数学培优卷5（答案）

培优卷5. 探索最大值（参考答案）

1. 解：（1）B（1，3）

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,

因此y?3），得a?3， 33223x?x 33（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，

△BOC的周长最小.

?3k???k?b?3,??3， 设直线AB为y=kx+b.所以?解得??23??2k?b?0.?b??3?因此直线AB为y?当x=－1时，y?323x?， 33A C y B 3， 3O x 因此点C的坐标为（－1，

3）. 3y （4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

1S?PAB?S?PAD?S?PBD?(yD?yP)(xB?xA)21??323??3223??????3x?3?????3x?3x????32????????323??x?x?3223?1?93??x????2?2?82B

A D O P x 当x=－

?1933?1时，△PAB的面积的最大值为，此时P?. ?,????84?2?2

2．解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为y?(x?)2?m …（1分） ∴4??(?)2?m

∴m?? ……………………………………………………………（3分） ∴所求函数关系式为：y?(x?)2? （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB?OA2?OB2?5

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分） ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）

2352235216235212210?x?x?4 …………（4分） 633210?5?4?4

33210当x?2时，y??22??2?4?0

33当x?5时，y??52?∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）

（3）设直线CD对应的函数关系式为y?kx?b，则

?5k?b?4 ?2k?b?0?y48解得：k?,b??．

3348∴y?x? ………（9分）

33∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t． 则yM?t2?BNMAODCEx231048t?4， yN?t?，……………………（10分） 33348?21021420273???(t?)2? ∴l?yN?yM?t???t2?t?4???t2?t?33?33333322?73时，l最大?， 2271此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）

22∵??0， ∴当t?

23

3.（1）解:∵正方形OABC边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,

∴点A、B的坐标分别为(0,－2)、(2,－2). ∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点A、B和D(4,?2

2). 3c＝－2

∴

1a＝6

解得

4a＋2b＋c＝－2

216a＋4b＋c＝3

??1b＝3

c＝－2

y?O?Q?∴抛物线的表达式为y?（2）①∵PQ＝PB＋BQ.

∴S＝(2－2t)＋t

2

2

2

2

2

121x?x?2. 63C?x?P?R3?＝5t－8t＋4(其中0≤t≤1).

2

A?M?B?R2?D? 552

②当S取时,＝5t－8t＋4(其中0≤t≤1).

4413解得,t＝.此时,点P、Q的坐标分别为(1,－2)、(2,?).

22113过点P作PR1∥CB交抛物线于R1,得到R1的纵坐标为?,即PR1＝.

661而QB＝,∴以点P、B、Q、R1为顶点的四边形不是平行四边形.

2过点Q作QR2∥CO交抛物线于R2、R3,得到R2、R3的横坐标分别为1、－3, 即QR2＝1、QR3＝3.而PB＝1,

∴以点P、B、Q、R2为顶点的四边形是平行四边形,此时R(3,?以点P、B、Q、R3为顶点的四边形不是平行四边形.

（3）∵A、B关于抛物线的对称轴成轴对称,

如图所示,三角形任意两边之差应小于第三边, ∴满足题意的M点应该是直线DB与对称轴的交点. 易知直线DB的表达式为y?

3) 28210x?,∴M点的坐标为(1,?).

333

4. 解：(1) 设y?mx?n

将点A(?2,2),B(6,6)代入得 ???2m?n?21 得m?,n?3

2?6m?n?6∴y?1x?3 当x?0时，y?3． ∴E(0,3) 2（2）设抛物线的函数解析式为y?ax2?bx，

将A(?2,2),B(6,6)代入得?∴抛物线的解析式为y??4a?2b?211 解得a?,b??

42?36a?6b?6121x?x． 42

（3） P' y M B E Q P F Ｓ A N HO G Ｔ x (第26题) 过点N作x轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥x轴于H， 设N(x,121x?x)，则Q(x,x) 42则S?BON?S?QON?S?BQN

11?QN?OG??QN?GH 221 ??QN?(OG?GH)

21 ??QN?OH

2 ? ?1??121??x??x?x???6 ?2??42??329327x?x??(x?3)2? (0?x?6) 424427 ∴当x?3时，△BON 面积最大，最大值为，

43此时点N的坐标为(3,)．

4 ??

（4）解：过点A作AS⊥GQ于S

∵A(?2,2),B(6,6),N(3,)

∴∠AOE=∠OAS=∠BOH= 45°, OG=3，NG=在Rt△SAN和Rt△NOG中 ∴tan∠SAN=tan∠NOG=

3435，NS=，AS=5 441 4 ∴∠SAN=∠ NOG

∴∠OAS -∠SAN=∠BOG -∠NOG

∴∠OAN=∠BON ∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN

∵A(?2,2),N(3,)

34在Rt△ASN中， AN=当△BOP∽△OAN时

AS2?SN2?517 4OBOP151762OP? 得OP= ?OAAN4225174过点P作PT⊥x轴于点T ∴△OPT∽△ONG ∴

PTNG1?? OTOG4151515172) t1?,t2??（舍）

444设P(4t,t) ∴(4t)?t?(∴点P的坐标为(15,2215) 415将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P'(,15) 41515由以上推理可知，当点P的坐标为(15,)或(,15)时，△BOP与△OAN相似．

44附：求最值方法

转化数学检验??数学问题????解????问题答案 解题策略实际问题??解答“总利润=总售价-总成本”? 利润最值问题：此类问题一般先是运用或“总利润=每件商品的利润?销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式，再求出这个函数关系式的顶点坐标，顶点的纵坐标即为最大利润．特殊地，这里要考虑实际问题中自变量的取值范围，数形结合求最值． ? 线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和 关键在如何将实际问题转化为数学问题两点之间线段最短确定最短距离，这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地，也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题． ? 最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴，作一个已知点的对称点，连结另一个已知点和对称点的线段，与对称轴交于一点，这一点即为所求点．线段长即为最短距离和． ? 口诀：“大”同“小”异求最值． “大”同：求差的最大值，把点移动到直线的同侧． ? “小”异：求和的最小值，把点移动到直线的两侧．（几何最值较多） ? 线段长最值问题：根据两点间距离公式x1?x2把线段长用二次函数关系式表示出来求最值． ? 几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似，对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系，其顶点的纵坐标即为面积最值． ? 动点产生的最值问题：数形结合求解，把路程和转化成时间和，当三点共线时有最值．

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