刘觉平电动力学第3章答案

第三章 电磁相互作用的基本规律

目录：

习题3.1 带电粒子在电磁场中的运动规律 ............................................ 2 习题3.2 电磁场在外场作用下的运动规律 ............................................ 2 习题3.3 电磁场的能动张量定理 ...................................................... 20 习题3.4 电磁场的角动量张量定理 ................................................... 24 习题3.5 介质中的Maxwell方程组 ................................................. 25 习题3.6 介质中电磁场能-动量与角动量定理 ..................................... 39 习题3.8 波动方程 ........................................................................ 50 习题3.9 平面电磁波的偏振 ............................................................ 55 习题3.10 电磁场的螺旋度 ............................................................... 58

规范不变性的内容都空了，没有处理。最后两节也没有处理，不过本身做的很详细。其他都好好看了。

习题3.1

?1． 试证作用量Sp?Sp free?Sint???mcds?eAdx??0?在U?1?规范变换 a?bA???UA?U?1?i1??U?U?1 ?e 下不变。式中U?exp?ie??

证明：

2． 将带电粒子的加速度用它的速度以及电场强度和磁感强度表示出来

??dv解：加速度定义：a?

dt?????dpd?m0?v?dv?d????1??3/2??2vdv? 由于??m0??m0v?ma?m0v?????2??

dtdtdtdt2dt????c?????dp??5/2??vv?????5/2vv? 所以?ma??ma??2??ma??I???a?M 2?dtc??c??????dp??e? 而?E?v?B?? dt?????1??a??eE 所以??v?B??M ????5/2vv?其中M?m?I??，是一个二阶张量 2?c??习题3.2

1． 证明由式（3.2.2）定义的电荷密度与式（3.2.3）定义的三维电流密度满足连续性方程。

证明：由式（3.2.2）知电荷密度为?(x)?由式（3.2.3）知三维电流密度为

?3?Q?(x?x?(l)(l))

l????dxdxdx????j(x)????Q(l)?3(x?x(l))??Q(l)(l)?3(x?x(l))

dtdtdtll???????3(x?x(l))??3(x?x(l))dx(l)????Q(l)??Q(l)???t?t?x(l)dtll有 ??3???(x?x(l))dx(l)??Q(l)????xdtl??dx(l)3??而??j??Q(l)??(?(x?x(l)))

dtl??3??dx??(x?x?(l)(l))x由于与无关,故??j??Q(l) ??dtdt?xl?dx(l)??????j?0 所以?t

2． 试证：直至A的一阶导数，除开一个常数因子，电磁场场强张量的对偶张量是在U(1)规范变换下不变的唯一的一个二阶赝张量。

证明：若有二阶张量T??,则在空间反演变换下，张量T?????????T??T?? 满足关系

??????????T

??由于???????是四阶赝张量,所以T????? ???????T????T?即T??是二阶赝张量,则由A?和??构成的二阶赝张量的普遍形式为

?????????(aAA?b?A?c?A) T????????A?????下不变，则有 若在定域规范变换A??????T?????????(a(A???A???????)?(b?c)???)?T??? T????????所以a?0 b??c

?则T???b?????F??，即

????1?????F是除开一个常数因子，唯一的二阶赝张量 F??2

附：书上已证明，在U（1）规范变换不变下，F在一个不变的二阶赝张量，必然是F变，另一方面，我们知道?

????????是唯一的一个二阶张量。现在若存

的组合，只有这样才能满足U（1）规范变换不

???是唯一的四阶赝张量，所以F1??????F??。 2

3． 证明电磁场场强协变张量F??分量表达式（3.1.27），并导出相应的逆变，混变张量的分

量表达式。

①证明F??的分量表达式 有F?????A????A?

???z?(?3A1??1A3)e?y?(?2A3??3A2)e?xB???A?(?1A2??2A1)e?z?Bye?y?Bxe?x ?Bze考虑到F??的协变形式，则

F12??Bz F13?By F23??Bx

同样考虑到F??的协变形式，则

????A?(cA0)?i))E??(???)??(c?0A?(?e?t?xi?x?c(?0A2??2A0)e?y?c(?0A3??3A0)e?z ??c(?0A1??1A0)e?x?Eye?y?Eze?z ?Exe所以F01?Exc F02?Eyc F03?Ezc 又由F?????A????A?，知

F????F??即，F??为反对称张量，所以

?0??EcxF??????Eyc????EzcExcEycEzc?0?BzBy?? Bz0?Bx???ByBx0?? ②导出逆变分量式，混变分量式

F???g??g??F??ExcEycEzc??1000??1000??0???0?100???Ec?0?BB0?100xzy???????0?Bx??00?10? ?00?10???EycBz???????Ec?BB0000?1000?1?z?yx???????Exc?Eyc?Ezc??0?Ec?0?BBxzy????EycBz0?Bx???Ec?BB0??yx?z?F???g??g??F??ExcEycEzc??1000?0??0??Ec???0?BB0?0?100xzy?????

0?Bx??00?10?0???EycBz??????Ec?BB01??000?1?zyx?????Exc?Eyc?Ezc??0??Ec?0B?Bxzy?????Eyc?Bz0Bx????EcB?B0??yx?z??1?0???0??001000010

F???g??F??g??ExcEycEzc??1?1000??0???0?100???Ec0?BB0xzy??????0?Bx??0?00?10???EycBz??????Ec?BB0000?1??yx???z??0ExcEycEzc??0?Ec?0B?Bxzy????Eyc?Bz0Bx???EcB?B0??yx?z?

000?100?? 010??001??的分量表达式，并证明F4． 求出电磁场场强张量的对偶张量F????B??Ec下互变。

???在所谓对偶变换 与F??

解：F????g??g??F????12g??g???????F??

??0ExcEycEzc?因为F?Exc0?BzB?y???????EB? ycz0?Bx????Ezc?ByB?x0????0?Bx?By?Bz?所以F?????Bx0Ezc?Eyc???By?E?? zc0Exc??BzE?yc?Exc0?? 所以

??Bx?By?B?1000??0z??1F???0?100?0E?zc?Eyc?000?10???g??g??F???????Bx?00?10??By?EE??zc0xc??00??000?1?????BzEE???1yc?xc0??000

??0BxByBz? ???Bx0Ezc?E?yc???By?E? zc0Exc????BzEc?Ec0?yx??而

??0?Exc?Eyc?Ezc?F????Exc0?BzB?y??EB? ycBz0?x???Ezc?B?yBx0??所以在对偶变换B???E?c下，F??与F???互变。 ５.证明：E??E22c?B与B?c2在特殊Lorentz变换下保持其形式不变．

解：由F??构造的Lorentz不变量必有F????????0

对行列式，行列互换并不改变其行列式，故仅仅包含?的偶次方项才能出现．而偶数阶行列式所有元素变号时，该行列式并不变．又由F????F??，有

F????????F?????????F????????F????????0

与此相应，在?方程内，仅能有两个异于零的系数，即?2与?4的系数；亦即一个二阶反对

0?0?0???1??称张量的特征是只有两个不变量．

??0??Ex??c代入F??????Ey?c?Ez????c2Exc0Bz?ByEyc?Bz0BxEz??c??By??，展开行列式得 ?Bx???0????EE??4?(B2?2)?2?(?B)2?0

cc?E?E22故?B与B?2为不变量，在特殊Lorentz变换下保持其形式不变． cc这个证明比较有意思。

下面给出一个通常的证明：

把电磁场按坐标系之间的速度方向分解成平行与垂直两部分，即

??????E?E//?E?, B?B//?B?

则在Lorentz变换下，E,B的变换规律为

???????B//??B//??E?E////???? ??? , ?????v????E??v?B?????E?B?B??2?E??????c?????所以

?????v?B??v?E???????2E??B??E//?B//???E??B???c2???2?????vE??B?? ?E//?B//??2?E??B???2c??????????

