不定积分练习与答案

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x)dx

(3)

（2?x?x2）dx

(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx (7)（?x2-1x+34x3-x4）dx (10)?1x2(1?x2)dx (13)?cot2xdx (16)

?11?cos2xdx (19)?(1?x1?x?1?x1?x)dx（1）

?e3tdt (4)

?135?3xdx (7)

?tan10xsec2xdx (10)

?dxsinxcosx (13)

?xdx 2?3x2(16)?sinxcos3xdx (19) ?dx2x2?1 (22)

?xdxx8?1 x2?1(8)?(31?x2?2)dx 1?x2?e2x?1(11)ex?1dx 2?3x?5?2x(14)?3xdx (17)?cos2xcosx?sinxdx 1?cos2(20)?x1?cos2xdx (2)?(3?5x)3dx x(5)?(sinax?eb)dx (8)?dxxlnxlnlnx (11)?dxex?e?x 14)?cos2(?t)sin(?t)dt )?x9172?x20dx (20)?xdx(4?5x)2 (23)?cos3xdx 1

1?x2(9)?xxxdx

(12)?3xexdx (15)?cos2x2dx

(18)?cos2xcos2x?sin2xdx

(3)

?13?2xdx

(6)?costtdt

(9)?tan1?x2xdx1?x2 (12)?xcos(x2)dx )?3x3(151?x4dx (18) ?1?x9?4x2dx (21)?x2dx(x?1)100

(24)?cos2(?t??)dt (( 3(25)sin2xcos3xdx (26)sin5xsin7xdx (27)tanxsecxdx

???(28)

?10arccosx1?x2dx (29)?dx(arcsinx)21?x2 (30)

?arctanxx(1?x)dx

(31)

lntanxdx1?lnxdx (32) (33)dx?cosxsinx?1?ex ?(xlnx)2(34)

dxdx (35)?x(x6?4)?x8(1?x2)

(1)

?1?dx1?x2 (2)

?x2?9dx dx (3)?23x(x?1)(4)

??dx(x2?a2)3 (5)

?x?x2?1dx (6)?5?4x?x2dx

x4?12（1）arcsinxdx （2）ln(1?x)dx （3）arctanxdx

?(4)e(7)

??2xxxsindx (5)?x2arctanxdx (6)?xcosdx

2222xtanxdxln (8)??xdx (9)?xln(x?1)dx

lnxln2x(10)?2dx (11)?coslnxdx (12)?2dx

xx2?x(14)xedx (16)

?lnlnx?xdx (17) ?xsinxcosxdx

(18)xcos?223xdx (19)?(x2?1)sin2xdx (20)?exdx 22x2(21)(arcsinx)dx (22)esinxdx (23)

???ln(1?x)xdx

1?xdxln(1?ex)xlndxdx(24)? (25) (26) ??x1?xsin2xcosxex23x(1)xedx (2)(x?1)edx (3)xcosxdx

???2?x?x(4)(x?1)edx (5)xln(x?1)dx (6)ecosxdx

???5、设In?dx1cosxn?2I????In?2。 (n?2)，；证明：n?sinnxn?1sinn?1xn?1-16、设f(x)为单调连续函数，f(x)为其反函数，且

?f(x)dx?F(x)?C ，求：?f?1(x)dx。

2

3x3x5?x4?8dxdx (2) ?(1)? (3)?x3?1dx x3?xx?3 (4)

x?13x?2xdx (5) (6)dxdx?(x?1)3?x(x?1)3?(x?2)(x?3)2

xdxx2?11?x?x2(8)?2 (10)?dx dx (9)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)2(x?1)(x?1)2(11)

?x(x12?1)dx (12)?dxdx (13)?x4?1

(x2?x)(x2?1)dxdx?x2?2(14)?2 (1) (2)dx?3?sin2x?3?cosx

(x?x?1)2(3)

dxdxdx (4) (5)?2?sinx?1?tanx?1?sinx?cosx dxdx1?sinx (7) (8)?5?2sinx?cosx?(5?4sinx)cosx?(1?cosx)sinxdx

(6)

(9)

?1??4dx3x?1dx (10)

?1?(x)31?xdx (11)?x?1?1dx

1?x?1(12)

x?x (13)

??x3dx1?x2 (14)

?a?xdx a?xdxx?12 (15)

?dx3(x?1)(x?1)24 (1)x2?5xdx (2)

?x(x?1)

2x3xx2dxdx(a?0)dx(3)?x (4) (5)?a6?x6?x(1?x) 9?4x(6)

dx?x(2?x10) (7)

7cosx?3sinx?5cosx?2sinxdx

f(x)f2(x)f??(x)6、求不定积分：?[?]dx 3f?(x)f?(x)n(n?1)，求证：In?7、设In?tanxdx，?15tann?1x?In?2，，并求?tanxdx。 n?18、

?dxx?11?x. (2)、?dx. dx?(B). (1)、?4221?xx1?xxx?1 3

(4)、

?(1?xdx2)1?x2. (5)、?dxx4?x2.

(1)、

242ln(1?x)dxxtanxsecxdx ln(x?1?x)dx (2)、 (3)、???xx2ln(1?x2)dx arctanxdxdx(4)、? (5)、 (6)、?23?1?cosx1?xx12、求不定积分:In13、求不定积分:

??xnexdx,n为自然数。

2?(x?2x?3)cos2xdx.

x11dx1?x8x3?2x?1(1)、?8 (2)、?dx (3)、?dx

x?3x4?2x(1?x8)(x?2)100(6)、

?x(?3xx?3x)dx (7)、?dx dx (8)、?2x?x?1(x?1)x?2x(x?1)(9)、

xtandxdxdx2 (1)、? (2)、?

