函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用练习题

§4.4 函数y＝Asin(ωx＋?)的图象及应用

一、选择题

π??

1．已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象

3??

( )

π?π?

A．关于点?，0?对称 B．关于直线x＝对称

4?3?

π?π?

C．关于点?，0?对称 D．关于直线x＝对称

3?4?

π???π?

解析 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin?2x＋?，因为f??＝0，所以函数图象

3???3?

?π?

关于点?，0?中心对称，故选A.

?3?2.要得到函数y?cos(2x?1)的图象，只要将函数y?cos2x的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位

11 个单位 D.向右平移 个单位 2211解析 因为y?cos(2x?1)?cos(2(,所以将y?cos2x向左平移个单位,故x?)22C. 向左平移

选C.

3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜π，且f(0)＝3，则( )． 1π

A．ω＝，φ＝

26C．ω＝2，φ＝解析 由T＝∴sin φ＝

π

6

1π

B．ω＝，φ＝

23D．ω＝2，φ＝

π

3

π

)的最小正周期是2

2π

＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3?2sin φ＝3， ω

3ππ，又|φ|＜，∴φ＝. 223

π

个单位后，再作关于x轴对称变换，4

4．将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移

得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是( )．

A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x

解析 运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos 2x的图象关于x轴的对称图象π?π?

得y＝－cos 2x＝－sin 2?x＋?的图象，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin

4?4?

x＝－sin 2?x＋?＝sin 2x＝2sin xcos x的图象．∴f(x)＝2cos x. 5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<( )

A．－5安 B．5安 C．53安 D．10安

π1

)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是2100

??π?2?

T411

解析：由函数图象知A＝10，＝－＝. 2300300100∴T＝

12π＝，∴ω＝100π. 50ω

∴I＝10sin(100πt＋φ)． ?1?

，10?在图象上， 又∵点??300?1??

＋φ? ∴10＝10sin ?100π×300??πππ

∴＋φ＝，∴φ＝， 326π??

100πt＋?. ∴I＝10sin ?

6??

1π?1?100π×＋?＝－5. 当t＝时，I＝10sin ?

1006?100?

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝

π

时，f(x)取得最大值，则( )． 2

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 1π

解析 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴

32

1ππππ×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝.32233?xπ?

∴f(x)＝2sin?＋?，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而

?33?在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．

π

7．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，

3所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )． 1

A. B．3 C．6 D．9 3

π?π?x－?解析 依题意得，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的是f?

3?3?π?ωπ???

? ＝cos ω?x－?＝cos?ωx－

3?3???

ωπ?ωπ???

ωx－2kπ＋ωx－?，而cos ?(k的图象，故有cos ωx＝cos?ωx＝cos?

3?3???ωπ??

ωx－?＝2kπ(k∈Z)， ∈Z)，故ωx－?

3??即ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此ω的最小值是6. 二、填空题

π4π??

8. 将函数y＝sin(ωx＋φ)?ω>0，<φ<π?的图象，向右最少平移个单位

23??

2π

长度，或向左最少平移个单位长度，所得到的函数图象均关于原点中心对称，

3

则ω＝________.

解析 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有 T4π?2π?2π1＝－?－?＝2π，故T＝4π，即＝4π，ω＝. 3?23ω2?

1答案

2ππ??

9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，－≤φ≤?的图象上的两个相邻的

22??最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.

解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股定理可得＝2

T222

－22＝2，∴T＝4，∴ω＝

2π

T＝

π. 2

π??

10．已知函数f(x)＝3sin?ωx－?(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的

6??π??

对称轴完全相同．若x∈?0，?，则f(x)的取值范围是________．

2??π??

解析 由题意知ω＝2，∴f(x)＝3sin?2x－?，

6??π?π?π5??

当x∈?0，?时，2x－∈?－，π?，

2?6?66???3?

∴f(x)的取值范围是?－，3?.

?2?

π

11．在函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一个周期内，当x＝时有最

9π?14π1?

大值，当x＝时有最小值－，若φ∈?0，?，则函数解析式f(x)＝

2?292?________.

1π14π

解析 首先易知A＝，由于x＝时f(x)有最大值，当x＝时f(x)有最小

2929ππ?12π1?4ππ???1?－?×2＝值－，所以T＝?，ω＝3.又sin?3×＋φ?＝，φ∈?0，?，9?92?232?9??2?π?π1?

解得φ＝，故f(x)＝sin?3x＋?.

6?62?

??ππ??

12．设函数y＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，φ∈?－，??的最小正周期为π，且其

2????2图象关于直线x＝

π

对称，则在下面四个结论中： 12

?π??π?

①图象关于点?，0?对称； ②图象关于点?，0?对称；

?4??3?π???π?

③在?0，?上是增函数； ④在?－，0?上是增函数．

6???6?以上正确结论的编号为________．

解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)最小正周期为π，

∴ω＝∴2×

2ππ

＝2，又其图象关于直线x＝对称， π12

πππ

＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z. 1223

π?π?ππ??