????所以E??B??E?B

可以证明

?2v22?????E??vB??, B?????B??2E?? E?c??2222222所以

?121?2??E??E??B??2E//2cc???2????B???B//?21?2?2?122??1?2???2E//?B//???2E??B???2E?B?c??c?c

F??F????2?E2/c2?B2?事实上，由于 ?????FF????4E?B由于他们都是收缩而成的Lorentz标量，因而都是Lorentz不变量。

?另一方面，由于F

??是赝张量，F??是二阶张量，所以E?B是赝标量。

???F????FF???1g?FF??F???????2??６.证明：．

????g?E?BF??F?c?F?解：对F?????F??F???1?g?F??F??，有 21?????F????1?????F???FF???????F??F?? ????????24?g??1??det?g??4??g???g?g???g???g?????g??FF?? ??g??1?????????????????(g?FF???g?FF???g?FF???g?FF???g?FF???g?FF??)?41????(g?FF???F??F???F??F??)2?

将括号中第二项的?及第三项的?替换为?，即得

?F????FF???1g?FF?? F???????2

这一题，由于涉及的都是二阶张量，可以用矩阵表示，所以可以利用矩阵乘法直接计算证明：

?F???1先证第一式：F○???F??F???1?g?F??F?? 2?F???F???0??Bx????By????BzBz??0?B0Ezc?Eyc???x?Ezc0Exc??By??Eyc?Exc0????Bz?ByEz?BzEyBxBx?cEy2?Ez2c2ExEyc2EzExc2BxBy???B?B????ByEz?BzEy??c =??BxEz?BzEx??c???BxEy?ByEx??c?BxBy?BzBx??Bz?0Ezc?Eyc???Ezc0Exc??Eyc?Exc0???BxEy?ByEx?BxEz?BzEx?cc? EEEE?BxBy?x2yBzBx?z2x?cc?22EzEy?Ez?ExByBy?BzBy?2?c2c?22EEE?E?BzBy?z2yBzBz?x2y?cc??Bx?ByEy?ExEz?0??ccc??Exc?Eyc?Ezc??E?0?x??0?BB?Ec?zy?0?BzBy??cx???F??F????EycBz0?Bx??EyBz0?Bx??????Bx0???Ezc?By??c?E??z?BBx0?y???c????ByEz?BzEy?BxEz?BzExE?E?2ccc?ExEy??ByEz?BzEyExEx?BzBz?ByBy?BxBy??22ccc ??ExEyEzEz?BxEz?BzEx??BB?BxBx?ByByxy22?ccc?EzEyEzEx??BxEy?ByEx??BB?BzByzx22?ccc?

于是F??F所以

????c??EzEx?BBzx?c2?EzEy??BBzy?c2?EyEy??BB?BBxxzz?c2??BxEy?ByEx?E22???trace?F??F???2?2?B?

?c????F????FF??F?????????E?E0?B?B?2c??????E?E0B?B??2c???00???00??于是命题得证。

附：

00????E?EB?B?2c0????0?

??0??????E?E?B?B?2?c?0事实上，利用对偶关系B??E/c，矩阵运算是十分简便快捷的。

???F?显然，F????是对称矩阵，所以计算时只要算上三角元素和对角线元素，当算出后，利用

??对偶关系，可以直接得到F??F。所以实际运算量相当小。证明很简便。

下面利用对偶关系，在给出一个提示性的证明：

?F????FF?? 由于对偶关系B??E/c，F?????F?所以我们可以假设F????? ?F??F???T?????做一次对偶变换，则F??F?F????T?? ?F??????T 所以T?????222若对??两指标收缩，我们知道，T???4E/c?B

??所以可以简单地构造出T???g?E/c?B???222g??12??F??F??

????T?且T???4E2/c2?B2的构造。 因此只要证明这样的构造是唯一能满足T???（尚未证明）

?????2下面用矩阵相乘证明第二式F??F○

??E?B?g? ?c

?Exc?Eyc?Ezc??0?Bx?By?Bz??0?Ec??B?0?BB0Ec?Ecxzyxzy????????F??F?EycBz0?Bx??By?Ezc0Exc?????Ec?BB0BEc?Ec0????yxyx?z??z? ????E?B/c?000????0?E?B/c00? ??????00?E?B/c0????000?E?B/c????直接就得到结论。非常简单。

７.验证关于电磁场场强张量的Jacobi恒等式与两个齐次的Maxwell方程等价． 解：对??F?????F?????F???0，当?????时，

由于方程本身是对这三个指标的轮换和电磁场场强张量的反对称性，(?????)不重复的取法只有（0,1,2）(0,1,3),(0,2,3),(1,2,3)四种，故总共有四个独立的方程：分别为：

??Bz??Bz?Ey?Ex????0???tc?tc?xc?y???By??By?Ez?Ex???0?????t?c?tc?xc?z即????Bx??Bx??Ez??Ey?0??t?c?tc?yc?z?????Bx??By??Bz?0??Bx???y?z??x??x???Ey?x??Ex?0?y?Ex?Ez??0?z?x

?Ez?Ey???0?y?z?By?Bz???0?y?z???????E??B等价于?．

??t????B?0而?????时F???F???F???0，Jacobi恒等式恒成立． 且当?,?,?中有两个相同时，由F????F??知，该恒等式恒成立．

??????E??B?故??F?????F?????F???0与?等价．

??t????B?08.验证式??F????0j?与两个非齐次的Maxwell方程等价．

?解：对?F????0j?，??0时，有?F?0??0j0，即

??Ex?Ey?Ez????0c2? ?x?y?z由?0?0?????1???0，有??E?．即时?F????0j?等价于??E?．

c2?0?0??0时，分别令?取1,2,3,有 ??Bz?By1?Ex??2??0jx??zc?t??y???Bz?Bx1?Ey??2??0jy ???x?zc?t???By?Bx1?Ez??2??0jz??x?yc?t??等价于??B???1??E??0j． 2c?t由上可知，??F???????E???0? ??0j?等价于 ???????B?1?E??j0?c2?t?9、试由Maxwell方程组的四维形式或三维形式推出电荷守恒定律. 解：由Maxwell方程： ??E??/?0 （1）

??????1?E???0j （2） ??B?2c?t??1?1?(1)(??E??/?0)?0 得： 22c?tc?t????1?E???0j)?0 ??(2) 得： ??(??B?2c?t

????????j?0 (????B?0) 两式相加可得：?t

由四维形式推出电荷守恒定律：

??F????0j?

????F???????0j?????j??1?0????F???11?0????F??1利用F??的反对称又可以得到??j?????j??0?0????F?????0????F??

10. 试从Lorentz力密度公式导出Lorentz力公式。

???????解： Lorentz力密度公式：f??E?j?B

???' 对带电粒子，??e?(x?x(t)) ?? j??v

力密度公式对全空间积分得：

??????????????3?3?? F??dxf?x,x???dx(?E?j?B)?e(E?v?B)

vv

11．试由作用量（3.2.20）Sf?14??0c4??????dxF[F?2(?A??A)]导出电磁场场强???张量F??的定义式（3.2.12）和真空中的无源Maxwell 方程。 解：作用量（3.2.20）式为 Sf?14??0c??4??????dxF[F?2(?A??A)] ???出现在被积式中的F与A应当看成是相互独立的。由最小作用量原理得

??Sf?Sf ?0; ?0.

?F???A?此即

4??????dx[F?(?A??A)]?F???0;???dxF????A??dx?A?F???0??4??4??

对于任意的F与A都成立，故

?

F?????A????A?;?F???0.?