243sin2x?2sinx1?sinx?cosx(x?1)(x?1)(3)、

dxsinxcosx (4)、?sin3xcosx?sinx?cosxdx (5)、?sinxsin2xsin3xdx

sinxcosx11?r2dx (7)、dx(0?r?1,???x??) (6)、?、?442sinx?cosx21?2rcosx?r(8)、

4sinx?3cosx?sinx?2cosxdx

x5dx5cosxdx dx1、?6 2、 3、2??x(1?x)1?x4、

x4?sinxdx 5、?esin2xdx 6、?11?xlndx 1?x21?x7、

?ln(x?1?x2)1?x2dx 8、?1?lnxsinx?cosx?dxdx(0?x?) 9、?1?sin2x(x?lnx)2410、设

f(lnx)?3x2ln(1?x),计算?f(x)dx. xlnsinxarctanexdx 13、?dx 11、?xedx 12、?22xsinxe13、已知

f?(sin2x)?cos2x?tan2x,0?x??2，求

f(x)

4

答案

★(1)

?xdx2x

思路: 被积函数 1x2x?52?x?52，由积分表中的公式（2）可解。

解：

?xdx22?2??xdx??x?C

3x1x)dx

3★(2)

3?(x?思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

3解：?(3x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C

4x??11312131241★(3)（2?x?x2）dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

2x13（2?x）dx??2dx??xdx??x?C 解：?ln23x2x2★(4)

?x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：

?2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1★★(5)?x2?1dx

3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积22x?1x?1分。

3x4?3x2?1123dx?3xdx?dx?x?arctanx?C 解：?22??x?11?xx2★★(6)?1?x2dx

5

解：

dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C

2?tan1?x★★(9)

xdx1?x2

思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难度！

解：tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C

★★(10)

dx?sinxcosx

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。

dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C

方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。

dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C

方法三： 三角公式sinx?cosx?1，然后凑微分。

22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx

??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C

★★(11)

dx?ex?e?x

。

dxexdxdexdex思路:凑微分：x?2x???x2xe?ee?11?e1?(ex)2dxexdxdex解：?x??2x???arctanex?C ?xx2e?ee?11?(e)★(12)

2xcos(x)dx ?思路:凑微分。 解：xcos(x)dx?★★(13)

?21122cosxdx?sinx2?C ?22?xdx2?3x2

11

思路:由1dx21d(2?3x2)凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C

6632?3x22?3x2解：

?xdx★★(14)

2cos?(?t)sin(?t)dt

思路:凑微分。

解：cos(?t)sin(?t)dt??21?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t)

??1cos3(?t)?C. 3?3x3★★(15)?1?x4dx

思路:凑微分。

3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16)

sinx?cos3xdx

思路:凑微分。 解：

sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17)

?x92?xx920dx

思路:经过两步凑微分即可。 解：

?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x102)21x10d?arcsin()?C

2102x10★★(18)

?1?x9?4x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx

12

12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2）

222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19)

12?dx?2x2?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx

??1221?(11?)d2x2x?12x?111d(2x?1)?2x?12222??11d(2x?1)?ln2x?1222x?1?C.2x?1

★(20)

xdx?(4?5x)2

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)?1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.

25?4?5x25?(4?5x)225254?5xx2dx★(21)?(x?1)100

思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1解：???(?2?)dx 100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1) 9899100(x?1)(x?1)(x?1)111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 13

★★(22)

xdx?x8?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

xdxxdx111111??(?)xdx?(?)dx2 44?x8?1?(x4?1)(x4?1)?2x4?1x4?1?4x?1x?11111111122[(?)?]dx?[d(x?1)?d(x2?1)]22422???42x?1x?1x?18x?1x?1 2111x?11??22dx2?ln|2|?arctanx2?C.4(x)?18x?14?★(23)

?cos3xdx

思路:凑微分。cosxdx?dsinx。

3222解：cosxdx?cosx?cosxdx?cosxdsinx?(1?sinx)dsinx

????1?sinx?sin3x?C

3★★(24)

?cos22(?t??)dt

思路:降幂后分项凑微分。 解：cos(?t??)dt??1?cos2(?t??)11dt?dt?cos2(?t??)d2(?t??) ???224??11t?sin2(?t??)?C 24?★★★(25)

?sin2xcos3xdx

111(sin5x?sinx)dx?sin5xd5x?sinxdx ?2??102思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin2xcos3xdx????11cos5x?cosx?C 102★★★(26)

?sin5xsin7xdx

111(cos2x?cos12x)dx?cos2xd2x?cos12xd(12x) ?2??424思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin5xsin7xdx??11?sin2x?sin12x?C. 424★★★(27)

?tan3xsecxdx

思路:凑微分tanxsecxdx?dsecx。

3222解：tanxsecxdx?tanx?tanxsecxdx?tanxdsecx?(secx?1)dsecx

???? 14

1??sec2xdsecx??dsecx?sec3x?secx?C

3★★(28)

?10arccosx1?x2dx

思路:凑微分11?x2dx?d(?arccosx)。

解：

?10arccosx1?x2dx???10dx2arccosx10arccosxdarccosx???C.

ln10★★(29)

?(arcsinx)11?x1?x2

思路:凑微分2dx?d(arcsinx)。

解：

?(arcsinx)dx21?x2??darcsinx1???C 2arcsinx(arcsinx)★★★★(30)

?arctanxx(1?x)dx

2arctanx1?(x)2思路:凑微分arctanxx(1?x)dx?dx?2arctanxd(arctanx)。

解：

?arctanxx(1?x)dx??2arctanx1?(x)2dx??2arctanxd(arctanx)

?(arctanx)2?C

★★★★(31)

lntanx?cosxsinxdx

2思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，

lntanxlntanxlntanxlntanx2dx?dx?secxdx?dtanx 2cosxsinxtanxtanxcosxtanx1?lntanxd(lntanx)?d((lntanx)2)

