初等数论:不定方程与高斯函数
更新时间:2023-10-16 06:06:01 阅读量: 综合文库 文档下载
初等数论:不定方程与高斯函数
一、不定方程
不定方程也称丢番图方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些要求(如是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科,它的内容十分丰富,与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现,是培养思维能力的好材料,它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解,而且更需要讲究思想、方法与技巧,创造性的解决问题。
1.不定方程问题的常见类型: (1)求不定方程的解;
(2)判定不定方程是否有解;
(3)判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个)。 2.解不定方程问题常用的解法:
(1)代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等;
(2)不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解;
(3)同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析),缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解;
(4)构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解;
(5)无穷递推法。 以下给出几个求解定理:
(一)二元一次不定方程(组)
定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)的方程称为二元一次不定方程 定理1.方程ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c;
定理2.若(a,b)=1,且x0,y0为ax+by=c的一个解,则方程全部解可以表示成 x ? x (t为任意整数)。 0?b t , y=y0?a t定理2’..元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c(a1 ,a2, …an,c∈N) 有解的充要条件是 (a1, …,an )|c.
方法与技巧:
1.解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解,可先求ax+by=0一个特解,从而写出通解。当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其解,即引入变量,逐渐减小系数,直到容易得其特解为止;
2.解
元一次不定方程a1x1+ a2x2+ …anxn=c时,可先顺次求出
,……,
则方程有解,作方程组:
.若
,则方程无解;若
|,
求出最后一个方程的一切解,然后把的每一个值代
入倒数第二个方程,求出它的一切解,这样下去即可得方程的一切解。
3.m个n元一次不定方程组成的方程组,其中m (二)高次不定方程(组)及其解法 1.因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后对比两边,转而求解若干个方程组; 2.同余法:如果不定方程F(x1, …xn)=0有整数解,则对于任意m∈N,其整数解(x1, …xn)满足F(x1, …xn)≡0(mod m),利用这一条件,同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石; 3.不等式估计法:利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围,再分别求解; 4.无限递降法:若关于正整数的命题P(n)对某些正整数成立,设n0是使 成立的最小正整数,可以推出:存在 ,使得 成立,适合证明 不定方程无正整数解。 方法与技巧: 1.因式分解法是不定方程中最基本的方法,其理论基础是整数的唯一分解定理,分解法作为解题的一种手段,没有因定的程序可循,应具体的例子中才能有深刻地体会; 2.同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件,为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模,它需要经过多次尝试; 3.不等式估计法主要针对方程有整数解,则必然有实数解,当方程的实数解为一个有界集,则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个,逐一检验,求出全部解;若方程的实数解是无界的,则着眼于整数,利用整数的各种性质产生适用的不等式; 4.无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解,使得它比已选择的解“严格地小”,由此产生矛盾。 定理3 方程x1+ …+xn=k(k∈N+) n?1(1)非负整数解有Cn?k?1组 ?1(2)当k≥n时,正整数解有Ckn?1组 例题 1.求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+24的所有正整数解。 2.设k是给定的正整数,k≥2,求证:连续3个正整数的积不能是整数的k次幂 443.确定方程x14?x2?...?x14?1999的全部非负整数解 4.求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和 (1)38597 (2)36617 5.正整数n不能被2,3整除,且不存在非负整数a,b,使得|2a?3b|?n,求n最小值 6.求x2?y2?328的全部正整数解 7.求x2?23xy2?1989y2?0的整数解 8.试证x2?2xy2?5z?3?0无整数解 9.试求所有的正整数a,b,c,使(a?1)(b?1)(c?1)|(abc?1) 10.试证x2?y2?z2?2xyz无非零整数解 11.甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序参加淘汰赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰;胜者再与负方2号队员比赛……,直到一方队员全被淘汰,另一方才算胜利,形成一比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程有几种? 12. m,n∈{1,2,……,2009},(n2?mn?m2)2?1,试求n?m最大值 22 111m13.是否存在正整数m,使得方程???有无穷组正整数解? abca?b?c 二、高斯函数?x? 1、高斯函数?x?的定义 ?5?1? 设x?R,用?x?表示不超过x的最大整数(如???0.1263???1),??0, ?2?则y??x?称为高斯函数,也叫取整函数。 由定义,?x??x??x??1,故?x??x??x?≥0,称{x}为x的小数部分。 2、高斯函数?x?性质 1)x=[x]+{x},0≤{x}<1 ; [x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x; 2)当x1?x2时,有?x1???x2?; 3)对于任意实数x、y,有:?x???y???x?y?,且 ?x???y???x?y?; 4)对于任意整数n,有:?n?x??n??x?; ? ??x??1,?当x不是整数时? 5)??x?????x?,?当x是整数时? ; ??x???x?? 6)对于任意正整数n及实数x,有:?????; ?n??n?
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