/////////////////////////////////////////////////////////// 针对这一节用分量法难以处理电磁场场强张量的问题，我们提出一个有意思的做法，其核心思想就是分块矩阵。

观察F??矩阵，可以发现它可以划分为四部分：

Exc?0??Ec0xF??????EycBz????Ezc?ByEycEzc??BzBy?? 0?Bx??Bx0??黑色区域;

红色区域，绿色区域：这两个只与电场有关，且是一个矢量形式。 蓝色区域：只与磁场有关，且是一个反对称矩阵。

因此我们可以划分为四个分块矩阵，每一个矩阵内的元素我们又可以仍用分量表示。这就是一切的出发点。

为了实现上面目的，需要利用一些结论：

命题1：对一个三维反对称矩阵，可以收缩为一个三维向量；反之，给出一个三维矢量，可

以构造一个三维的反对称矩阵。

1对反对称矩阵?ij???ji,由此构造的三维矢量为Bi??ijk?jk2 即：

给出三维矢量Bi,可以构造三维反对称矩阵?ij??ijkBk命题2：对上面的两个构造方式，他们是可逆的。 即：Bi?1?ijk?jk??ij??ijkBk，收缩得到的矢量还能还原原来的矩阵。 2

由于我们都是在闵科夫斯基空间中讨论，因此还必须严格区分逆变和协变。 因此对上面的命题用逆变协变的形式写出来。

1对矩阵收缩：Bi???ijk?jk2

ijijk还原矩阵：???Bk需要注意的是千万不要与第一章中的下标混淆。这里?123??1

记住一点：将他们理解为四维形式中的三维成分。就像F??的蓝色矩阵块。

命题3:可以通过gij,gij上升和下降指标。

??1???1??,g???,他们就是度规张量的三维部分。

?1?1???gij???ij???????1??1?????由于g在电动力学中有特殊意义，为不至于混淆，我们用?代替。

上面命题都很容易证明。

下面我们就给出F??的新形式

?Ej/c??0F????k?

E/c?Bijk?i???kEj??E， B?B

形式上可能不太恰当，左边是一个分量，右边是一个矩阵，不过可以看作是一个约定， 像F??，由于?,??0,1,2,3，所以是一个4?4的矩阵。

像Ej，由于j?1,2,3，所以是一个三维矢量，从它在矩阵中位置可以看出，它还是一个行向量。

像?ijkB，k指标已收缩掉，只剩i，j两个指标，所以它是一个3?3的矩阵。

我想一般还不会引起混淆。

k

利用公式：?ijk?jil??2!?kl, ?ijk?mnk????im?jn??in?jm?

它们都是四维形式的直接推论，始终取第一个指标为0。

?的分量表达式，并证明Fa. 求出电磁场场强张量的对偶张量F????B??Ec下互变。

解：F???????在所谓对偶变换 与F???Ej/c??0k?

?Ei/c?ijkB?

1???????F??F??

2

00????F??1??i0??F??2????0j??F????

?ij??F?????00??00??F?0 显然F??10j??0j???F??，由于0是最小的，因此可略去不写，不会影响?的值， F

2另外，由于已取过指标零，所以??只能取做m,n。m，n=1，2，3

故

?0j?1?0j??F?1?jmnF?1?jmn??Bk???12!?jBk??BjF??mnmnkk2222

同样处理，或者直接利用?

i0??1i0??i0i?F??F?B的反对称性，得到： ??21ij??1ij0?1ij0nijijm??F??F?????F0???Fm?????F0n??ijm0Fm0? 222对第三个等号做一些说明：

对第一项，由于?已经取了指标0，所以?只能取n=1，2，3 对第二项，由于?已经取了指标i，j，k。所以?只能取0

?ij?1??ij0nF??ijm0F??1?ijn??E/c?????ijm??E/c????ijkE/cF0nm0nmk22??

?故：F???0??j?B?? ijk??Ek/c??Bj对比F?????Ej/c??0k?

?Ei/c?ijkB?ii可以发现在对偶变换Ei/c?B或者Bi?E/c两者互变。

??写成三维形式就是B??Ec

说明：对上面的分量形式，直接的Ei/c?B或者Bi?E/c还不能完全变为

ii?到F，将E/c用B代入，Bi用E/c代入，只能得另一个矩阵，例如从Fkki?????Ej/c??0到F????其实它在数值上是对的，但是形式上还有些问题。ijkk?，

E/c??B?i?为此还要改造那些有指标的系数，一是为了满足正确的收缩法则（逆变指标与

协变指标），二是为了体现整个张量是逆变的还是协变得。 所以将?ijk改写为??ijk，注意改写时必须保持数值不变，所以这里有一个负号。

现在我们在总结一下刚才的做法：

1． 选择可以作为矩阵行和列的指标，像上面，只能是?,?。

2． 将一个四维指标拆成0，和一个三维指标i。从而写成矩阵块形式。

00??F??1????i0??F??2???? F???0j??F????

?ij??F????

3． 常常可以利用一些项的对称性或某些特点，如?的指标不能重复。因此可以用来化简。 F???01???imn2????Fmn?jmnFmn?1?0???imnij???F????2???Fmn?jmnFmn??

2?ijkF0k? 熟练后，将直接写出这样的形式。 4． 将F??的分块矩阵形式代入，运算。

?F????FF???1g?FF??F???????2??B．证明：

????g?E?BF??F?c

?先证明F??F????E?B?g? ?c?F??F????0F0?F?F0?F??j?F0?F ?j??Fi?F???EE?i0??iBi??B ?F0iFcc???E/c ???E/c???F0iFikijijk??0?F0?F????0?Fi?F?j?ijkEiEkc?0

??0??Bk?Bj??0 Fi?Fijk??j?FF?0j?FF?mj?E/c??Bj???Bk???mjlE/c?Fi?Fi0imiimklEiBj ?????ij?kl??il?kj?BkEl/cc??B?Ej ???ijBkEk/c??ic

???所以F??F???B?E?c????0????0????得证。 B?Ej??i?c?1?g?F??F?? 2

?F?再证明F???F??F????F?F?????F??0F0??F??j?F0? ?j???Fi?F??????Bi??Bi??B?B

?F??0?F0??????0?Fi?F???F?ij???B????ijkE/c??E?B F0iikc?F??0Fi???E?B????ijkEk/c??Bj???

c?F??j?F?F?0j?F?F?mj?B??Bj?????Ek/c????mjlE/c?Fi?i0imiimklEiEjEkEkj ??BiB?2?2?iccj

所以

?F???F??????B?B?????E?B??c????E?B?c? jk?EEEE?BiBj?i2?2k?ij?cc?

利用对偶变换，得到

F??F???E2?2c?????E?B??c????E?B?c? jk?EEBB?BiBj?i2?2k?ij?cc?所以

?F????FF??F?????2E2?B?2c????0???? 2?2E?j??B?2??i?c???0

F??F???F0?F0??FijFij?Fi0Fi0 ???Ei/c???Ei/c???ijkBk?ijlBl???Ei/c???Ei/c? EiEiE2i2 ?22?2BiB?2B?22cc因此得证。

??c. 验证式??F????0j?与两个非齐次的Maxwell方程等价．?F???0与两个齐次的

Maxwell方程。

证明：

????1?F○

?0与两个齐次的 Maxwell方程。

???Bi???0???x???F?i?????? ?F?????k???F?j??????Bj????ijkE/c??x??xi0?????????B??????????BE?

?????c?tc????????B?0? 所以??B

??E???t

○2?F????0j?与两个非齐次的Maxwell方程等价

????Ei/c?????xi?F?0??? ?F????????k???F?j??????Ej/c????ijkB??x0?xi?????????E/c??????????0?c????? ???E???B???0j?2????c?t??? 利用?0?0????E??/?0???E? ??B?2??0jc?t

1 c2习题3.3

1． 证明纯电磁场能－动张量是规范无关的,守恒的,对称的无迹张量.

证明:?T0???u?cg??x?cgy??cgzcgxcgyFcgz??????????? 其中 F?u?I??EE?1BB

0??0??① 显然T0??为对称二阶张量 下面给一个纯代数证明：

T0???1?1????????gFF?FF?????0?4??1?1?????????T0???gFF?FF?????0?4???T0????T0????T0??1?1?????????gFF?FgF??????0??4?