2lntanxlntanxlntanxdx??dx?解：??tanxdtanx??lntanxd(lntanx) cosxsinxcos2xtanx1?(lntanx)2?C 2 15

★★★★(32)

1?lnx?(xlnx)2dx

思路:d(xlnx)?(1?lnx)dx

解：

1?lnx11dx?d(xlnx)???C ?(xlnx)2?(xlnx)2xlnxdx?1?ex

x★★★★(33)

解：方法一：

思路:将被积函数的分子分母同时除以 e，则凑微分易得。

dxe?x11?x?x?x?dx??d(e)??d(e?1)??ln|e?1|?C ?1?ex?e?x?1?e?x?1?e?x?1方法二：

思路:分项后凑微分

1dx1?ex?exexx?x?d(1?e) ?dx?1dx?dx?1?ex?1?ex?1?ex??1?ex ?x?ln|1?ex|?C?x?ln(ex|e?x?1|)?C ?x?(lne?ln|e方法三：

思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 e，裂项后凑微分。

xx?x?1|)?C??ln|e?x?1|?C

dxexdxdex1?x1?1xx ?????de?lne?d(1?e) xxxxxxx?x?????1?ee(1?e)e(1?e)1?e?e1?e? ?x?ln|1?e|?C??ln|e★★★★(34)

x?x?1|?C

dx?x(x6?4)

解：方法一:

思路：分项后凑积分。

dx14dx1x6?4?x6dx1?1x5??6?dx ?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4??xx?4??11d(x6?4)11?ln|x|?ln|x6?4|?C ?ln|x|?6?424x?4424 16

方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令x?，则dx??1t1dt。 2tdxt11d(4t6)1d(4t6?1)?????(?2)dt??????66124241?4t6x(x?4)t1?4t?4 t6114??ln(1?4t6)?C??ln(1?6)?C.2424x★★★★(35)

dx?x8(1?x2)

解：方法一:

思路：分项后凑积分。

dx1?x8?x8(1?x2)(1?x2)(1?x4)dx ?dx?dx?822?x8(1?x2)?x8(1?x2)??x(1?x)1?x1?x2?x4?x6dx ?? dx?8?x(1?x)(1?x) ?( ???11111???)dx? 2?1?xdxx8x6x4x211111?1x????ln?C 7537x5x3xx21?x11，则dx??2dt。 tt方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令x?dxt81t81642??8??(?dt)??dt??(t?t?t?1?)dt ?t2?1?1x(1?x2)?t2t2?11?2t1111642)dt??(t?t?t?1)dt?(?)dt2??2t?1t?1t?11111t?1111111111?x??t7?t5?t3?t?ln||?C??????ln||?C7532t?17x75x53x3x21?x???(t6?t4?t2?1)dt??(3、求下列不定积分。

知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。

思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等

式起到了重要的作用。

sin2x?cos2x?1;sec2x?tan2x?1.

为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角

17

范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。

★★★(1)

?1?dx1?x2

思路:令x?sint,t?解：令x?sint,t??2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。

，则dx?costdt。 2dxcostdtdtdttt??????dt???t???t??sec2d

t1?cost1?cost221?1?x22cos22?1?1?x2tx?t?tan?C?arcsinx??C.（或?arcsinx??C）

22x1?1?x（万能公式tantsint1?cost??，又sint?x时，cost?1?x2） 21?costsint★★★(2)

?x2?9dx x思路:令x?3sect,t?(0,解：令x?3sect,t?(0,?2)，三角换元。

?2)，则dx?3secttantdt。

x2?93tant??dx??3secttantdt?3?tan2tdt?3?(sec2t?1)dtx3sect

3?3tant?3t?C?x2?9?3arccos?C.|x|3 （x?3secx时，cosx?,sinx?x★★★(3)

x2?9,tanx?xx2?9） 3?dx(x?1)23 思路:令x?tant,t?解：令x?tant,t??22，三角换元。

2?，则dx?sectdt。

??sec2tdtdtx????costdt?sint?C??C 3??232sectsect(x?1)1?xdx★★★(4)

?dx(x?a)223 18

思路:令x?atant,t?解：令x?atant,t??2，三角换元。

????2dxasec2tdtdt11??3??costdt?sint?C322?2?223asectasectaa(x?a)，则dx?asectdt。

2xa2

a?x22?C.★★★★(5)

?xx2?14dx x?12思路:先令u?x，进行第一次换元；然后令u?tant,t??2，进行第二次换元。

1x2?1解：??dx??dx2，令u?x2得：

2x2x4?1xx4?1x2?1?1u?12u?tant,t?，令，则du?sectdt， dx?du?xx4?12?uu2?12??1u?11tant?11tant?12du?sectdt?sectdt???4222tant?sect2tantxx?1uu?1111??(csct?sect)dt?lnsect?tant?lncsct?cott?C222dx?11?lnu2?1?u?ln22（与课本后答案不同）

★★★(6)

x2?1x2?1

u2?111??C?lnuu21x?1?x?ln242x4?1?1?C.2x?5?4x?x2dx

思路:三角换元，关键配方要正确。

22解：?5?4x?x?9?(x?2)，令x?2?3sint,t??2，则dx?3costdt。

??5?4x?x2dx??9cos2tdt?9?1?cos2tt1dt?9(?sin2t)?C2249x?2x?2?arcsin?5?4x?x2?C.232★★4、求一个函数

f(x),满足f'(x)?11?x，且

f(0)?1。

思路:求出11?x的不定积分，由条件f(0)?1确定出常数C 的值即可。

19

解：??11?xdx??11?xd(x?1)?21?x?C.

