线性代数(浙江大学出版社)第一章作业参考答案

第一章作业参考答案

1-1. 求以下排列的逆序数：

（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10

n(n 1)

（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=2 n(n 1)

2

1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）a23a31a42a56a14a65

解：t1 t(234516) 4, t2 t 312645 4

t t1 t2 8为偶数，故该项带正号。

1-3. 用行列式的定义计算：

0004

x

（3）

1x0a1

0 1xa2

00 1x a3

（1）

004304324321

00a0

0004

解：（1）

004304324321

( 1)a1q1a2q2 a4q4 ( 1)1 2 3 4 4 4 4 256

t

x

（3）

1x0a1

0 1xa2

00 1x a3

x x x (x a3) ( 1)1 x x ( 1) a2

00a0

( 1)2 ( 1) ( 1) a1 ( 1)3 ( 1)3 a0 x4 a3x3 a2x2 a1x a0

1-4. 计算下列行列式：

1

11111 a1111 11

111 1111 b1

1111 b

（3）

123400

005

001

abb bbab b

bbb a

（1）

1 111

00 13

1 a

（5）

111

（7）Dn

1111

11 1100511 a11

001

111 1

1001234

100

10 20 135

1

100 2

1 ( 2) ( 2) ( 2) 8

解：（1）

1 111

0 2

12

（3）

34001 a111

00 13

(1 4 2 3) 1 1 3 5 32

111 b1

1111 b

a a a a

100

1b

100

a0 a a

100

1b

100

（5）

a0 a0

0 b0 b

a2

a

b0 0

a

111

a111

a000

0 a000 a2b2

00b0

b0

000 b

0 b

a (n 1)ba (n 1)b a (n 1)b

b b

1

[a (n 1)b]

00

100

abb b

（7）Dn

bab b

bbb a11 1

a b

100 a b

b a

[a (n 1)b]

ba b

bb a

0a b

[a (n 1)b](a b)n 1

1-5. 证明：

x

yx yxx

x yxyyx yx1

2(x y)

a2

2(x y) （3）

3

3

(a 1)2(b 1)2(c 1)

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

（1）yx y

b2c

2

0

d2

x yxy1x yx

yx y1y

3

(d 1)2

xy1x

1

(d 2)2(d 3)2

2(x y)2(x y)2(x y)

x yx1

证明：（1）yx y

yx y

2

x 2(x y)0

0 y

3

x y

x

2(x y)[ x y(x y)] 2(x y)

a2

（3）

(a 1)2(b 1)2(c 1)

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

a2 b2c

2

2a 14a 46a 92b 14b 42c 1

4c 4

6b 96c 9

b2c

2

d2

(d 1)2(d 2)2(d 3)2d2

2d 14d 46d 9

a2

2a 1262b 1262c 1262d 126

1

22 0

30 0

n 1

00

n00

b2c2d2

0

1-6. 计算下列行列式：

a0 01

0a 00

1 1 0

（1）Dn

（3）0 2

00 a010 0aa0 010a 00

n 1 (n 1)

0a 0

( 1)2n 1

00 a10 0

a0 00a 0

00 a

解：（1）Dn

a

00 a010 0a

a a

n

n 2

n 1

00

n00

1 0 0

22 0

30 0

2n 1

00 0

n00 (n 1)

( 1)n 1

(n 1)!

2

122 0

30 0

n00 (n 1)

1 11 1

（3）0

0

2 2

n 1 (n 1)

2 3 n2 3 n3 4 n 2n 1

0 0

10 0

0 2 0

00 0

1-7. 解下列方程：

1

133

221

335

0

12 x222

（1）D4(x)

19 x2

解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：

①当2 x2 1时，即x 1时，D4(x) 0 ②当9 x2 5时，即x 2时，D4(x) 0 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-2

15

713

8167

12

1

1-8. 设D

0 9

，试证：A41 A42 A43 A44 0

34

证明：根据拉普拉斯定理可知1 A41 1 A42 1 A43 1 A44 0

即A41 A42 A43 A44 0

1-9. 用Cramer法则解下列方程组：

2x1 x2 5x3 x4 8

x 3x2 6x4 9（1） 1

2x x 2x 54 23 x1 4x2 7x3 6x4 0

8

1 30 69

27，常数向量 解：该方程组的系数行列式为D

5 02 12

14 76 0

8D1

9 502D3

01

1 324124

50 1 789 50

1 626

27 D4 1 626

81 D2

211201

890124

50 7 50 7

1 626890 27 108

2

1

5

1

0 5 1

1 31 3

1 5

x1

DD1DD

3, x2 2 4, x3 3 1, x4 4 1 DDDD

1-10. （1）问 取何值时，下列齐次方程组有非零解？

2x1 x2 2x3 0

3x1 x2 x3 0 x x 0 13

2 2

1 2 2 0 1

解：要使原方程有解，由定理1.8知3

解得 1 1或 2 2。

10

附加题：

x x计算：x a

x x

a xx xa

xaxx xn

a (n 1)x a (n 1)xa (n 1)xa (n 1)x

xx ax xn

xa x10 a x

ax x10 0

10 0

xx x10 0a x0

n

x xa

x xxaxx x

解：x a

a x

x xn

1 111x xa

[a (n 1)x]x a

n(n 1)2

x x

x [a (n 1)x]0 a x

a x

[a (n 1)x] ( 1)

(a x)n 1

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