1?1????????gFF?FF?????0??4?1?1???????????gFF??F?F?T???????0??0??4?11

② tr(T0??)?u?u??0E?2?0B2?2u??0E2??0B2?0

纯分量语言证明：

T0???1?1????????gFF?FF??????0?4?1?1????v???FF?FFg??????0??2?

?T0???至此，就较难进行下去了，必须将电磁场场强张量用矢势表示出来才成。

③ 由定义,知T0???T???g??(j?A)?j?A?

其中, T0??(能动张量)作为可测量,应当与选取的规范无关. 对于,?g??(j?A)?j?A?

?[?g??(j?A)?j?A?]=(?g??)?(?j?A?j??A)??(j?A?) 由连续性方程??j?0,

∴?[?g??(j?A)?j?A?]?0即规范无关 ∴T0??是规范无关的 ④T0????11???[gF??F???F??F?] ?0411??E2?[g?(?2)(2?B2)?g??F??F??] ?04c3??E2?(?)g(?2)(2?B2) 为Lorentz不变量/////肯定有问题 ?04c1 ∴T0??守恒

前面已经计算：

F??F???2?B2?E2/c2?

F??F???E?2c??????E?B??c2???E?B?c? ?????2i?B?j?BB?EE??

所以F??F?v?F??F??g???F??F???E2?2c?????E?B??c???E?B?c? ??????B2?ij?BB?EE??所以

T0???11??11[gF??F???F??Fv?]?[g??F??F???F??F??]?04?04??2?12?EE?B22B?E/c???c2?1?2c?? ????????0??E?B1222ij2ijB?E/c??B??BB?EE????c2?????12?E?B22B?E/c???1?2c?? ?????????0?E?B1222ij?B?E/c??BB?EE????c2??显然，它是对称且无迹的。

下面证明他是守恒的。显然这里的守恒不是指Lorentz不变性，因为它是一个二阶张量，不变二阶张量只能与度规张量相差一个倍数。T0??前面一部分确实是一个不变二阶张量，后面显然不是了，非对角线上的元素不全为零。 这里的守恒应是指能量流守恒，即??T0???0

????E无源时??E?0, ??B?2

c?t 先证??T0???0

????12E?B?22即证明?B?E/c?????c??0

c?t2??????????B?E?1??B?3?E???E?B???B?E?0c?tc?tc????????B?E1??B?E????B?3?E????B?2?E??0 c?tc?tc?c?tc?t??成立??

再证明??T0?j?0

??????????E?B??1222即证明???????B?E/c?I?BB?EE??0

c?t?c??2???????????EE????EE??B1222?2?B?2??I???B??E/c????BB????2???0?c?tc?t??c???2???E??????2????1??1??????B?B?2???E??I??B?B??E?E/c???BB?B??B?2??EE?2E??E?ccc????????21???????2??1????B??B??B?B??E?E/c?2??EE???B?B??E?E/c?B??B?2E??E?cc???????????成立这样我们就证明了能量流守恒。

??????12. 证明恒等式: (??a)a?(??a)?a???(aa)???(a2I)

2????证明:左=(??a)a?(??a)?a

???????(?iai)ajej?(?iaj)?ijk?klmalem

???????(?iai)ajej?(?iaj)(?il?jm??im?lj)alem

分别取i=l,j=m; j=l,i=m（进行哑指标替换i?l,j?m; j?l,i?m）

????????∴原式=(?iai)ajej?(?iai)aiej?(?iaj)ajei

1??(a2I) 2???11 ??i(aiaj)ej?I?(?a2)?a2(??I) (??I?0)

22??????1 ?ai(?iaj)ej?aj(?iai)ej?I?(?a2)

2??????1??????a(?a)e?a(?a)e?Iee iijjjiijijij?(?aiai)

2??????1?? ?ai(?iaj)ej?aj(?iai)ej??2Iijaj(?iaj)ei

2???????? ?ai(?iaj)ej?aj(?iai)ej?aj(?iaj)ei

右=??(aa)?∴左=右

直接的观察法：

????????????a?a??a???a???a??????a?a??a?

故左边=???a?a??a?a?a??a

???????????????aa????aa?a??a

11????????1???a2I???a2?I????a?a???I???a?a??I??a?a 22?2?所以右边=???a?a??a?a?a??a 故左边等于右边

??????习题3.4

1 证明恒等式????F?r??r????F?，式中F是二阶张量。 证明：

???Flj?????rk?????????F?r???e?F?e?er??F?re???re??Fljei????ljijkikljijkkiijkkiijk?xl?xl?xl?xl???ijk?Flj??Flj???rkei??ijk?lkFljei??ikjrkei??ijkFkjei?xl?xl 因为Fkj?Fjk，所以?ijkFkje?0

??Flj??又有?ikjrke?r????F?

?xl这就证明了????F?r??r????F?。 附形式化证明：

??利用F?r?r?F

????右边 r????F?????F?r??点乘和叉乘作用的不是同一个指标?只对r微分????????左边 ????F?r??????F??r????r?F??? ?????F??r????r??F? =????F??r?

2 在无穷小规范变换下，电磁场的正则角动量密度张量

????x?T???????????x?T?1?0?F??A??F??A??如何变换？

解：因为F??是规范不变的，所以在规范变换

???的变换如下 A???A????? 下， T1??????????????T?????Tgj??F????j?? ???0???????中，并注意到F将上面两式带入??????x?T?????????????x?T?1??和x都是规范无关的：

??0?F???A???F???A???

???1???????????????x??Tgj??F????j??????0???????????1???????1???x?T????gj??F????j?????F??A??F??A???0?????01??F??????F??????

?0??????11??????x????g??j???F???????x????g??j???F????????u?0?0??????1?j??x?????x???????F??????F???????0习题3.5

1． 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的介电常量为?。若介质均匀地带有静

止的传导电荷，且传导电荷密度为?f，求

(1)空间各点的电场；（2）极化体电荷与极化面电荷分布。 解：(1)在r?r2处，取与介质球同心的球面S为Gauss面，

????q???f(r23?r13)?4?(r23?r13)由 ?得，E(r?r2)?r ?Sd??E??0，q??f33?0r3在r1?r?r2处，取与介质球同心的球面S为Gauss面，

???????f(r3?r13)?4?(r3?r13) 有 ?， ? D?r 3?Sd??D?qf，其中qf??f33r???????f(r3?r13)? 又 D??E ? E(r1?r?r2)?r

3?r3在r?r1处，取与介质球同心的球面S为Gauss面，

??S???????d??E?0 ? E(r?r1)?0

?????????????0??(2)介质中，?P????P ? D??E??0E?P ? P?(1?)D

???? 又 ??D??f ? ?P??(1?0)?f

????? 而 ?P?n?P，其中n为介质面的外法线方向，

???0?? P(r?r2)?(1?)D?r?r2??f(1??033)(r?r)??21n

3r22???0??P(r?r)?(1?)D 1?r?r1??0

? ?P(r?r2)?

?f(1??033)(r?r)?21，?(r?r)?0

P123r22．有一内外半径分别为r1和r2的无限长中空导体圆柱，导体的磁导率为?。若有稳恒均匀的传导电流Jf沿其轴向运动，求磁感强度与磁化电流。 解：(1)在r?r2处，取圆心在圆柱中心线上的圆形环路L，

???1???????????dl?B?d??E??j?d???d?得， 由 ?0?S0?Sj?2?L?Sc?t????(r22?r12)??jf?r B(r?r2)??02r2 在r1?r?r2处，取圆心在圆柱中心线上的圆形环路L，

???????????????????dl?H?d??D?d??j?d??j 由 ?ff得， ?L?S?S?t?S??????????(r2?r12)??jf?r 又 B??H， H(r1?r?r2)?2r2?????(r2?r12)??j ? B(r1?r?r2)?f?r 22r 在r?r1处，取圆心在圆柱中心线上的圆形环路L， 有

??L??????dl?B?0， ? B(r?r1)?0

???????????B?????????? (2)介质中，jM???M ? H??M?H?M

?0?0??????????????????? ? M?(?1)H 又 ??H?D?jf?jf

?t?0 ? jM????????(?1)jf ?0????? 而 ?M??n?M，其中n为介质面的外法线方向， ??????? M(r?r2)?(?1)H(r?r2?0???1)(r22?r12)?????02r2jf?n

??????? M(r?r1)?(?1)H?0r?r1??0

? ?M(r?r2)??