令f(x)?21?x?C，又f(0)?1，可知C??1，

?f(x)=21?x?1.

★★★5、设In??tannxdx,，求证：In?1tann?1x?In-2，并求?tan5xdx。 n?1nn?2思路:由目标式子可以看出应将被积函数tanx 分开成tanxtan2x，进而写成：

tann?2x(sec2x?1)?tann?2xsec2x?tann?2x，分项积分即可。

nn?2xsec2x?tann?2x)dx?tann?2xsec2xdx?tann?2xdx 证明：In?tanxdx?(tan??????tann?2xdtanx?In?2?1tann?1x?In?2.n?1111 n?5时，I5??tan5xdx?tan4x?I3?tan4x?tan2x?I14421111?tan4x?tan2x??tanxdx?tan4x?tan2x?lncosx?C.4242习题4-3

1、 求下列不定积分：

知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。

★（1）

?arcsinxdx

0思路:被积函数的形式看作xarcsinx，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数x优先纳入到微分

号下，凑微分后仍为dx。

0解：arcsinxdx?xarcsinx?x??11?x2dx?xarcsinx?112d(1?x) ?221?x?xarcsinx?1?x2?C.

★★（2）

?ln(1?x22)dx

思路：同上题。

2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x1?x21?x22 20

2(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x2 1?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2★（3）

?arctanxdx

思路：同上题。

dx1d(1?x2)?xarctanx??解：?arctanxdx?xarctanx??x 1?x221?x21?xarctanx?ln(1?x2)?C

2x?2xsindx ★★(4)e?2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?e??2xxx11x11xsindx??sind(?e?2x)??e?2xsin??e?2xcosdx

222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242

1x1x1x??e?2xsin?e?2xcos??e?2xsindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.21722★★(5)

2x?arctanxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x313131dx 解：?xarctanxdx??arctanxd()?xarctanx??x3331?x22131x131x3?x?x?xarctanx?(x?)dx dx ?xarctanx??22?331?x331?x1311x1312112xarctanx??xdx??dx?xarctanx?x?d(1?x)22?3331?x3661?x

13121?xarctanx?x?ln(1?x2)?C.366?★(6)

xxcosdx ?2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

21

解：xcosdx?2xdsin ?★★(7)

?x2?xxxxxx?2xsin?2?sindx?2xsin?4?sind 222222xx2xsin?4cos?C.

222?xtanxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

2解：xtanxdx??222x(secx?1)dx?(xsecx?x)dx?xsecxdx??xdx ???11??xd(tanx)??xdx?xtanx??tanxdx?x2?xtanx?lncosx?x2?C.

22★★(8)

?ln22xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

解：lnxdx?xlnx?x?2lnx?dx?xlnx?2lnxdx?xlnx?2xlnx?2x?dx

?2?1x2?2?1x?xln2x?2xlnx?2?dx?xln2x?2xlnx?2x?C.

★★(9)

?xln(x?1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

x2121x2?xln(x?1)??dx 解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d222x?1111121x2?1?1)dx dx?x2ln(x?1)??(x?1? ?xln(x?1)??22x?122x?1?12111xln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C 2422ln2x★★(10)?x2dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln2x1121112lnx2解：?2dx??lnxd(?)??lnx??2lnx?dx??lnx?2?2dx

xxxxxxx11121122??ln2x?2?lnxd(?)??ln2x?lnx?2?2dx??ln2x?lnx??C

xxxxxxxx12 ??(lnx?lnx?2)?C

x★★(11)

?coslnxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

22

解：?coslnxdx?xcoslnx?xsinlnx?dx?xcoslnx?sinlnxdx

??1x?1?xcoslnx?xsinlnx??xcoslnx?dx?xcoslnx?xsinlnx??coslnxdxx

x??coslnxdx?(coslnx?sinlnx)?C.2★★(12)

lnx?x2dx

思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。

★★(13)

?xnnlnxdx(n??1)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

xn?11n?11n?11?xlnx??x?dx 解：?xlnxdx??lnxdn?1n?1n?1x?1n?11n1n?1?1?xlnx??xdx?x?lnx???C. n?1n?1n?1(n?1)??★★(14)

?xe2?xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

2?x2?x?x2?x?x?x解：xedx??xe?e2xdx??xe?2xe?2edx

?????x2e?x?2xe?x?2e?x?C??e?x(x2?2x?2)?C

★★(15)

32x(lnx)dx ?思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：x(lnx)dx?(lnx)d(x)??32?21441411x(lnx)2??x4?2lnx?dx 44x14111x(lnx)2??x3lnxdx?x4(lnx)2??lnxdx442481111111?x4(lnx)2?x4lnx??x4?dx?x4(lnx)2?x4lnx??x3dx 488x48811111?x4(lnx)2?x4lnx?x4?C?x4(2ln2x?lnx?)?C.483284?lnlnx?xdx

lnlnxdx写成lnlnxd(lnx)，将lnx看作一个整体变量积分即可。 思路： 将积分表达式

xlnlnx111dx??lnlnxd(lnx)?lnxlnlnx??lnx??dx?lnxlnlnx??dx 解：?xlnxxx★★(16)

23

?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.

★★★ (17)

?xsinxcosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

11111xsin2xdx?xd(?cos2x)??xcos2x?cos2xdx ??22?244?1111??xcos2x??cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C.

