复试验的基本特征：每次试验是在同样条件下进行； 1、每次试验是在同样条件下进行； 每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 各次试验中的事件是相互独立的； 3、各次试验中的事件是相互独立的； 每次试验,某事件发生的概率是相同的。 4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。

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判断下列试验是不是独立重复试验： 判断下列试验是不是独立重复试验： 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上;不是 依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上 2).某射击手每次击中目标的概率是0.9,他进行了4 2).某射击手每次击中目标的概率是0.9,他进行了4 某射击手每次击中目标的概率是0.9 次射击，只命中一次； 次射击，只命中一次；是 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 口袋装有 ,3个红球,2个黑球 抽取5个球,恰好抽出4个白球; 抽取5个球,恰好抽出4个白球; 不是 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 口袋装有 ,3个红球,2个黑球 的抽取5个球,恰好抽出4 的抽取5个球,恰好抽出4个白球 是

注：独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验

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探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为 ， 投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉 次，仅出现 次 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次 向下的概率为 连续掷一枚图钉 针尖向上的概率是多少？ 针尖向上的概率是多少？

所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现 次 所以，连续掷一枚图钉

次 仅出现1次 2 针尖向上的概率是 3q p.

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思考？ 思考？上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为 ， 上面我们利用掷 次图钉，针尖向上的概率为p,求 次图钉 出了连续掷3次图钉 仅出现次1针尖向上的概率 次图钉， 针尖向上的概率。 出了连续掷 次图钉，仅出现次 针尖向上的概率。类 似地，连续掷3次图钉 次图钉， 似地，连续掷 次图钉，出现 k (0 ≤ k ≤ 3) 次针尖向 上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？ 上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？

P( B0 ) = P ( A1 A2 A3 ) = q ,3

P( B1 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3q p,2

P( B2 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3qp ,2

P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) = p 3 .仔细观察上述等 式，可以发现： 可以发现：

P(Bk ) = C p q , k = 0,1,2,3.k 3

k 3 k

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基本概念 2、二项分布： 、二项分布：一般地， 次独立重复试验中， 一般地，在n次独立重复试验中，设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p, 次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为 ，那么 次独立重复试验中， 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生

P( X = k) = C p (1 p)k n k

n k

, k = 0,1,2,..., n.n

此时称随机变量X服从二项分布，记作 此时称随机变量 服从二项分布，记作X~B(n,p),并称 服从二项分布 并称 p为成功概率。 为成功概率。 为成功概率

注: Pn ( k ) = c p q 第 k + 1 项.k n k

n k

是 ( p + q ) 展开式中的

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公式理解一次 试验中 事件A 发生 的概率

一次试验中事件 A 发 生的概率

P ( X = k) = C p (1 p)k n k

n k

(其中k = 0,1,2,···,n ) 其中 ， , , , 试验总次数 事件 A 发生的次数

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二项分布与两点分布有什么内在联系？ 二项分布与两点分布有什么内在联系？ 两点分布与二项分布的随机变量都只有 两个可能结果. 两个可能结果.

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某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 例1.某射手每次射击击中目标的概率是 求这名射手在10次射击中。 求这名射手在 次射击中。 次射击中 1)恰有8次击中目标的概率 次击中目标的概率； (1)恰有8次击中目标的概率； 次击中目标的概率。 (2)至少有 次击中目标的概率。 )至少有8次击中目标的概率 (结果保留两个有效数字) 结果保留两个有效数字)

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为击中目标的次数， 解：设X为击中目标的次数，则X~B(10,0.8) 为击中目标的次数 (1)在10次射击中，恰有 次击中目标的概率为 在 次射击中 恰有8次击中目标的概率为 次射击中，

P( X = 8) = C ×0.8 ×(1 0.8)8 10 8

10 8

≈ 0.30

(2)在10次

射击中，至少有 次击中目标的概率为 在 次射击中 至少有8次击中目标的概率为 次射击中，

P( X ≥ 8) = P( X = 8) + P( X = 9) + P( X =10)= C ×0.8 ×(1 0.8)8 10 8 10 10 10 10 8

+ C ×0.8 ×(1 0.8)9 10 9

10 9

+ C ×0.8 ×(1 0.8)

10 10

≈ 0.68

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0.8, 练 1.某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.8,现连续 射击 3 次. 第一次命中，后面两次不中的概率； ⑴第一次命中，后面两次不中的概率； 恰有一次命中的概率; 恰有两次命中的概率. ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率.

次击中目标” 解: 记事件 第 i 次击中目标 ” Ai ,则 A1、A2、A3 相 “ 为 互独立. 互独立.且 P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = 0.8 . ⑴第一次命中， 后面两次不中的事件即 A1 A2 A3 第一次命中， 后面两次不中的事件即

∴ P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) 1 P ( A2 ) 1 P ( A3 ) =0.032 ⑵恰有一次命中 的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 恰有一次命中的事件即 一次命中 恰有一次命中 一次命中的事件的概率 ∴恰有一次命中 的事件的概率 P2 = 3 × 0.8 × 0.2 × 0.2 = 0.096

⑶恰有两次命中的事件即 A A2 A3 + A A2 A3 + A A2 A3 恰有两次命中 的事件即 1 1 1 ∴恰有两次命中的事件的概率 P3 = 3×0.8×0.8×0.2 = 0.384 恰有两次命中 的事件的概率

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设一射手平均每射击10次中靶4 10次中靶 练2. 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击中 击中一次， 恰在第二次击中， 击中两次， 第二、 ①击中一次，②恰在第二次击中，③击中两次，④第二、 三两次击中， 至少击中一次的概率. 三两次击中，⑤至少击中一次的概率. 由题设，此射手射击1 由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4. 中靶的概率为0.4. 0.4 ① n=5,k=1,应用公式得

② 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或 事件“第二次击中”表示第一、 击不中都可，它不同于“击中一次” 也不同于“ 击不中都可，它不同于“击中一次”,也不同于“第二次 击中，其他各次都不中” 不能用公式. 击中，其他各次都不中”,不能用公式.它的概率就是 0.4. 0.4. ③n=5,k=2,

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设一射手平均每射击10次中靶4 10次中靶 练2: 设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次射击 击中一次， 第二次击中， 恰好击中两次， 中①击中一次，②第二次击中，③恰好击中两次，④刚 好在第二、三两次击中， 至少击中一次的概率. 好在第二、三两次击中，⑤至少击中一次的概率. ④“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五 第二、三两次击中”表示第一次、 次可中可不中，所以概率为0.4 0.4=0.16. 0.4× 次可中可不中，所以概率为0.4×0.4=0.16. ⑤设“至

少击中一次”为事件B,则B包括“击中一次”, 至少击中一次”为事件B 包括“击中一次” 击中两次” 击中三次” 击中四次” “击中两次”,“击中三次”,“击中四次”,“击中 五次” 五次”,所以概率为 P(B)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+ P(B)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =0.2592+0.3456+0.2304+0.0768+0.01024 0.2592+0.3456+0.2304+0.0768+ =0.92224. 0.92224. 1-P(0) -

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例2、某人参加一次考试，若五道题中解对四 题则为及格，已知他的解题正确率为3/5, 试求他能及格的概率

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