(??1)(r22?r12)????02r2jf，?M(r?r1)?0

3．证明：均匀介质内部的体极化电荷密度?P等于体传导电荷密度?f的?(1??0)倍。 ???????????证明：介质中，?P????P ? D??E??0E?P

???0?? ? P?(1?)D

??? 又 ??D??f ? ?P??(1?0)?f

?

?4.平行板电容器内有两层介质,其厚度分别为l1与l2,介电常数分别为 ?1与?2.若两板加上电动势E ,求

(1)电容器两板上的传导电荷面密度?f1与?f2; (2)介质分界面上的传导电荷密度?f3.

若介质漏电,电导率分别为??与??,则当电流达到稳恒时,电容器两板与介质分界面上的传导电荷密度分别为多少.

解(1)电容器两极上的面电荷密度应有?f1=-?f2>0（电荷守恒）

?? 由高斯定理 ??D?d???q0

D1?S??f1?S D1?D2??f1 E1?D1/????f1/??E2?D2/?????f2/??

由E1l1?E2l2?E,得?f1/???l1??f2/??l2?E 即?f1?l1/???l2/????E 故有

?f1?E?(l1/???l2/??)?f2???f1??E?(l1/???l2/??)

??(2)而由介质分界面上的边值关系n12?D2?D1??f3

????这里D1与D2同方向,且D1?D2

故n12???D2?D1??f3=0

?D1??f1 D2???f?若介质漏电,E1?D1/????f?/??

E2?D2/?????f?/???????j在介质分界面上是连续的 故有j1?j2 即??E1???E2,有

???f????f? ……………………………(1) ??????E1l1?E2l2?E 有

?f?l1?f?l2??E…………………(2) ???????D2?D1??f3=??f???f? 有?f???f2??f3?0……(3)

??f??联解(1)(2)(3)式有

????E??E ?f?????l1???l2??l1???l2??l1???l2?????????E?f??????

5.证明:

(1) 当两种绝缘介质分界面上不带自由电荷,在分界面上有tan??/tan?1???/??

式中??与??分别为两种介质的介电常量,??与??分别为绝缘介质交界面两侧电场线与界面法线的夹角.

(2) 当两种导电介质内有稳恒电流流动时,在分界面上有tan??/tan?1???/??

式中??与?? 分别为两种介质的电导率, ??与??分别为导电介质交界面两侧电流线与界面法线的夹角.

??n12?D2?D1??f解(1) 由?知E2//?E1//?0 ??n12?E2?E1?0???? 又介质分界面不带电荷,?f?0

?? 所以n12?D2?D1?0

?????E2cos?????E1cos??由上两式有?

E?sin??E?sin??1?2?两式相乘化简有

tan???2? tan???1???12??j1?j2??0 (3) 在两介质分界面上有电流法向连续，n由Ohm定律得

??E2cos?????E1cos??

而E1sin???E2sin??仍成立

两式相乘化简既有

tan???? ?tan????6.证明在两种磁导率分别为??与??的绝缘介质分界面上有tan??/tan?1???/?? 式中,??与??分别为介质交界面两侧的磁场强度H1和H2与界面法线的夹角. 解:已知边值关系有

??n12?(B2?B1)?0 ??n12?(H2?H1)??f因为?f?0,由第二式有H2//?H1// 即有H2sin?2?H1sin?1而由第一式又有B2??B1?即有?2H2cos?2??1H1cos?1上两式相除并化简得

tan?2?2,即得证 ?tan?1?1?7.两种各向同性的均匀导电介质在S面相接，且有以稳恒电流j流过变截面S。证明边界???上的面电荷密度为?????/?????/?1?n12?j式中n12是边界面的法向（指向介质2内部），

而?i和?i分别是第i介质的介电常量与电导率。 解：

1 2 ?n12 ??????????由边界条件n12?D2?D1??f,n12?E2?E1?0

????由于是线性介质，所以有Di??iEi

?????得知面电荷密度?f?n12?D2?D1

??

??以及两介质中的电场强度Ei与边界面平行的方向的分量是相等的，而垂直于边界面的分量

???12??f 满足：??E2???E1?n??由欧姆定律的微分形式，E?j/?

?????12??f j?/??j1??/?1??n所以?2?2由于面电荷密度是一个常量，由电荷守恒，稳恒电流满足

???? ?d??j1??d??j2

SS???12?j1?n?12?j2 相应的边值关系是n??所以?????/?????/?1?j?n12

8.试利用边界关系证明，在绝缘介质与导电介质的分界面上， （1）在静电情形下，导体外的电场线总是垂直于导体表面 （2）在稳恒电流情形下，导体内的电场线总是平行于导体表面

绝缘体：1 ?n12 导体：2 解：

（1）在静电情况下，导体是一个等势体，导体内电场强度为0，由边界条件

????????n12?E2?E1?0得到n12?E1?0

?????仅有n12与E1平行时或为零时才会有此结果。因此，当绝缘体中的电场不为零时，电场线是

垂直于边界面的。

（2）在稳恒电流情况下，系统具有时间平移不变性，边界面电荷密度?f将不会是时间t的函数。（由??E??1?c???12是导体表面的外法向。?12?E?0式中n??jf?0相应的边值关系是n所以，在导体内部，仅平行于导体表面的电场的分量不为零。）在边界面上做一个小扁平盒

?j 形区域，如图，那么当该区域的高趋向于??无穷小时，有电荷守恒，将不会有j通过该扁平盒的底部进入或穿出该区域，即，j与该区

?????域的底平行，即在极限情况下平行于边界面，由欧姆定律的微分形式j??E，得知E也平

行于边界面。

可以简单的用数学语言表示：

???在稳恒电流情况下，电流沿法向连续n12??j1?j2??0

?由于另外一边介质是绝缘体，所以j2?0

所以n12?j1?0

???????由Ohm定律，j??E，可得n12?E1?0，

即电场在法向方向的分量为0，所以电场线全部平行于导体表面。

????9.在一般情况下，电导率?c是电场E与磁场B的函数，试利用电磁场在空间转动与空间反

演下的性质，证明置于弱场中的导体或半导体遵从广义Ohm定律：

????????????2E???j?RB?j??iBj???B?jB式中?0是无磁场时的电阻率，R是Hall系数，?i????也是仅与导体或半导体结构有关的常数。

证明：E?j/?????j现在考虑到有弱磁场，?应是B函数，同时j也不可能完全在?外c（不可能只是函数?的一个因子），即

???????????????2????2?????B,j,B?j,B??j,B?j,BB,??BB?,Bj,?B???j?B,BB,?B?????????j?B,?Bj??B...?