484822xdx ★★(18)xcos?21?cosx2x思路：先将cos降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺

22解：xsinxcosxdx?序凑微分即可。

解：xcos?22x1111dx??(x2?x2cosx)dx??x2dx??x2cosxdx 222221312111x??xdsinx?x3?x2sinx??2xsinxdx62622

13121312?x?xsinx??xdcosx?x?xsinx?xcosx??cosxdx6262??1312x?xsinx?xcosx?sinx?C 62★★(19)

?(x22?1)sin2xdx

思路：分项后对第一个积分分部积分。 解：(x?1)sin2xdx??1122xsin2xdx?sin2xdx?xd(?cos2x)?cos2x ???2211111??x2cos2x??2xcos2xdx?cos2x??x2cos2x??xdsin2x2222211111?cos2x??x2cos2x?xsin2x??sin2xdx?cos2x22222

12111??xcos2x?xsin2x?cos2x?cos2x?C224211313x??x2cos2x?xsin2x?cos2x?C??(xsin2x?)cos2x?sin2x?C.224222★★★(20)

xe?dx

3思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?3x，则x?t3,dx?3t2dt,

24

??exdx??et3t2dt?3?ett2dt?3?t2det?3t2et?3?2tetdt?3t2et?3?2tdet?3t2et?6ett?6?etdt?3t2et?6ett?6et?C ?33x2e★★★(21)

33x?6e3x3x?6e3x?C?3ex(3x2?23x?2)?C.3?(arcsinx)dx

222思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：(arcsinx)dx?x(arcsinx)?x???2arcsinx1?x2dx

?x(arcsinx)2??arcsinx1?x2d(1?x2)?x(arcsinx)2?2?arcsinxd(1?x2)

?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?1?x2?11?x2dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx?x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C.★★★(22)

?exsin2xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一：

x22xx2xesinxdx?sinxde?esinx?e???2sinxcosxdx

?exsin2x??exsin2xdx??esin2xdx??sin2xde?esin2x??e2cos2xdx?esin2x?2?cos2xde?exsin2x?2excos2x?4?exsin2xdxex(sin2x?2cos2x)??esin2xdx??C

5exx2??esinxdx?(5sin2x?sin2x?2cos2x)?C5xxxxxxx

方法二： esinxdx?e?x2?x1?cos2x1111dx??exdx??excos2xdx?ex??excos2xdx 22222??excos2xdx??cos2xdex?excos2x??ex2sin2xdx?excos2x?2?sin2xdex

?excos2x?2exsin2x?4?excos2xdxex(cos2x?2sin2x)??ecos2xdx??C

5ex1x1x2??esinxdx??esin2x?excos2x?C2510x 25

★★★(23)

?ln(1?x)xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：

ln(1?x)2xdx?ln(1?x)d(2x)=2xln(1?x)??x??1?xdx

令t?x，则dx?2tdt,

2xt21??dx?4?dt?4dt?4??1?t2dt?4t?4arctant?C

1?x1?t2?4x?4arctanx?C所以原积分

?ln(1?x)xdx?2xln(1?x)?4x?4arctanx?C。

ln(1?ex)★★★(24)?exdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

ln(1?ex)exx?x?xx?xdx??ln(1?e)d(?e)??eln(1?e)??edx 解：?ex1?exe?x1?xx??eln(1?e)??dx??eln(1?e)?d(1?e?x)?x?x? 1?e1?e??e?xln(1?ex)?ln(1?e?x)?C.?xx1。 ?1?exdx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）

1?x★★★(25)xln?1?xdx

注：该题中

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xln?1?x1?x12121?x121?x1?x?1?xdx??lnd(x)?xln??x?dx 21?x1?x221?x21?x(1?x)121?xx2121?x1?xln??dx?xln?dx?dx22??21?x1?x21?x1?x 11?x11111?x1?x2ln?x??(?)dx?x2ln?x???ln(1?x)?ln(1?x)?21?x21?x1?x21?x2121?x11?x11?xxln?x?ln?C?(x2?1)ln?x?C 21?x21?x21?x1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx再利用分部积分法计算。 注： 该题也可以化为 ?xln1?x? 26

1?xx2?xln1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx??[ln(1?x)?ln(1?x)]d2 x21?xx211x21?xx2ln???[?]dx?ln??dx ?221?x21?x1?x21?x1?xx21?x1?x2?1x21?x111ln??dx?ln?dx?[?]d ? x2??21?x1?x21?x2?1x?1xx21?x11?xln?x?ln?C ?21?x2?1x★★★(26)

dx?sin2xcosx

dxdxsec2xdxdtanx??思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。

sin2xcosx2sinx2sinx2sinxcos2xdxdxsec2xdxdtanx????解：? 2??sin2xcosx2sinx2sinx2sinxcosxtanx1tanx1??tanx(?cscxcotx)dx???cscxdx2sinx22sinx2

1?(secx?lncscx?cotx)?C.2?2、 用列表法求下列不定积分。

知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍

然用一般方法解出，不用列表法。

★(1)

3xxe?dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xedx?xd(e)?★(2)

x(x?1)edx ??3x?133x13x13x1111xe??edx?xe3x??e3xd3x?(x?)e3x?C. 333933思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

xxxxx解：(x?1)edx?(x?1)de?(x?1)e?edx?xe?C。

???★(3)

?x?2cosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

2解：xcosxdx?222xdsinx?xsinx?2xsinxdx?xsinx?2?xdcosx ?? 27

?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx?x2sinx?2xcosx?2sinx?C

★(4)

2?x(x?1)edx ?思路：分项后分部积分即可。

2?x解：(x?1)edx???xe2?xdx??e?xdx??x2d(?e?x)??e?xdx

??e?xx2?2?xe?xdx??e?xdx??e?xx2?2?xd(?e?x)??e?xdx??ex?2xe?2?edx??edx??ex?2xe?3?edx??e?x(x2?2x?3)?C.