由φ∈?－，?，得φ＝，∴y＝sin?2x＋?.

2?3?3?2?令2x＋

πkππ＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)． 326

π???π?

∴y＝sin?2x＋?关于点?，0?对称．故②正确．

3???3?令2kπ－

πππ

≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 232

kπ－

5ππ

≤x≤kπ＋(k∈Z)． 1212

π??

∴函数y＝sin?2x＋?的单调递增区间为

3??5ππ??

?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

1212??

5ππ??π??

，kπ＋?(k∈Z)．∴④正确． ∵?－，0??kπ－1212??6??三、解答题

13．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x.

π

(1)将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g(x)的图象，

12

求g(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．

cos2x＋1

解析 (1)依题意f(x)＝3sin2x＋2·＝3sin2x＋cos2x＋1

2

π??

＝2sin?2x＋?＋1，

6??

π

将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数

12π?π???x－??＋?＋1＝2sin2x＋1的图象，该函数的周期为π，若将2f1(x)＝2sin?

12?6???

其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1. (2)函数f(x)的最小正周期为T＝π，

πππ

当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增，

262

ππ

≤x≤kπ＋(k∈Z)， 36

ππ??

∴函数的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

36??

?xπ??xπ?＋??14．已知函数f(x)＝23·sincos?＋?－sin(x＋π)． 24???24?解得kπ－

(1)求f(x)的最小正周期； (2)若将f(x)的图象向右平移

π

个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在6

区间[0，π]上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f(x)＝

π??

3sin?x＋?＋sin x＝

2??

3cos x＋sin x＝

?3?π??1

2?cos x＋sin x?＝2sin?x＋?，

3?2??2?所以f(x)的最小正周期为2π. (2)∵将f(x)的图象向右平移

π

个单位，得到函数g(x)的图象， 6

π?π?π?π?????

∴g(x)＝f?x－?＝2sin??x－?＋?＝2sin?x＋?.∵x∈[0，π]，

6?3?6?6?????π?π7π

∴x＋∈?，

66?6

??， ?

π?πππ?x＋?＝1，g(x)取得最大值2. ∴当x＋＝，即x＝时，sin?

6?623?π?π7π1?

当x＋＝，即x＝π时，sin?x＋?＝－，g(x)取得最小值－1.

6?662?【点评】 解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有： ωx＋φ＋h或y＝Acosωx第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin＋φ＋h的形式.

第二步：根据sin x、cos x的单调性解决问题，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.

第三步：根据已知x的范围，确定“ωx＋φ”的范围. 第四步：确定最大值或最小值. 第五步：明确规范表述结论.

π??

15．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，0＜φ＜?的部分图象如图所示．

2??

(1)求f(x)的解析式；

π??2???ππ?

(2)设g(x)＝?f?x－??，求函数g(x)在x∈?－，?上的最大值，并确定此

12??3????6时x的值．

Tπ2ππ3

解析 (1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝. 43ω32?3?π???π?

－－??＋φ? ?＝2sin?×又f?

?6??2?6???π?

＝2sin?－＋φ?＝0，

?4?

π?ππππ?φ－?＝0，∵0＜φ＜，∴－＜φ－＜， ∴sin?

4?2444?ππ

∴φ－＝0，即φ＝，

44

π??3

∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin?x＋?.

4??2

π?π?π?π??3???3

(2)由(1)可得f?x－?＝2sin??x－?＋?＝2sin?x＋?，

12?4?12?8???2?2?π??

1－cos?3x＋?

4?π??2π?????

∴g(x)＝?f?x－??＝4×＝2－2cos?3x＋?，

12??4?2???ππ5π?ππ?

∵x∈?－，?，∴－≤3x＋≤，

3?444?6∴当3x＋

ππ

＝π，即x＝时，g(x)max＝4. 44

16．已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1(ω>0)的图象

的两个相邻交点之间的距离为π.

(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数g(x)

4

的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合． 解析 (1)f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1

π??

＝1－cos2ωx＋3sin2ωx－1＝2sin?2ωx－?，

6??

2π

由题意可知函数的最小正周期T＝＝π(ω>0)，所以ω＝1，

2ω

所以f(x)＝2sin?

??

2x－π?6??，

令2kπ－πππ

2≤2x－6≤2kπ＋2其中k∈Z，

解得kπ－π6≤x≤kπ＋π

3

，其中k∈Z，

即f(x)的递增区间为?

??

kπ－ππ?6，kπ＋3??，k∈Z.

(2)g(x)＝f???x＋π?4??＝2sin???2???

x＋π?π??

π?4??－6??＝2sin??2x＋3??，

则g(x)的最大值为2，

此时有2sin???2x＋π??

π?3??＝2，即sin??

2x＋3??＝1，

即2x＋π3＝2kπ＋π2，其中k∈Z，解得x＝kπ＋π

12

，k∈Z，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为???π

?x??x＝kπ＋12，

k∈Z???

.

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