??考虑到j是从外面作用进去的，所以每一项自变量都应含有j，再是若假定E仍为矢量，则

所有自变量应都为矢量形式，若不然，最后泰勒展开时，等号右边将出现高阶张量，标量和矢量的混合形式，不可能等于左边（一个矢量）。

???2????j,Bj,?B???j?B，并将高阶的自变量舍去，因为B 小量。 于是???j,B?????要说明的是还有一项B?j?B，但是它可以由上面的项线性表出

?????????????? ?B?j??B?B?B j?B?j B

最后泰勒展开，得：

????????????2E???j?RB?j??iBj???B?jB

????取B ＝0时，上式化为E??0j，所以?0就是无磁场时的电阻率。 考虑B 的一阶项，E'?RB?j，应是由hall效应产生的附加电场，

????????????1??1??j?B?RB?j，所以R确为f??E?j?B，平衡时，f＝0，所以E??j?B???nehall系数。

?(r?,t).证明在没有电荷的空间中相应的电场为10若磁感应场随时间的变化率为B?(r?,t)1R?B3?E(r,t)?dx式中R?r?r?. 3?4?R解:因为?11???(r)且?作用在r上,所以有 r4?E(r,t)??d3x?E(r?,t)?(R)113??? dxE(r,t)?4??R113??????dxE(r,t)???4??R???(r?,t)1R?B3?E(r,t)?dx4??R31R????E(r?,t)3? ??dx4??R3113????dx??????E(r?,t)?4??R即要证明

E(r?,t)?????记??11????????E(r?,t)? RR1?A,因为??E?0,??A?0 R

?mlkAl?ijk?iEj?(?mi?lj??mj?li)Al?iEj?Aj?mEj?Ai?iEm??i(AjEj)?Ai?iEj?Ej?iAi不太看得懂。

所以E(r?,t)?????

11????????E(r?,t)? RR?我们直接证明E满足maxwell方程组

?1??E?4??1??E?4????R???13dx????3?B???R?4???R??13dx???3?B?R4?????dx?0?B?0

3?????????R1RR????33??dx???B?dxB?????B?3???33??R4?RR??????11R?????33????? ??dx4??r?rB?dxB?? ???3?4??4??R??????R??1?3? ??B?dxB???3?4??R????但是，对后面一项，看不出来他等于0

11在各向异性的线性介质中,本构关系为Di??ijEj,Bi??ijHj 式中?ij??ji,?ij??ji

??证明:E?D1???1?(H?B) (E?D),H?B2?t2?t???E????E??因为Diijj,所以EiDiijjEi?EjDj

??1(E??D?E?D?)?1?(E?D)同理H?B??1?(H?B) E?D22?t2?t

12有一稳恒电磁场,其电场强度E与磁感强度B都是均匀的.试证相应的矢势与标势可表示为A?1B?r,???E?r 2??0.又因为场均匀,所以??E?0,??B?0 因为是稳恒场,所以A????(?E?r)?E??r?E ????A1B??r?B??r(3?1)B??A???(B?r)???B

222由?,A的唯一性,命题得证

事实上，也可以直接导出结论： B???A

????A??d????dl?A

s?1??1?B?d??B?r?dl?dl?B?r???? ?s?????2??2?由于l是任意的围道，所以A?

1B?r 2??A?0） 对稳恒电场E???? （?t所以

?dv?????d??

?dvE???d??E????dl ?Ed????r?Ed?

上面第二个等号利用了电场方向与面元法向相同，第三个等号利用了E是均匀的，与r无关。

???E?r

13 试导出传导电荷守恒定律在导电介质与绝缘介质交界面上的形式. 解:

??????如上图,在介质1,2分界面取小扁平盒,底为?n12,高为?n12. ??????小扁平盒体积dx??n12??n12???,

33dV?x??f?t?????f?t???(??f)?t (当?,?很小)

其中?f为传导电荷密度.

????????????????????????????d??jf?(??n12)?j1f?(?n12)?j2f???(dl??n12)?jf????????????????????(j2f?j1f)?n12???(dl?n12)?(?jf)LL,

???????jf为传导电流密度, dl??n12为小扁平盒侧面面元(面元的法向向外).

????????????????(dl?n12)??jf???dl?(n12??jf)?????????????????????????(d???)?(n12??jf)??(d??n12)???jf?(?n12?n12)???jf ????????jfSSL??其中S为L所围面积即小盒底面. 由传导电荷守恒定律

?Vdx3??f?t????????d??jf?0,

???????????????(j2f?j1f)?n12????jf]?0, ?(??f)???????????????(j2f?j1f)?n12????jf?0.

有?[?(??f)?t又?任意,?

?t???????令??0,lim?jf??f, lim??f??f,

??0??0?????f,?f分别为面传导电流密度和面传导电荷密度.

故

??f?t????????????????(j2f?j1f)?n12????f?0. 这就是课本公式（3.5.23）

若两种介质一种导电,一种绝缘,不妨设2导电,1绝缘，由于绝缘介质中不能有自由电流，所以j1f?0

所以

??f?t????????????j2f?n12????f?0.

??????????????14 设在线性各向同性介质内无源区域中的电磁场分布为(Ea,Ha),而(Eb,Hb)是同一区域

中的另一种电磁场分布,它们均是时间的正弦函数且频率与初相位相同,试证(Lorentz引

??????????????理)??(Ea?Hb)???(Eb?Ha).

解:各向同性的无源线性介质中,

????????B?H ????(1), ??E??????t?t??????????E?E 即 ??H?? ????(2). ??B????t?t

????????????????(Ea?Hb)???(Eb?Ha)

?????????????????????????????Hb?(??Ea)?Ea?(??Hb)?Ha?(??Eb)?Eb?(??Ha)?????????????? ?????????????Ha?Eb?Hb?Ea??????Hb???Ea????Ha???Eb?t?t?t?t

设该空间中两电场分布为

???????????Ea?Ea0cos?tn1, Eb?Eb0cos?tn2,为两单位方向矢量.

代入上式，显然成立。,

??????????????从而??(Ea?Hb)???(Eb?Ha)成立。

15 证明:介质中的无源(即没有传导电荷与传导电流)Maxwell方程组在对偶变换

???????0E??0H????????0H???0E ?? ????p?mc??????mc??p下保持相同的形式.

解:由介质中的无源Maxwell方程组

???????p???E???0??????????B??????E?????0(H?m) (*) ??t?t??????????(H?m)?0???B?0????????D????????H??(?0E?p)?t?t?及c?21?0?0,在对偶变换下

???????0E??0H????????0H???0E ??????p?mc??????mc??p???????????01m(*)中第一式???H???????H????m即为(*)中第三式.

?0?0c???0???0????同样可证, (*)中第二式在对偶变换下变为??H???0(?E?cp),利用

?0?t?0c2?1?0?0即得原第四式,第三式在对偶变换下变为

???????????p即为原第一式,第四式在对偶变换下变为??(?0E?cp)?0???E???0?0????????????????????B?得到原第二式 ???0E?(?00H?mc)???E???0(H?m)???t?t?0?t?0

下面我们用电磁场场强张量来考虑这个问题：

?????F???0 ?1?四维的Maxwell方程：? ????F????0j? ?2?在介质中，由于方程（1）与源无关，故仍然成立。 方程（2）也可以认为仍然成立，只是jv要加以修改

???f???Pc????v?，将其分解为jf和jI两项。 j???????Pj????M??f?t???????Pc??c??f??。

jfv????,jIv???P?????M???jf??????t???i???PcivjI是诱导电流密度，写成协变形式jI???0? jk?Pc???M??ijk?i?

所谓无源，就是jf??0，所以?F????0jI?

?i???????iPc??F?Fi0i?0???0即?0?0? ????jkj?i???ijkM???Pc????F0i??Fji????F?i????所以令

Hio?Fio??0Pci??0c??0Ei?Pi?

Hoi?F0i??0Pci???0c??0Ei?Pi?，故Hi0??H0i

kkkH?F???M???B/??M?0ijk?? ijij0?ijk0

则有??H???0

iii定义Di??0Ei?Pi, H?B/?0?M

则H?????0??0cDi??0cDj?这就是书上公式（3.5.51）

?0?ijkHk???Bj?0?与F?????Bi?

??ijkEk/c???变为H 比较可得在对偶变换?0Hk??Ek/c, ?0cDi?Bi下，F????????0H??E/c?????????写成三维形式，就是???0E??0H

?c?E?P??H??M????00?00???Pc?M???