★(5)

?x2?x?x?x?x2?x?x?xln(x?1)dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

12121x2dx 解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d(x)?xln(x?1)-?222x?1?12111111xln(x?1)??(x?1?)dx?x2ln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C. 22x?12422?xe?cosxdx

★(6)

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。

?x?x?x?x解：?ecosxdx?cosxd(?e)??ecosx?esinxdx

?????e?xcosx??sinxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinx??e?xcosxdxe?x??ecosxdx?(sinx?cosx)?C.2sinx★3、已知是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。

x?x

知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。

思路分析：积分 xf?(x)dx中出现了f?(x)，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你

是

?sinxxf(x)的原函数，应该知道?f(x)dx?sinx?C. x解：?xf?(x)dx?又???xd(f(x))=xf(x)??f(x)dx

sinxxcosx?sinxxcosx?sinx?C,?f(x)?,?xf(x)?; ?xxx2xcosx?sinxsinx2??xf?(x)dx???C?cosx?sinx?C

xxxf(x)dx?★★4、已知

exf(x)=x，求

?xf??(x)dx。

28

知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：积分xf??(x)dx中出现了f??(x)，应马上知道积分应使用分部积分。 解：?xf??(x)dx?xd(f?(x))?xf?(x)?????f?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C.

exxex?exex(x?1)ex(x?1),?f?(x)=?,?xf?(x)=; 又?f(x)=22xxxxex(x?1)exex(x?2)??xf??(x)dx???C??C.

xxx★★★★5、设nI?dx1cosxn?2I????In?2。 (n?2)，；证明：n?sinnxn?1sinn?1xn?1cosx和In?2 提示我们如何在被积函数的表达式

sinn?1x知识点：仍然是分部积分法的练习。

思路分析：要证明的目标表达式中出现了In，

1cosx1中变出 和 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的nn?1n?2sinxsinxsinx介绍，这里1可变为sin22x?cos2x。

2证明：?1=sinx?cosx

dxsin2x?cos2xcos2xsin2xcos2x1?In??n??dx?dx?dx?dx??sinnx?sinnx?sinnx?sinn?2xdxsinxsinnxcos2xcosx??dx?I?dsinx?In?2n?2nn?sinxsinxcosx?sinx?sinnx?nsinn?1xcos2x?sinx??sinx?dx?In?2n2nsinxsinxcosxcos2xcosx1?sin2x??In?2?n?dx?In?2??In?2?n?dx?In?2sinn-1xsinnxsinn?1xsinnxcosxcosx??I?nI?nI?I??nIn?(n?2)In?2n?2nn?2n?2n?1n?1sinxsinx1cosxn?2?In???n?1?In?2.n?1sinxn?1★★★★6、设

f(x)为单调连续函数，f-1(x)为其反函数，且?f(x)dx?F(x)?C ，

求：

?f?1(x)dx。

知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白x?f(f解：??1(x))这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。

?f-1(x)dx=xf-1(x)-?xd(f-1(x))

29

又?x?f(f?1(x))

??f?1(x)dx?f?1(x)??xd(f?1(x))?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))

又??f(x)dx?F(x)?C

??f?1(x)dx?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))?f?1(x)?F(f?1(x))?C.

习题4-4

1、 求下列不定积分

知识点：有理函数积分法的练习。

思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，

通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。

x3★(1)?x?3dx

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

x3x3?27?2727??x2?3x?9?解：? x?3x?3x?3x32727??dx??(x2?3x?9?)dx??(x2?3x?9)dx??dxx?3x?3x?3 13?x3?x2?9x?27lnx?3?C.32x5?x4?8★★★(2) ?x3?xdx

思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。

x5?x4?8(x5?x3)?(x4?x2)?(x3?x)?x2?x?8x2?x?82??x?x?1?3, 解：?33x?xx?xx?x而x3?x?x(x?1)(x?1),

x2?x?8ABC???令，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

x3?xxx?1x?1?A?B?C?1?A?8???C?B?1解此方程组得：?B??4 ??C??3A?8?? 30

x5?x4?88432??x?x?1???xx?1x?1x3?xx5?x4?88432??dx?(x?x?1???)dx ?xx?1x?1x3?x11?x3?x2?x?8lnx?4lnx?1?3lnx?1?C32★★★(3)

3?x3?1dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：?x3?1?(x?1)(x2?x?1)，令

3ABx?C??等式右边通分后比较两边分子32x?1x?1x?x?1x的同次项的系数得：

?A+B=0?A?1???B+C-A=0解此方程组得：?B??1?A+C=3?C?2??

13(2x?1)?31?x?212?3??2??2x?1x?1x?x?1x?113(x?)2?()222 1(2x?1)1312???x?1(x?1)2?3213(x?)2?()224221(2x?1)31312??3dx??dx??dx??dx123x?1x?1213(x?)?(x?)2?()224221x?111312)?lnx?1??d((x?)2?)?3?d(12(x?1)2?3243x?242)2?12(3212x?1?lnx?1?ln(x2?x?1)?3arctan()?C.23★★

(4)

x?1?(x?1)3dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

31

解：令

得：

x?1ABC???(x?1)3x?1(x?1)2(x?1)3，等式右边通分后比较两边分子

x的同次项的系数

A?0,B?2A?1,A?B?C?1，解此方程组得：A?0,B?1,C?2。 x?112??(x?1)3(x?1)2(x?1)3

x?11211x??dx?dx?dx????C???C?(x?1)2?(x?1)3x?1(x?1)2(x?1)3(x?1)2?★★★(5)

3x?2?x(x?1)3dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：?3x?2322ABCD，令??????x(x?1)3(x?1)3x(x?1)3x(x?1)3xx?1(x?1)2(x?1)3

等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

A?B?0??A?2?3A?2B?C?0?B??2??解此方程组得：???3A?B?C?D?0?C??2??A?2??D??2?22222????x(x?1)3xx?1(x?1)2(x?1)3

