五年级上册奥数讲义

?????博学教育 优等生同步奥数提高 五年级（上）?????

第一讲 整数问题 第1课 数的整除

一、知识要点

1. 整除——因数、倍数

? 必要条件：

（1）a、b、c三个数是整数 （2）b≠0 （3）a÷b=c

? 结论：整数a能被整数b整除，或b能整除a，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数。 记作：b｜a

整数a除以整数b（b≠0）等于c（c是整数且没有余数），那么说a能被b整除，或b能整 除a，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。 2. 相关基础知识点回顾

（1）0是任何整数的倍数。 （2）1是任何整数的因数。

3. 数整除的性质

性质1：如果a、b都能被m整除，那么它们的和与差也能被m整除。 即：如果m｜a，m｜b，那么m｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除。 即：如果m｜a，n｜a，那么 [m，n]｜a。 例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。

性质3：如果m、n都能整除a，且m和n互质，那么m与n的积能整除a。 即：如果m｜a，n｜a，且（m，n）=1，那么（m×n）｜a。 例如：如果2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么18｜72。

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性质4：如果a能整除b，b能整除m，那么a能整除m。 即：如果a｜b，b｜m，那么a｜m。 例：如果7｜14，14｜28，那么7｜28。

4. 数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。

（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。

（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。

例：1864能否被4整除？

解：1864=1800+64，因为4｜64， 4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。

（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。

例：29375能否被125整除？

解：29375=29000+375，因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。

（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。(奇数位指：这个数的个位、百位、万位??；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位??)

例：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。 例：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11 5，所以11 123456789。

（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又因为7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。

例：判断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。

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二、典型例题详解

猜猜会是什么数？

【例1】：一个856五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？ 解：先将856，看做856ab。

∵3｜856ab，则3｜8+5+6+a+b，3｜19+a+b，∴a+b=2或a+b=5或a+b=8。 ∵4｜856ab，则4｜ab，∴ab=偶数

∵5｜856ab，则b=0或b=5，又∵ab为偶数，∴b=0 ∵a+b=2或a+b=5或a+b=8，且b=0，∴a=2或a=5或a=8

当a=2，b=0时，这个数为85620；当a=5，b=0时，这个数为85650；当a=8，b=0时，这个数为85680。 答：五位数中最小的一个是85620。

【例2】：一本老账本上记着：72只桶，共67.9元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。 解：先将67.9，看做整数a679b。

∵72=8×9，且（8，9）=1，∴8｜a679b，且9｜a679b。 若8｜a679b，则8｜79b，所以b=2。

若9｜a679b，b=2，则9｜a6792，9｜a+6+7+9+2，9｜a+24，所以a应是3。 所以这个数应是 答：这笔账应是 元。

【例3】：173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除。先后填入的三个数字的和是多少？

[方法一] 试商法

解：

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[方法二] 倍数特征 解：

三、课后作业

1. 在中填入适当的数字，使所组成的数能够被 4整除。

784 7653 863

3. 一个六位数2356是22的倍数，那么这样 的六位数中，最大的一个是多少？

2. 71450至少加上多少后就能被4整除？

4. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

5.一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出： 173. 元。你能算出热水杯的单价吗？

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第一讲 整数问题 第2课 倍数与因数（一）

一、知识要点 1. 质数与合数

质数：一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）

合数：一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

1不是质数，也不是合数。

2. 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：30分解质因数。

解：30=2×3×5 答：2、3、5是30的质因数。

?分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数

?100以内的质数（要会背的）：

2、3、5、7、

11、13、 17、19、 23、29、 31、37、

41、43、 47、 53、59、 61、67、

71、73、 79、 83、89、 97.

3. 公因数与公倍数

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