习题3.6

1． 在一半径为a、电导率为?c的无穷长直圆柱形导体中，有一均匀恒电流I沿轴线方向流动。求导体表面的能流密度矢量；并证明在单位长度上通过导体表面从外面流入的电磁场能量全部转化为这段导体上消耗的Joule热。

解：因为是无穷长直圆柱形导体，且通均匀恒电流，由Maxwell方程有

???0Idl?B??I?B?2?a??I?B? 00??L2?a由 Ohm定律有

??j j??cE?E???cI 2?a?c以导体轴线为Z轴（与I同向）建立柱坐标系。 则E??0II?? ?B?e , ez22?a?a?c故为导体表面的能流密度矢量

?1??1s?E?B???0?0III2?z?e????23e?r ?e2?0?a?c2?a2?a?c要注意的是这里将导体表面看作是真空情形，若看作是有介质的，仍不影响结果。

证明：长度为dl单位时间通过导体表面从外面流入的电磁场能量为 dN????S??s?d??I2I2?2?adl?2?dl （1） 232?a?c?a?c上面积分利用了s的方向特点。

又由Joule heating law有P?IR

则长度dl的这段导体单位时间消耗的Joule热为

2?dlI2dP?IdR?I?2?2?dl （2）

?a?c?a?c22由（1）（2）式可知dN?dP

故在单位长度上通过导体表面从外面流入的电磁场能量全部转化为这段导体上消耗的Joule热。即证。

2． 有一同轴电缆，内外导体柱的半径分别为a和b，两柱间为真空，导体可视为理想导体

（即其电导率无穷大）。若馈电电压（两柱间的电势差）为U，电流为I，求内外导体柱之间的能流密度矢量。

解：由高斯定理可得半径为r处的电场大小为

E?? （1） 2??0r其中?为线电荷密度。 则两柱间的电势差为

U??BA??bE?dl??a??bdr?ln （2） 2??0r2??0a

即

?U （3） ?2??0lnbaUbrlna

（3）代入（1）得E?又由Maxwell方程有

???0Idl?B??I?B?2?r??I?B? 00??L2?r以导体轴线为Z轴（与I同向）建立柱坐标系。设E????0I??B?e? ，而ebr2?rrlnaU则内外导体柱之间半径为r处的能流密度矢量为

U??0I?UI?1??1?s?E?B??er?e??ez

bb?0?0rln2?r2?r2lnaa

3．一半径为a的导体球由两个半球拼合而成。当导体球带有电荷Q时，为使它不分成两半，至少应加多大的外力（用Maxwell应力张量计算）？

解：以其中一半球的底面为x-y平面，球心为原点建立直角坐标系。如下图

??sin?cos?x??sin?sin?y??cos?z? rz ?而球面的电场强度为E?Q4??0a2Q4??0aQ4??0a2Q4??0a2? rEx?sin?cos?

Ey?sin?sin? 2O y

Ez?cos?

??12而Maxwell应力张量为F??0EJ??0EE

2故Fzz??x

?02(Ez2?Ex2?Ey2)??Q4??0a2?024??0a(Q222)(cos??sin?) 2Fzx???0EzEx???0()2sin?cos?cos?

Fzy???0EzEx???0(Q4??0a??外法向为n的表面d?以外的场对表面S内的场施加的作用力为 ??F???F?d?

S2)sin?sin?cos? 2对半球底面，两半球底面受到的力相互抵消。这是有错误的，现在只研究半个球，所以不能

说是两两抵消，正确的理解是由于是导体，电荷只分布于表面，由于两底面是完全的很好的接触（没有空隙）所以底面上不带电荷，所以没有受到作用力。

? 对于半球面，有d??a2sin?d?d?r?由对称性可知此时F在x轴，y轴的分量为0

而(F?d?)z?Fzx?x?Fzy?y?Fzz?z?????024??0a(Q)2sin?cos?d?d?

由于我们要求的是施加于其中一个半球面的力的大小，所以?积分限为0~?2

故Fz??0 ()2??sin?cos?d??024??0a32??0a2Q2?/2Q2故应加大小

Q232??0a2的力

若积分限为0~?，则为施加于整个球的力的大小，那么两力抵消当然为零，从上面的积

分也可以看出来。

当然，上面的做法是过分复杂了，没有必要那么具体的写出分量。

? 球面的电场强度为E? 磁场为零，故

Q4??0a2? r??1122??? Maxwell应力张量为F??0EJ??0EE??0E?J?2rr22?2? （无需考虑底面，理由上面已论述） 对于球面，有d??asin?d?d?r?11?2?????d?r?????0E2d? r? 所以F???F?d?????0E?J?2rrSS2S2? 所以F在x轴，y轴的分量为0。

由于只研究半个球，所以z轴分量不为零。

??2?112??e?z??d??2?0E2cos?sin?d? Fz???0Ed? rS2002

4.在均匀磁场B0中有一线电流I,电流方向与B0垂直。若以线电流为轴作圆柱面，求单位长圆柱体外的场对柱内的场的作用力。 解:设电流方向为z轴方向

???根据F?qv?B

所以当圆柱面的半径减小得接近于0时, 单位长度的线电流所受的作用力

??????F??Fi??q0vez?B0?Iez?B0

i根据Green等效定理:等效面S所包围的区域V内的电荷在V的产生的电势和在S面上防止一导体面，并将V内电荷都移到导体上(或将区域V换成导体)是产生的电势完全一样

圆柱体是一等势面,所以单位长圆柱体外的场对柱内的场的作用力等于单位长度的线电流所受的作用力

???即F?Iez?B0

用Maswell张力张量做

?? 设B0?B0i???I?? e电流I还将产生一个附加电场，B??r??2?r????所以在半径为r的圆柱形筒面上，磁场为B?B??r??B0

Maxwell应力张量为

??121??11????????22F?BJ?BB?B0?B??2B0?B?J?BB?B0B??B?B0?B?B?

2??2??00????? 侧面上的面元为：d??rd?dzr???11????????22??dz???dz B0?B??2B0?B?rrdB0B0?B0B??B?B0?B?B??rrd所以F?d??2??????????r?，所以 由于e1???122???F?d??B?B?2BBsin?rrd?dz?B0?B?B0rcos?d?dz ??002?????ez?所以Fz=?s?F?d??0

?1?1????22?????Fi??dz?rd??B?B?2BBsin?r?i?B?i?B?iBcos??0?000?02????2??1?122??? ??dz?rd??B?B?2BBsin?cos??B?Bsin?Bcos??0?0??00? 0??2??2??? ?0

?1?1????22????Fj???dz?rd??B0?B?2B0Bsin??r?j?B0?j?B??jB0cos???0??2??2??1?1 ???dz?rd??B02?B?2?2B0B?sin??sin???0?B?cos??B0cos?? ?0??2??2??? ??dz?rd?02?1?B0B??IB0?dz

?j，即Ie?z?B0。 所以单位长度上的作用力为IB0e???这其实就是计算导线之间作用力的公式，写成微元形式：dF?Idl?B

5.有三个同轴的导体圆筒,内半径为a,对地电压为V0;中间的圆筒半径为b,每单位筒长的电荷为?;外半径为c,接地。求作用在中间圆筒上的作用力。 解：设内筒电荷线密度为?0，则由高斯定理：

??0?E(r)?.(a?r?b)?2?r??0 ?

????E(r)?0.(b?r?c)?2?r?0?由于内筒对地电压为 V0，外筒接地，所以

U内?U外?V0??cadrE(r)??bac????0dr??0dr

b2?r?02?r?0解出?0?2??0V0??lnc?lnb??

lnc?lna以公共轴为Z轴建立柱标系，

??则对中间筒的内表面????0，r?b处的E?(Er,E?,Ez)为：

'Er?2??0V0??lnc?lnb??2?b?0?lnc?lna?