。

3x?2322221222?????????x(x?1)3(x?1)3xx?1(x?1)2(x?1)3(x?1)3xx?1(x?1)23x?21222??dx?dx?dx?dx?dx332????x(x?1)(x?1)(x?1)x?1x112????2lnx?1?2lnx?C22(x?1)x?1??2ln★★★(6)

x4x?3??C.x?12(x?1)2xdx?(x?2)(x?3)2

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：?xx?2?2x?22??? 2222(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)(x?2)(x?3) 32

?122ABC；令，等式右边通????2222x?2x?3(x?3)(x?3)(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)分后比较两边分子x的同次项的系数得：

A?B?0??A?22222????? ?6A?5B?C?0解此方程组得：?B??2?22x?2x?3(x?2)(x?3)(x?3)?9A?6B?2C?2?C??2??x1222322??(??)???(x?2)(x?3)2(x?3)2x?2x?3(x?3)2(x?3)2x?2x?3xdx322???dx?dx?dx 22???(x?2)(x?3)(x?3)x?2x?3?33?x?3????2lnx?2?2lnx?3?C?ln???C.?x?3?x?2?x?3★★★(7)

23x?x3?1dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

3x3(x?1)?333???

x3?1x3?1x2?x?1x3?13ABx?C??2令3，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

x?1x?1x?x?1解：??A?B?0?A?1??A?B?C?0 解此方程组得：??B??1?A?C?3?C??2???

31?x?21x?2????

x3?1x?1x2?x?1x?1x2?x?1131313(2x?1)?(2x?1)(2x?1)x?22?2222而2 ?22???2222x?x?1x?x?1x?x?1x?x?1x?x?1x?x?133x11(2x?1)??3dx??22dx??dx??2dxx?1x?x?1x?12x?x?11x?11 22)?lnx?1?1?3?d(d(x?x?1)?x2?x?1123x?2)2?12(32?3arctan2x?11?lnx?1?ln(x2?x?1)?C

23 33

?3arctanx?12x?1?ln?C

23x?x?11?x?x2★★★(8)?(x2?1)2dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

1?x?x21x2解：?2????(x?1)2x2?1(x2?1)2(x2?1)2

1?x?x21xdx??2dx??dx?dx?2?x2?1?(x2?1)2?(x2?1)2(x?1)2111dx2???2dx??2d(x?1)?2?(x2?1)22(x?1)2x?1又由分部积分法可知：2

dxx1???(x2?1)2x2?1?x2?1dx

1?x?x2x1112x?1??2dx???C?()?C

(x?1)2x2?12x2?12x2?1★★★(9)

xdx?(x?1)(x?2)(x?3)

思路：将被积函数裂项后分项积分。

?解：

xx?3?313???

(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?3)令

3ABC???，

(x?1)(x?2)(x?3)x?1x?2x?3等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：

3?A?33??A?B?C?02?33?5A?4B?3C?0?2??2 解之得：??B??3?(x?1)(x?2)(x?3)x?1x?2x?3?6A?3B?2C?3?3??C?2?而

111??

(x?1)(x?2)x?1x?2 34

3x112?????2(x?1)(x?2)(x?3)2x?1x?2x?3xdx11dx3dx?????dx?2???

(x?1)(x?2)(x?3)2x?1x?22x?313??lnx?1?2lnx?2?lnx?3?C.22x2?1★★★(10)?(x?1)2(x?1)dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。

x2?1x2?1?212解：? ???(x?1)2(x?1)(x?1)2(x?1)x?1(x?1)2(x?1)令

2ABC，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： ???(x?1)2(x?1)x?1x?1(x?1)211A?B?0,2A?C?0,A?B?C?2；解之得：A?,B??,C??1。

221122?2?1??(x?1)2(x?1)x?1x?1(x?1)211x?12?2?1??(x?1)2(x?1)x?1x?1(x?1)22

x2?11dx1dx1??dx???dx 22???(x?1)(x?1)2x?12x?1(x?1) ?11111lnx?1?lnx?1??C ?lnx2?1??C. 22x?12x?1★★★(11)

?x(x112?1)dx

思路：将被积函数裂项后分项积分。 解：令

x(x2?1)?ABx?C?2，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得： xx?1?A?B?0?A?111x??C?0B??1???解之得： ??22x(x?1)xx?1?A?1?C?0?? 35

解：令t?tanx，则x?arctant,dx?dt; 1?t2dt2dxdt????1?t?? 21?tanx1?t(1?t)(1?t)?111t?111t1?(?)?(??)2222(1?t)(1?t)21?t1?t21?t1?t1?tdt11t1???(dt?dt?dt)222???(1?t)(1?t)21?t1?t1?t

11?[ln1?t?ln(1?t2)?arctant]?C22dx11???[ln1?tanx?ln(1?tan2x)?x]?C.1?tanx22★★(5)

dx?1?sinx?cosx

思路：万能代换！

x2t1?t22dt,cosx?,dx?; 解：令t?tan，则sinx?22221?t1?t1?t2dt2dtx1?t????ln1?t?C?ln1?tan?C 2?2t1?t1?t21??1?t21?t2dx★★(6)?5?2sinx?cosx

思路：万能代换！

x2t1?t22dt,cosx?,dx?; 解：令t?tan，则sinx?21?t21?t21?t22dt2dxdt1?t ?????22?5?2sinx?cosx2t1?t3t?2t?25?2?1?t21?t23t?1)dt1dt113t?15????arctan()?C 而?2?3t?13t?2t?23155(55)2?1(t?)2?()2533d(dx1?arctan(5?2sinx?cosx53tanx?12)?C. 5?? 41

★★★★(7)

dx?(5?4sinx)cosx

思路一：万能代换！

x2t1?t22dt,cosx?,dx?; 解：令t?tan，则sinx?22221?t1?t1?t2dt2dx2(1?t2)dt1?t???22(5?4sinx)cosx2t1?t(5t?8t?5)(1?t2)(5?4)

