2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题06

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六

（时间：120分钟 满分：150）

姓名_______________

一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．

1．若点P(x, y)在直线x?3y?3上移动，则函数f(x, y)?3x?9y的最小值等于____________ 2．设集合M?{?2, 0, 1}，N?{1, 2, 3, 4, 5}，映射f:M?N使对任意的x?M，都有：

x?f(x)?xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是____________

3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，

则称这个数为“奇和数”；那么所有的三位数中，奇和数有________个． 4．设a1?6，an?12014532?[an?an?2] (n?N*)，其中[x]表示不超过x的最大整数，则?ai的个位 44i?1数字为______________

?x?3y?2z?05．已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且?2，则方程组的解： 22?2x?3y?z?0(x, y, z)?______________

6．已知关于x的实系数方程x2?2x?2?0和x2?2mx?1?0的四个不同的根在复平面上对应的点共 圆，则m的取值范围是______________

???????????????7．设平面上的向量a, b, x, y满足关系a?x?y，b?2x?y，又设a与b的模为1，且互相垂直，

???则x与y的夹角为______________ 8．设函数f0(x)?|x|, f1(x)?|f0(x)?1|, f2(x)?|f1(x)?2|，则函数f2(x)的图像与x轴所围成图形中

的封闭部分的面积是______________

9．已知单位正方体ABCD?EFGH棱AD与直线BC上分别有动点Q、P；若?PQG与?BDE相截

得到的线段MN的长度为y，现设AQ?x (0?x?1)，则y的最小值写成关于x的函数关系式 是______________

10．设a1，a2，?，a2014均为正实数，且

是______________

1

1111???????，则a1a2???a2014的最小值 2?a12?a22?a201422016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六 二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．

x2y211．已知焦点在x轴上的椭圆2?2?1过定点A (1, 0)，且与曲线|y|?x的交点为B、C；现有以

abA为焦点，过点B、C且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M(m, 0)；当椭圆的离心率e

满足23?e2?1时，求实数m的取值范围．

12．已知?ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc?2(a?1)(b?1)(c?1)；

（1）是否存在边长均为整数的?ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由． （2）若a?1，b?1，c?1，求出?ABC周长的最小值．

2

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六 13．已知⊙O1与⊙O2相交于两点A、B，点P、E在⊙O1上，点Q、F在⊙O2上，且满足EF

为两圆的公切线，PQ∥EF，PE与QF相交于点R；求证：?PBR??QBR．

AQPO2O1BFER

3

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六 14．从数1，2，3，?，2014中删去一些数，使得剩下的数中任何一个数都不等于其余两个不同的

数的积，问至少要删去多少个数才能做到这一点？

4

2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六 2016年高中数学联赛江苏初赛模拟试题六答案

一、填空题：

1．若点P(x, y)在直线x?3y?3上移动，则函数f(x, y)?3x?9y的最小值等于____________ 解：f(x)?3?9?3?95xyx3?x3?3?3xx2(1?)3?3?3x22?x3222x1?x1?x1x1x1?333 ??3??3?3?3?3222222x1?x1?x1?x132711x1x1?31x53335?5??3?5?()，等号当且仅当?3?3， ?5??3??3?3?3?3442222713即x?(1?log32)时成立，∴f(x, y)的最小值是5?()5．

452．设集合M?{?2, 0, 1}，N?{1, 2, 3, 4, 5}，映射f:M?N使对任意的x?M，都有：

x?f(x)?xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是____________

解：当x??2时，x?f(x)?xf(x)??2?f(?2)为奇数，则f(?2)可取1，3，5，三种；

当x?0时，x?f(x)?xf(x)?f(0)为奇数，则f(0)可取1，3，5，三种；

当x?1时，x?f(x)?xf(x)?1?2f(1)为奇数，则f(1)可取1，2，3，4，5，五种； 由乘法原理知，共有3?3?5?45个映射．

3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，

则称这个数为“奇和数”；那么所有的三位数中，奇和数有________个． 解：设三位数是a1a2a3，则a1a2a3?a3a2a1?100(a1?a3)?10(a2?a2)?(a1?a3)；

若a1?a3不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，∴a1?a3=11，13，15，17；

∵11?9?2?8?3?7?4?6?5，∴a1、a3取值有4A22种可能； ∵13?9?4?8?5?7?6，∴a1、a3取值有3A22种可能； ∵15?9?6?8?7，∴a1、a3取值有2A22种可能；

2∵17?9?8，∴a1、a3取值有A2种可能；由于a2?a2不能进位，∴a2只能取0，1，2，3，4；

2222?3A2?2A2?A2)?100（个）∴满足条件的数共有：5(4A2．

20145324．设a1?6，an?1?[an?an?2] (n?N*)，其中[x]表示不超过x的最大整数，则?ai的个位

44i?1数字为______________

解：由a1?6?5?21?1?1, a2?11?5?22?1?1, ???，

猜想：an?5?2n?1?1；由已知递推关系式，易用数学归纳法给予证明（略）； ∴当n?1时，an?1 (mod10)；∴a1?a2?????a2014?6?2013?9 (mod10)．

?x?3y?2z?05．已知三个正整数x，y，z的最小公倍数是300，并且?2，则方程组的解： 222x?3y?z?0?(x, y, z)?______________ 解：记方程组中的两个方程为（1），（2），消去x得：5y2?8yz?3z2?0，

即(5y?3z)(y?z)?0；所以5y?3z?0；（3） 或y?z?0；（4）

由（1）、（3）得y?3x, z?5x，即x:y:z?1:3:5；

于是，由已知条件，必有x?20, y?60, z?100；即(x, y, z)?(20, 60, 100)． 由（1）（4），得x??y??z，与已知条件“三个正整数”矛盾．

6．已知关于x的实系数方程x2?2x?2?0和x2?2mx?1?0的四个不同的根在复平面上对应的点共 圆，则m的取值范围是______________

解：易知方程x2?2x?2?0的两根为x1?1?i, x2?1?i；

当??4m2?4?0即?1?m?1时，x2?2mx?1?0有共轭虚根x3、x4，且x3、x4的实部为?m?1，

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