E??0Ez?0??并且B?0

1?2??0V0??lnc?lnb???作用力线密度：f???

2??0b?lnc?lna?不为零，因为是从里面无限趋近于筒内表面的情形。 同理，在筒的外表面有?''????0

2Er?2??0V0??lnb?lna??2?b?0?lnc?lna?

E??0Ez?0?2??0V0??lnb?lna???f???

2??0b?lnc?lna?1这是从外面无限趋近于筒外表面的情形。

当包含了外表面时，就是处于导体内部的情形，那电场当然为零，从而所受力也为零了。 当??0且V0?0时，由于lnb?lnc?lnb?lna，所以内表面所受力总要比外表面小，即筒子有一个向外拉的趋势。这是合乎情理的，??0筒子带正电荷，所以当V0?0时，他要受到一个排斥的力的作用。

6.一磁控管由一个圆筒形板极和位于圆筒轴上灯丝(也是一小圆筒)构成;管内是真空，灯丝半径为a,接地；圆筒半径为b,具有相对于地的正电压V;沿管的轴线方向分布有均匀磁场.电子离开灯丝的初速度为零,且按曲线路径趋向板极.试问电压低于何值时,电流将被磁场H被截止.

2

r?解： 以灯丝轴线为轴建立柱坐标系，如上图。 当V?0时，电子没有运动；当V足够小时，电子虽经电场加速有向外的运动，但磁场太强，电子不能运动到圆筒上，电流截止。当V足够大时，有电流。临界条件是：当电子在r?b处时绕轴作匀速圆周运动。

此时，电子在r?b处的速度平行于圆筒表面，即相对论性粒子在电磁场内的运动微分方程可得：

2d?dmredreHdr2dt （*） ()??Hr??2dt1?vcdt2cdt2cdrd?vmax?0，这时?，利用柱坐标中dtdtb将上式沿粒子轨道从r?a到r?b积分：

mbv1?v2??c2eH2(b?a2)?bp （p为粒子的动量） 2c1T(T?2mc2) c粒子获得的动能：T?eV，p?eH21(b?a2)?bT(T?2mc2)2cceH2则：((b?a2))2?T(T?2mc2)2b??2mc2?(2mc2)2?4(T?T不能为负：

eH2(b?a2))22b2?2mc2?(2mc2)2?4(T?2eH2(b?a2))2e2H222b224??mc?mc?(b?a2)2?eV 24bmc2m2c4H2222V????(b?a) 22ee4b

应该说，上面做法是对的，只是考虑了相对论效应。一切的问题只是（*）式右端有一些问题，从量纲上也可以看出来，显然，如果认为e?0,H/c?B（原来可能是要?0H?B，公式写错了），那么就可以得到正确的结果。 将上面的替换代入最后结果

mc2m2c4B2c22V????(b?a2)222ee4b ??mcmc?ee22 1?eBc222(b?a)242mc4b222

e不用做变化，因为原来运算中有一个平方的过程。 后面根号可以做无穷小代换，得到

mc2mc2?1e2B2c2222?V???1?(b?a)??242ee?2mc4b? eB2222 ?(b?a)228mb这就是后面的答案，成立条件是

e2B2c2222(b?a)??1 242mc4b

不过还是有所区别，这里的m是静质量。而下面是动质量。 请参考下述解法：

由于整个系统都处于真空中，

故由lorentz力公式： F??e(E?v?B)

???????????建立以轴心为Z轴的柱坐标系，则由于电荷分布关于Z轴对称性可知E?ez?0

???????????????F?eE?在最初时刻电子静止，v?0，F??e(E?v?B)??eE，a? mm??????a?ez?0，故电子会以一个垂直ez的方向的速度v开始运动.

???????运动开始后，F??e(E?v?B)，

?????????由于B?ez?0，故(v?B)?ez?0，

?'?????????同上可知此时F?ez?0，a?ez?0，v?ez?0

??由上分析可知，在随后的时间里面（到达极板之前）电子均会以一个垂直ez的方向的?速度v开始运动.

??r?vdt所以电子的位移?垂直Z轴.

??????故r?E?0,r?B?0 （1）

?????????r?F??er?(E?v?B)?????????er?(v?B)?er?E????????故 ??e(r?B)v?e(r? v)B?0?????1dr2??dr??e(r?v)B?erB?eBdt2dt

???????2 所以 dL?r?Fdt?1/2eBdr

积分并利用初始条件可得，到达板极时的角动量大小为：

L?

在截止电压时，应该满足：电子到达板极时的速度方向沿圆筒的切向，即 L?mvb, v为电子的速率，

1e(b2?a2)B2

v?

2eVcutoffm 从而可得： mb2eVcutoffm1?e(b2?a2)B 2 解之得： Vcutoff2H2(b2?a2)2eB2(b2?a2)2e?0??

8mb28mb2

32

7、地球接受到太阳的辐射功率为1.2*10W/m。设太阳光是线偏振的平面单色波，垂直入射到可绕对称轴旋转的4cm*1cm矩形平板上。该对称轴将此板分成两个面积相等的2cm*1cm矩形。其中一个将太阳光全部反射回去，另一个则将太阳光全部吸收掉。试计算平板所收到的力矩。

解：以转轴y轴，平板平面上垂直于y的方向为x轴方向，Z轴垂直于平板。

吸收光对力矩的贡献左右两边刚好抵消，不需考虑，只需考虑反射光部分贡献的力矩考虑?t时间内反射的光。即考虑反射光部分平板为底面，高为ct的一个小体积元。则由

??d????M?dL/dt???d3x(r?g)??d??(?F?r) ?VSdt其中g?s/c2，F?uI??0EE???????01??BB

???s即辐射功率。易证?d??(?F?r)?0 ?S?dd????M???d3x(r?g)??0.01ct?dx(x?s/c2)

VdtVdtd??0.01ctdt??0.02?0d??/c2)??0.01cs/c2tdx(x?zsdt0.0200.02? ?xdxy0d10.01cs/c2tx2dt2???y2.4dt? ?103?6?8y3dt? ??8?10?12(N?m)y

8、由一长为l的圆柱形导体电容器，半径为R1、质量为m1的外筒接地；半径为R2、质量

?为m2的内筒具有电势?0。电容器置于均匀外磁场B0中，外磁场方向与电容器的对称轴平

行。试求当突然除去外磁场时电容器转动的角速度。

?解：以圆柱体轴线为z轴、B0方向为z轴正向建立柱坐标系，根据电磁场的角动量定理有，

???dLd??????d3x(r?g)??d??(?F?r)????1? ?VSdtdt????2 g?s/c??0E?B

??设电容沿轴线线电荷密度为?，则由高斯定理得

?E?R1?R????n?由?0??E?dr，得?0?ln1

R22??0r2??0rR2?所以E??0rlnR1R2?? n???1????z，F?uI??0EE?BB 而B?B0n?0对内外两圆柱面易得

??S??d??(?F?r)?0 ?对（1）式两端对时间积分得

?????0?0??????????B0n?z? L???d3x?r?g????d3xrnn?V?t?0VR?rln1R??2??B??B??z??V000n?z ???d3x000nVR1R1lnlnR2R2????l?R21?R22?B0?00lnR1R2???0l?R21?R22??0?z??B0 nR1lnR2??而L?(m`1R12?m2R22)?

?????B0???l?R21?R22??00(m`1R12?m2R22)lnR1

R2

习题3.8

1． 在各向同性线性均匀介质中，平面电磁波的电场可表示为E?E0exp[i(k?r??t)]式中

?????k和?分别是电磁波的波矢和频率，且k2??2??。证明这一平面波满足波动方程

?????E???E?0 求出该电磁波的磁场。

2????????2 证：将该平面波的表达式E?E0exp[i(k?r??t)]代入波动方程?E???E?0的左边，

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