1?t21?t224??(2?2)dt5t?8t?5(5t?8t?5)(t2?1)而

44， ?(5t2?8t?5)(t2?1)(5t2?8t?5)(t?1)(t?1)4At?BCD，等式右边通分后比较两边分子t的同???22(5t?8t?5)(t?1)(t?1)5t?8t?5t?1t?1令

次项的系数得：

?A?5C?5D?0?5A=?B?13C?3D?0???2,解之得：???B=7??A?13C?3D?0???8?B?5C?5D?4?1?C???16; ??D??9?16?4120t?71191 ??????22(5t?8t?5)(t?1)(t?1)85t?8t?516t?116t?11191110t?891?????2??216t?116t?145t?8t?585t?8t?5dx1191110t?871??(??????2??2)dt(5?4sinx)cosx16t?116t?145t?8t?585t?8t?5dx1191110t?871?????dt??dt??2dt??2dt(5?4sinx)cosx16t?116t?145t?8t?585t?8t?519175t?4??lnt?1?lnt?1?ln(5t2?8t?5)?arctan()?C16164243x5tan?41x9x1xx72??lntan?1?lntan?1?ln(5tan2?8tan?5)?arctan()?C162162422243?思路二：利用代换t?sinx！

x<解：令t?sinx，?2，则dx?dt1?t2,cosx?1?t2

42

dt2dxdtdt1?t?????????(5?4t)(t2?1)(5?4sinx)cosx(5?4t)(1?t2)(5?4t)1?t211??(5?4t)(t2?1)(5?4t)(t?1)(t?1)

令

1ABC，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得： ???2(5?4t)(t?1)5?4tt?1t?116?A??9?A?4B?4C?0?111611111????????? ?9B?C?0解之得:?B?218(5?4t)(t?1)95?4t18t?12t?1??A?5B?5C?1??1?C???2???dt1611111?dt?dt?dt(5?4t)(t2?1)9?5?4t18?t?12?t?1

411?ln5?4t?ln1?t?ln1?t?C9182dx411??ln5?4sinx?ln1?sinx?ln1?sinx?C.

(5?4sinx)cosx9182??注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！

★★★★(8)

1?sinx?(1?cosx)sinxdx

思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换t?cosx和万能代换！ 解：?1?sinx11??

(1?cosx)sinx(1?cosx)sinx1?cosx??1?sinx11dx??dx??dx

(1?cosx)sinx(1?cosx)sinx1?cosx对积分

dt1t?cosx,x?(0,?)dxdx??,sinx?1?t2; ，令，则?(1?cosx)sinx1?t21dtdt1?t2 ??dx?????22?2(1?cosx)sinx(1?t)(t?1)(1?t)(t?1)(1?t)1?t令

?dt1ABC???(1?t)2(t?1)t?11?t(1?t)2，等式右边通分后比较两边分子t的同次项的系数得：

43

1?A??4A?B?0??11111111??B?????????2A?C?0解之得：??4(1?t)2(t?1)4t?141?t2(1?t)2??A?B?C?1?1?C???2?

??1111111dt?dt?dt?dt4?t?14?1?t2?(1?t)2(1?t)2(t?1)

1111?lnt?1?lnt?1???C14421?t11111dx?ln1?cosx?ln1?cosx???C1;

(1?cosx)sinx4421?cosx

??1x1?t22dtdx，令t?tan,cosx?,dx?对积分?1?cosx21?t21?t22dt2dt221x1?t1?t??dx????dt?t?C?tan?C2;21?t2?1?t2?1?cosx21?1?1?t21?t21?sinx1111x??dx?ln1?cosx?ln1?cosx???tan?C3

(1?cosx)sinx4421?cosx2?1x1xxlntan?tan2?tan?C.22422★★(9)

?1?dx3x?1 思路：变无理式为有理式，变量替换t?31?x。

32解：令t?31?x，则 1?x?t,dx?3tdt;

dx3t2dtt2dt132????3?3(t?1)dt?3dt?t?3t?3lnt?1?C????31?t1?t1?t21?x?1

3?3(1?x)2?331?x?3ln31?x?1?C.2★★(10)

?1?(x)31?xdx

思路：变无理式为有理式，变量替换t?x。

44

解：令t?x，x?t2,dx?2tdt;

??1?(x)31?(t)3dx??2tdt?2?(t2?t?1)tdt?2?(t3?t2?t)dt1?t1?x

31212?t4?t3?t2?C?x2?x2?x?C.2323★★(11)

x?1?1?1?x?1dx

思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t?x?1。

x?1，则x?1?t2,dx?2tdt;

x?1?1t?1t2?tt2?t2??dx??2tdt?2?dt?2?dt?2?(t?2?)dt1?t1?t1?t1?t1?x?11?2?tdt?4?dt?4?dt?t2?4t?4lnt?1?C?x?4x?1?4ln(x?1?1)?C1?t★★★(12)

?dx4x?x

思路：变无理式为有理式，变量替换t?解：令t?88x。

x,x?t8,dx?8t7dt;

??4dx8t7t5t5?t3?t3?t?tt3??24dt?8?dt?8dt?8(t?t?)dt??t?t1?t21?t21?t2 x?x?2t4?4t2?4ln(1?t2)?C?2x?44x?4ln(1?4x)?C★★★(13)

?x3dx1?x2

思路：变无理式为有理式，三角换元。 解：令x?tant,t??2,则dx?sec2tdt.

tan3t????sec2tdt??tan3tsectdt??tan2tdsect??(sec2t?1)dsectsect1?x2

11?sec3t?sect?C?31?x2?1?x2?C.33★★★(14)

x3dx?a?xdx a?x 45

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